EOLIENNE VERTICALE « ROTAPEC »

DS 2 - INFO
PSI 2014-2015
EOLIENNE VERTICALE
« ROTAPEC »
Habituellement, les éoliennes sont sur des mâts et demande un terrain dégagé. Hors les éoliennes
verticales peuvent être installées sur des toits terrasses. Inutilisé votre toit peut accueillir une
éolienne pour alimenter en électricité votre bâtiment ou faire chauffer votre ballon d'eau chaude. En
effet toutes les éoliennes Rotapec proposent une solution inédite pour l'alimentation de votre ballon
d'eau chaude. Que vous soyez un particulier, une entreprise (hôtel,restaurant...) ou une collectivité,
cette solution est intéressante pour vous. La gamme de puissance de Rotapec permet de répondre à
tous les besoins d'énergie.
Problématique
Dans le cadre d’un TIPE, un élève cherche à déterminer les performances de ce type
d’éolienne.
Nous allons essayez de l’aider.
Toutes les questions sont indépendantes ! ! !
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I.
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Profil des pales : définition d’une fonction, tracé de courbes
Le profil des pales utilisé est le profil symétrique NACA 0015
Profil supérieur
Profil inférieur
L’équation du profil supérieur est donnée (le profil inférieur est symétrique):
𝑦(𝑥) = 𝑡.
𝑐
0,2
𝑥
𝑥
𝑥 2
𝑥 3
𝑥 4
𝑐
𝑐
𝑐
𝑐
𝑐
. (0,2969 ∗ √ − 0,1260. ( ) − 0,3516. ( ) + 0.2843. ( ) − 0.1015. ( ) ) (équation 1)
avec {
𝑐 = 150 𝑚𝑚
𝑡 = 0,15
Question 1. Compléter sur le document réponse la fonction renvoyant l’abscisse 𝑦 (mm) du
profil supérieur en fonction de son ordonnée 𝑥 (mm)
def mystere(fonction,xmin,xmax) :
"""
mystere(fonction,xmin,xmax)->réel
renvoie ????
xmin, xmax : intervalle de recherche
"""
valeur = 0
for x in linspace(xmin,xmax,100) :
if fonction(x) > valeur :
valeur = fonction(x)
return valeur
Question 2. Quel résultat est retourné par la fonction mystere(f)
Question 3. Compléter sur le document réponse la partie de programme permettant de tracer le
profil supérieur et inférieur
II.
Détermination des caractéristiques d’inertie d’une pale : intégration numérique
Pour pouvoir mener à bien les simulations, il faut déterminer le centre de masse du profil ainsi que
son moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation de l’éolienne.
O
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G
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Par définition le centre d’inertie 𝐺 d’une pale (de longueur 𝐿, de section 𝑆, de volume 𝑉, de masse 𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑑𝑚 = ∫ 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝜌. 𝑑𝑉
et de masse volumique 𝜌) : 𝑚. 𝑂𝐺
𝑀∈𝑆
𝑀∈𝑆
en projection suivant l’axe des 𝑥 :
𝜌. 𝑉. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 . 𝑥 = (∫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀. 𝜌. 𝑑𝑉 ) . 𝑥 = 𝜌. (∫
𝑀∈𝑆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀. 𝑥 . 𝑑𝑉 ) = 𝜌. (∫
𝑀∈𝑆
𝑥. 𝑑𝑉 )
𝑀∈𝑆
𝐿
𝜌. 𝑆. 𝐿. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 . 𝑥 = 𝜌. 𝑆. ∫0 𝑥. 𝑑𝑥 d’où
𝐿
𝑥𝑂𝐺 =
∫0 𝑥.𝑑𝑥
𝐿
(équation 2)
Pour déterminer 𝑥𝑂𝐺 il faut donc calculer l’intégrale de l’équation 2 en utilisant la méthode des
rectangles.
Figure 1 : Exemple de découpage avec 7 rectangles de la demi-section de la pale
Question 4. Compléter sur le document réponse la portion de programme permettant d’obtenir
la position du centre de gravité en utilisant la méthode des rectangles pour un découpage de
1000 rectangles.
