TD d`électrostatique n 1 Champs et potentiels électrostatiques
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TD d`électrostatique n 1 Champs et potentiels électrostatiques
Lycée François Arago Perpignan M.P.S.I. 2012-2013 TD d’électrostatique no 1 Champs et potentiels électrostatiques Exercice 1 - Champ sur l’axe d’un doublet de charges opposées. Deux charges ponctuelles opposées q et −q sont placées respectivement en A et B sur l’axe (Ox), à une distance a de − → part et d’autre du point O. On note E (M ) le champ électrostatique et V (M ) le potentiel électrostatique créés par ces deux charges en un point M de l’axe (Ox). − → 1 . Quelle est la direction du champ électrostatique E (M ) ? − → 2 . Donner l’expression du champ électrostatique E (M ) en fonction de q, a et x. 3 . Donner l’expression du potentiel électrostatique V (M ) en fonction de q, a et x. − → 4 . Retrouver l’expression du champ électrostatique E (M ). 5 . Tracer l’allure des courbes V (x) et Ex (x). 6 . Analyser l’existence de positions d’équilibre pour une charge ponctuelle Q mobile sur l’axe (Ox). q O −q b A x b B M (x) q 1 1 − − e→ x 4πǫ0 (x + a)2 (x − a)2 − → 1 1 q − + e→ pour tout point M de l’axe (Ox) tel que 0 6 |x| < a, on a E (M ) = x 2 2 4πǫ (x + a) (a − x) 0 q 1 1 3. Réponse : V (M ) = pour x 6= ±a − 4πǫ0 |x + a| |x − a| 6. Réponse : aucune position d’équilibre. − → 2. Réponse : pour tout point M de l’axe (Ox) tel que |x| > a, on a E (M ) = Exercice 2 - Charges placées aux sommets d’un polygone régulier. Un ensemble de n charges ponctuelles identiques égales à q est réparti dans le plan (Oxy) sur les n sommets d’un polygone régulier de centre O et de rayon R (sur la figure est représenté le cas d’un hexagone). On note V (M ) le potentiel électrostatique créé en un point M de l’axe (Oz) par cette distribution. z 1 . Donner l’expression du potentiel électrostatique V (M ) en fonction de n, q, R et z. × M (z) − → 2 . En déduire l’expression du champ électrostatique E (M ). y 3 . Tracer l’allure des courbes V (z) et Ez (z). 4 . Existe-t-il des positions d’équilibre pour une charge ponctuelle Q mobile sur l’axe (Oz) ? Analyser leur stabilité. S. Bénet O x 1 − → nqz nq − → 2. Réponse : E (M ) = ez 4πǫ0 (z 2 + R2 )1/2 4πǫ0 (z 2 + R2 )3/2 4. Réponse : la position z = 0 est une position d’équilibre, stable si Q et q sont de signes opposés. 1. Réponse : V (M ) = Exercice 3 - Surface équipotentielle. Une distribution de charge D est contenue dans un plan (Oxy). Elle est constituée par la charge −q placée au point A(−1, 0) et par la charge 2q placée au point B(+1, 0). On note V (M ) le potentiel électrostatique créé en un point M (x, y). 1 . Quelle est la relation simple entre AM et BM pour tout point M de l’équipotentielle V = 0 ? 2 . Montrer que l’équipotentielle V = 0 est un cercle C. Déterminer la position de son centre C ainsi que de son rayon. 2. Réponse : C(− 35 , 0) et R = 1. Réponse : BM = 2 AM Exercice 4 - 4 3 Équilibre d’une boule chargée. Deux boules identiques A et B sont distantes de D = 1 m et fixes. Elles portent initialement une même charge q. On met en contact avec la boule A une boule C identique aux deux autres, portant initialement une charge nulle. 1 . Quelle est la charge q ′ acquise par la boule C ? 2 . Exprimer puis calculer la distance x0 entre la boule A et la boule C lorsque cette dernière est dans une position d’équilibre. 3 . L’équilibre est-il stable ou instable ? x A 1. Réponse : q ′ = 1 q 2 2. Réponse : x0 = D √ 1+ 2 C B 3. Réponse : il s’agit d’une position d’équilibre stable. Exercice 5 - Électromètre. Un électromètre est constitué de deux petites boules conductrices identiques de même masse m, suspendues à deux fils isolants de même longueur ℓ. Au repos - les boules n’étant pas chargées - les fils sont tous deux verticaux et les boules se touchent. On transmet par contact une charge totale Q aux boules. O b − → g ℓ 1 . Déterminer la relation vérifiée par l’angle α formé à l’équilibre par chacun des fils avec la verticale. B 2 . En supposant que α ≪ 1 , calculer α. Données : Q = 10−8 C ; m = 1 g ; g = 9, 8 m · s−2 ; Réponse : S. Bénet α ℓ A 1 = 9 · 109 N · m2 · C−2 . 