Cours de mathématiques - Alternance Gea - LIX

Cours de mathématiques - Alternance Gea
Anne Fredet
11 octobre 2005
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Mise en équation
Les problèmes apparaissent rarement sous une forme mathématique. Il
faut alors transformer un énoncé en en système d’équations ou d’inéquations
afin de trouver la solution au problème posé. En général, la mise en équation
se fait en plusieurs étapes :
1. Vérifier que l’on comprend le texte.
2. Choisir les inconnues (en général, les inconnues correspondent à qui est
demand)
3. Traduire le texte par des écritures mathématiques.
4. Résoudre la ou les équations obtenues
5. Vérifier que le résultat est vraissemblable
6. Répondre à la question posée.
Si le problème vous semble être de nature géométrique, ne pas hésiter à faire
un schéma.
Attention à ne pas aller trop vite à la conclusion :
Exercice 1.1 Un téléphone portable et son étui coûtent ensemble 110 . Le
téléphone coûte 100 de plus que l’étui. Quels sont les prix du téléphone et
de l’étui ?
Exercice 1.2 Un récipient rempli d’eau a une masse de 720g. Le même
récipient rempli d’huile a une masse de 680g. Déterminer le volume V en cm3
du récipient et sa masse vide m en gramme, sachant que la masse volumique
de l’eau est 1g.cm−3 , la masse volumique de l’huile est 0, 9g.cm−3 .
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Exercice 1.3 Un rectangle a un périmètre de 60cm. Si l’on augmente la
longueur de 5cm et que l’on diminue la largeur de 2cm, son aire est inchangée.
Calculer sa longeur et sa largeur.
Exercices en vrac
Exercice 1.4 Une épigramme grecque, publiée vers 369 dans L’Abrégé de
l’Histoire Romaine d’Eutrope, propose de calculer l’âge de Diophante. Voici
la traduction en alexandrins qu’en donne Emile Fourrey dans ses Récréations
mathématiques.
Passant sous ce tombeau repose Diophante.
Ces quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaı̂tre à quel âge il est mort.
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance ;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des septs parts de sa vie, une encore s’écoula,
Puis s’étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère,
Reçut de jours hélas ! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut.
Dis, si tu sais compter, quel âge il mourut.
Saurez-vous calculer l’âge de Diophante ?
Exercice 1.5 L’océan Atlantique fait la moitié du Pacifique. L’Arctique fait
le quart de l’Atlantique. L’Arctique et l’Antarctique font ensemble les deux
cinquièmes de l’océan Indien, qui fait lui-même fait les neuf dixièmes de
l’Atlantique. Mais alors, combien faut-il d’océans Antartique pour recouvrir
tout le Pacifique ?
Exercice 1.6 Quand Timothée aura l’âge qu’a maintenant son père, alors
sa soeur sera deux fois plus vieille. D’autre part, l’âge du père sera le double
de l’âge de Timothée quand sa soeur aura l’âge actuel de son père. En outre,
la somme de leurs âges est d’un siècle. Mais quel âge a chacun ?
Exercice 1.7 A l’élection présidentielle, chaque candidat a la moitié des
voix du candidat qui le précède. Y aura-t-il un deuxième tour ?
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Exercice 1.8 Si j’échange les chiffres de mon âge, j’obtiens l’âge de ma
fille. Quand cette dernière est née, j’avais entre 20 et 30 ans. Mais combien
exactement ?
Exercice 1.9 J’ai deux fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous
avez. Quand vous aurez l’âge que j’ai, ensemble, nous aurons 63 ans. Mais
quels sont nos âges ?
Exercice 1.10 Quand tu es né Erwan, j’avais vingt-quatre ans. Mais aujourd’hui, j’ai deux fois l’âge que tu avais, quand j’avais l’áge que tu as,
c’est-á-dire...
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Solutions des exercices
Solution 1.1 Soit x le prix de l’{etui. Le prix du téléphone est donc x + 100
et le prix du téléphone et de son étui est de 2x + 100 = 110 ce qui nous donne
x = 5. L’étui coute 5 euros, et le téléphone 105.
Solution 1.2 On doit résoudre
720 =
V +m
680 = 0, 9V + m
On en déduit V = 400cm3 et m = 320g.
Solution 1.3 On doit résoudre
2(L + l)
= 60
(L + 5)(l − 2) = Ll
On en déduit l = 10 et L = 20.
Solution 1.4 Soit x l’âge de Diophante. On a
qui se résoud en x = 84.
x
6
+
x
12
+
x
7
+5+
x
2
+ 4 = x, ce
9
Solution 1.5 L’indien fait les 20
du Pacifique, et donc Arctique et Antarctique
9
18
ensemble font 100 = 50 du Pacifique. Mais Arctique seul fait 41 × 12 = 81 du
9
11
Pacifique. L’Antarctique fait donc 50
− 81 = 200
du Pacifique. Il faut donc 200
,
11
soit un peu plus de 18, océans de la taille de l’Antarctique pour recouvrir
tout le Pacifique.
Solution 1.6 On notera x,y,z les âges respectifs de Timothée, de sa soeur, et
de son père. La première équation est x + y + z = 100 (somme des âges égale
un siècle). Analysons les autres phrases :
– Quand Timothée aura l’âge qu’a maintenant son père (l’âge de Timothée sera donc z = x+(z −x), donc l’âge de la soeur sera y +(z −x),
celui du père sera z + (z − x) ) alors sa soeur sera deux fois plus vieille
- on a donc y + (z − x) = 2y, c’est-à-dire quex + y − z = 0 (et donc
z = 50).
– Quand sa soeur aura l’âge actuel de son père (donc l’âge de la soeur
sera y + (z − y), celui de Timothée sera x + z − y, celui du père sera
2z − y), l’âge du père sera le double de celui de Timothée, et donc :
2z − y = 2(x + z − y), soit 2x = y.
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On résoud le système, en ayant déjà remarqué que z = 50, et : y = 50 − x,
, et donc y = 100
.
soit 100 = 3x, soit x = 50
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Solution 1.7 si x est le pourcentage de voix du premier candidat, et s’il y a
x
n candidats, alors on a x + x2 + x4 + ... + 2n−1
= 100. Soit en factorisant par
1
1
1
x : x(1 + 2 + 4 + ... + 2n−1 ) = 100. Or, d’après le calcul de la somme des n
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premiers termes d’une suite géométrique, on sait que : 1 + 21 + ... + 2n−1
< 2.
On obtient donc que x > 50. Le premier candidat est élu sans second tour.
Solution 1.8 On note x le chiffre des dizaines de mon âge, et y le chiffre des
unités. On sait que xy−yx est compris entre 20 et 30, puisque cela correspond
à la différence des 2 âges. Or, on vérifie que xy − yx = 10x + y − 10y − x =
9∗(x−y) est donc un multiple de 9. J’avais donc 27 ans le jour de la naissance
de ma fille.
Solution 1.9 En posant x mon âge, et y le votre, et en procédant comme
dans l’exercice précédent, on trouve que 3x − y = 63 et 3x − 4y = 0, ce qui
donne x = 28 et y = 21.
Solution 1.10 Soit x l’âge d’Erwan (actuellement). Mon âge est x + 24. Il y
a 24 ans, j’avais x ans, et l’âge d’Erwan était x − 24. Comme mon âge actuel
est le double de celui d’Erwan à l’époque, on a : x + 24 = 2(x − 24). On en
déduit que x = 72 : Erwan a 72 ans, et moi 96...
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