𝑦
𝑥
∀M∈ 𝑝𝑎𝑙𝑒
O
A
Le moment d’inertie 𝐼𝐴𝑧 de la pale par rapport à l’axe verticale de l’éolienne est donné par
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖². 𝜌. 𝑑𝑉 dans notre cas :
l’équation : 𝐼𝐴𝑧 = ∫ ‖𝐴𝑀
𝑀∈𝑆
150
𝒑𝒓𝒐𝒇𝒊𝒍𝒆_𝑵𝑨𝑪𝑨𝟎𝟎𝟏𝟓(𝒙𝑴 )
𝐼𝐴𝑧 = 𝜌. 𝐿. ∫
(∫
0
𝟎
((𝒙𝑨 − 𝒙𝑴 )𝟐 + (𝒚𝑨 − 𝒚𝑴 )𝟐 ). 𝒅𝒚𝑴 ) 𝑑𝒙𝑴 (équation 3)
avec 𝑀 de coordonnées dans le plan (𝒙𝑴 , 𝒚𝑴 ) , 𝐴 de coordonnées dans le plan (𝒙𝑨 , 𝒚𝑨 ) 𝐿 = 1 𝑚 et 𝜌 = 3000 𝑘𝑔/𝑚3
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Figure 2: découpage en carrés de 3 mm de côté pour l'intégrale double
Découpage en carrés :
xmax = (150 // taille_carre)*taille_carre
Question 5. Que vaut xmax si taille_carre = 10 puis 5 puis 3. En déduire l’utilité de cette ligne
Question 6. Compléter sur le document réponse la portion de programme permettant de
déterminer numériquement le moment d’inertie 𝐼𝑜𝑧 de la demi-pale supérieure par rapport à
l’axe verticale de l’éolienne(𝐴, 𝑧).
Question 7. Que faut-il modifier/ajouter pour obtenir le moment d’inertie de la pâle complète
III.
Actions aérodynamiques sur le profil : utilisation d’une Base de données
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒
ANGLE :
angle incidence
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹
𝑡𝑟𝑎î𝑛é𝑒
A
Flux d’air
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒
Figure 3 : Actions aérodynamique sur le profil
Le torseur des actions mécaniques de l’air sur la pale est :
𝐹𝑡𝑟𝑎î𝑛é𝑒
{𝜏𝑎𝑖𝑟→𝑝𝑎𝑙𝑒 } = {𝐹𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒
0
𝐴
0
0
𝑀𝑡𝑎𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒
}
𝑅𝑝𝑎𝑙𝑒
avec
𝑉2
-
𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛é𝑒 = 𝐹𝑡𝑟𝑎î𝑛é𝑒 = 𝜌. 𝑆.
-
𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 = 𝐹𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 = 𝜌. 𝑆.
-
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒 = 𝑀𝑡𝑎𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒 = 𝜌. 𝑆.
𝑉 : vitesse du fluide
𝑐 : longueur de la pale
𝑆 : surface projetée au sol du profil
𝜌 ∶ masse volumique du fluide
𝜇 : viscosité dynamique du fluide
Les coefficients 𝐶𝐷, 𝐶𝐿 et 𝐶𝑀 variant en fonction du nombre de Reynolds 𝑅𝑒 =
𝜌.𝑉.𝐿
,
𝜇
2
. 𝐶𝐷 ;
𝑉2
2
. 𝐶𝐿 ;
𝑉2
2
. 𝐶𝑀. 𝑐
de l’angle
d’incidence 𝐴𝑁𝐺𝐿𝐸 de la pale.
Pour les valeurs des coefficients 𝐶𝐷, 𝐶𝐿 et 𝑀 , on utilise une base de données dont un extrait est
donné ci-dessous :
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Figure 4: Extrait de la TABLE intitulée "NACA" de la base de données
Requête sur la base de données :
Question 8. Justifier pourquoi le champ "ID" doit être une clé primaire
Question 9. Construire la requête SQLite permettant d’extraire de la base de données les valeurs
de "CD" et "CL" pour un "ANGLE" de 0° avec le profil "NACA0015" et pour un nombre de
Reynolds "RE"=1000000.
Question 10.
Construire la requête SQLite permettant d’extraire les valeurs maximales de
"CD" et "CL" avec notre profil NACA0015 et pour un nombre de Reynolds "RE"=1000000.
IV.
Equation du mouvement de l’axe de l’éolienne
Le mouvement de l’éolienne est décrit par l’équation différentielle du premier ordre suivante :
𝑰𝑶𝒛 .
𝒅𝝎(𝒕)
− 𝑪. 𝝎(𝒕) = 𝑴𝟎
𝒅𝒕
avec
𝐼𝑂𝑧 : Inertie de l’éolienne par rapport à son axe de rotation,
𝐶: Coefficient prenant en compte les forces de frottements
fluides
𝜔(𝑡) : Vitesse de rotation de l’éolienne
𝑟 ∶ Rayon de l’éolienne
𝑀0 : couple d’entrainement
Conditions initiales : 𝜔(0) = 0 (éolienne à l’arrêt)
Question 11.