4πǫ0 Q2 sin3 α = cos α 64πǫ0 ℓ2 mg 2/4 Exercice 6 - Arc de cercle uniformément chargé. Un arc de cercle de centre O, de rayon R et d’angle au sommet 2α porte une charge Q uniformément répartie sur sa − → longueur. On note (Ox) sa bissectrice et E (O) le champ électrostatique créé au point O. Un point P de la distribution de charges est repéré par l’angle θ indiqué sur la figure. − → 1 . Quelle est la direction du champ électrostatique E (O) ? − → 2 . Exprimer le champ électrostatique élémentaire dE (O) créé en O par la charge élémentaire portée par l’arc de cercle élémentaire centré P. − → 3 . En déduire l’expression du champ électrostatique E (O) en fonction de Q, R et α. P Exercice 7 - x O C 4 . Analyser les cas α → 0 et α → π. − → Réponse : E (O) = α θ sin α − Q e→ x 2 4πǫ0 R α Demi-cercles portant des charges opposées. y Un cercle de centre O et de rayon R est découpé en deux demi-cercles C1 et C2 , portant les charges opposées respectives Q et −Q uniformément − → réparties. On s’intéresse au champ électrostatique E (O) créé au point O par cette distribution. C1 C2 x − → 1 . Quelle est la direction du champ électrostatique E (O) ? O − → 2 . Déterminer l’expression du champ électrostatique E (O) en fonction de Q et R. − → Réponse : E (O) = Exercice 8 - Q − e→ x π 2 ǫ0 R 2 Cercle non uniformément chargé. y Un cercle C de centre O et de rayon R est caractérisé par une densité linéique de charge λ qui varie en fonction de la position du point P sur le cercle, suivant la loi λ(θ) = λ0 cos θ, avec λ0 une constante. − → 1 . Quelle est la direction du champ électrostatique E (O) ? − → 2 . Exprimer le champ électrostatique élémentaire dE (O) créé en O par la charge élémentaire portée par l’arc de cercle élémentaire centré P. − → 3 . En déduire l’expression du champ électrostatique E (O) en fonction de λ0 et R. P θ O x C − → λ0 − Réponse : E (O) = − e→ x 4ǫ0 R S. Bénet 3/4 Exercice 9 - Champ sur l’axe d’un segment chargé. Un segment [A, B] de l’axe (Ox) est chargé uniformément et est caractérisé par sa densité linéique de charge λ, les − → points A et B étant situés à une distance a du point O. On note E (M ) le champ électrostatique et V (M ) le potentiel électrostatique créés en un point M de l’axe (Ox) et situé en dehors du segment chargé. − → 1 . Quelle est la direction du champ électrostatique E (M ) ? 2 . En repérant la position d’un point P de la distribution de charge par son abscisse X, exprimer le champ − → électrostatique élémentaire dE (M ) créé en M par la charge élémentaire portée par l’élément de longueur élémentaire centré en P . − → 3 . En déduire l’expression du champ E (M ) en fonction de λ, a et x. 4 . En repérant la position d’un point P de la distribution par son abscisse X, déterminer l’expression du potentiel électrostatique V (M ) en fonction de λ, a et x. − → 5 . Retrouver l’expression du champ électrostatique E (M ). 6 . Tracer l’allure des courbes V (x) et Ex (x). 7 . Analyser le cas a ≪ x. O A B b M (x) 2a − → 3. Réponse : E (M ) = λa − e→ x 2πǫ0 (x2 − a2 ) 4. Réponse : pour x > a , on a : V (M ) = Exercice 10 - λ ln 4πǫ0 x+a x−a x b Expérience de Rutherford. Une fine feuille d’or (Z = 79) est bombardée par des particules α, c’est-à-dire des noyaux d’hélium . Ces particules sont projetées avec une énergie cinétique E0 = 10 M eV . On constate qu’une faible partie des particules incidentes est renvoyée dans la direction opposée, à cause de leur "rebond" sur les noyaux d’or. Données : 1 eV = 1, 6 · 10−19 J, mproton ≃ mneutron e = 1, 6 · 10−19 C, 1 = 1, 6·10−27 kg , = 9·109N· m2 ·C−2 . 4πǫ0 noyau bc cb cb bc bc bc bc B A d En traduisant la conservation de l’énergie mécanique entre la position initiale A des particules α et leur position d’approche minimale B, exprimer la distance d’approche minimale d au noyau en fonction des données. Calculer d. Réponse : d = S. Bénet 2Ze2 4πǫ0 E0 4/4