Dérivation de la Loi de Poisson d`une équation différentielle

Dérivation de la Loi de Poisson
d’une équation différentielle
Dans cette note, on établit la loi de poisson comme solution d’une équation différentielle.
Soit X le nombre de réalisations d’un événement dans un intervalle de temps 0, . On
suppose :
•
La probabilité de réalisation d’un événement dans un intervalle de temps , ∆est
Δ Δ où est une constante indépendante de t.
•
Si la longueur de l’intervalle est assez petite alors la réalisation de l’événement plus
d’une fois dans cet intervalle est Δ.
•
Les réalisations de l’événement dans deux intervalles qui ne se chevauchent pas sont
indépendantes.
On veut montrer que la loi de probabilité de X est
!
pour 0, 1, 2, … … ….
Notons par , la probabilité que l’événement se réalise x fois dans l’intervalle 0, .
Trouvons d’abord 0, .
0, ∆ est la probabilité de 0 réalisations dans 0, ∆ .
0 réalisations dans 0, ∆ veut dire 0 réalisations dans 0, et 0 réalisations dans
, ∆, Par indépendance 0, ∆ 0, 0 réalisations dans , ∆
Si ∆ est assez petit, 0 réalisations dans , ∆ 1 ' Δ Δ car la probabilité de
réalisations plus d’une fois est Δ.
On a alors 0, Δ 0, ' 0, (Δ Δ
0, Δ ' 0, '0, 1
Δ
1
En faisant tendre Δ vers 0, on obtient
(
0, '0, (
En plus, on a 0,0 1.
La résolution de cette équation linéaire (séparation des variables) donne 0, .
Trouvons en général , pour ) 0.
, ∆ est la probabilité de x réalisations dans 0, ∆
x réalisations dans 0, ∆ veut dire ' * réalisations dans 0, et k réalisations dans
, ∆ avec 0 + * + .
Par indépendance, on obtient :
, ∆ , ' *, * réalisations dans , ∆ -./
Comme
1 réalisation dans , ∆ Δ Δ
et 2 réalisations ou plus dans , ∆ Δ
On a 0 réalisations dans , ∆ 1 ' Δ Δ et par suite
, ∆ , 21 ' Δ Δ3 ' 1, 2Δ Δ3 , ' *, Δ
-.4
, ∆ ' , ∆
Δ
', ' 1, , ' 1, , ' *, ∆
-.4
En faisant tendre Δ vers 0, On obtient
(
, ', ' 1, (
2
On a déjà vu que 0, et on a les conditions initiales , 0 0 pour 5 1.
On peut alors faire une induction. Cependant on choisit de trouver 1, et ainsi montrer la
démarche à suivre.
(
1, '1, 0, 1,0 0
(
(
1, '1, 1,0 0
(
La solution de cette équation différentielle est 1, En continuant ce processus on arrive à la formule désirée :
!
3