Compléter l’algorithme permettant à partir des conditions initiales et de
l’équation différentielle ci-dessus d’obtenir numériquement l’évolution de la vitesse de
rotation de l’éolienne au cours du temps (entre 0s et 10s) (algorigramme, pseudo-code ou
python au choix du candidat).
Question 12.
En implémentant l’algorithme précédant et en faisant varier le pas de calcul
on obtient les courbes ci-dessous. Retrouver pour chaque courbe le pas de calcul.
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RAPPEL PYTHON :
-
linspace(start, stop, num=50) : Returns num evenly spaced samples, calculated over the
interval [start, stop ]. (num : int, Number of samples to generate. Default is 50.)
range(start, stop[, step = 1]) : Return a virtual sequence of numbers from start to stop by
step (Default is 1).
arange([start, ]stop, [step ]) : Return evenly spaced values within a given interval. Values
are generated within the half-open interval [start, stop)
RAPPEL SQLITE :
-
-
SELECTIONS ET PROJECTIONS :
SELECT column1, column2, columnN FROM table_name WHERE [condition]
(séparateur pour les conditions : OR ou AND )
FONCTION D’AGREGATION : COUNT, MAX, MIN
SELECT COUNT(column2) FROM table_name WHERE [condition]
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DOCUMENT REPONSE :
NOM :
PRENOM :
Question 1 :
def profile_NACA0015(x):
"""
def profile_NACA0015(x) -> réel
Renvoie l'épaisseur d'un profil NACA 00xx
x : position le long de la corde
"""
c = 150 # corde : longueur du profil en mm
t = 0.15 # thickness rapport épaisseur / longueur
X = x/c
return
Question 3 :
x = linspace(0,
longueur,
300
)
plot(x, profile_NACA0015(x)) # profil supérieur
plot(x,-profile_NACA0015(x)) # profil inférieur
xlim(0,160)
ylim(-20,140)
show()
Question 4 :
def centre_gravite_profil(f,xmin,xmax):
"""
centre_gravite_profil(f,xmin,xmax)->réel
renvoie l’abscisse du centre de gravité du profil
f : une fonction décrivant le profil
xmin : valeur minimale de l’abscisse du profil
xmax : valeur maximale de l’abscisse du profil
"""
nb_rectangle = 1000
aire_ponderee = 0
largeur_rectangle = (xmax-xmin) / nb_rectangle
for x in linspace(xmin,xmax,nb_rectangle) :
hauteur_rectangle = f(x)
aire_rectangle = hauteur_rectangle*largeur_rectangle
aire_ponderee = aire_ponderee + x*aire_rectangle
G_x = aire_ponderee / (xmax-xmin)
return G_x
# on imprime la position du centre de gravité
print("Xog = ",centre_gravite_profil(profile_NACA0015,0,150))
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Question 5 :
def moment_inertie(f,xmin,xmax,x_A,y_A):
"""
Détermine le moment d'inertie du profil par rapport à l'axe
(A,z)
f : fonction du profil
xmin,xmax : intervalle de variation de l'abscisse du profil
supérieur
x_A,y_A : position du point A
"""
taille_carre = 3
masse_v = 3e-6 # masse volumique de l'aluminium en kg/mm3
Ioz = 0
xmax = (150 // taille_carre)*taille_carre
# point M du profil
for x_M in arange(0,xmax,taille_carre)
):
ymax = (profile_NACA0015(x_M) // taille_carre)* taille_carre
for y_M in arange(0,ymax,taille_carre) :
Ioz = Ioz+masse_v*(taille_carre**2)*((M_x-A_x)**2+( M_y-A_y)**2)
return Ioz
Question 11 :
def resolution_diff( instant_initial, instant_final, nb_valeur ):
"""
resolution_diff( nb_valeur )->liste de réel
résoud numériquement l’équation
différentielle du premier ordre par la méthode d’Euler
instant_initial : instant initiale en secondes
instant_final : instant final en secondes
nb_valeur : nombre d’itérations
"""
C=1
# coefficient forces de frottement fluide
r=1
# rayon de l’éolienne en m
Ioz = 1
# inertie de l’éolienne en kg/m²
M0 = 100 # couple d’entrainement en N.m
w0=0
# condition initiale
w=[w0]
# initialisation de la liste des vitesses angulaires w
pas_calcul = 10 / nb_valeur # pas de calcul
for i in range(nb_valeur):
w = w + [w[i] - interval *( C*r*w[i] / Ioz - M0) ]
return w
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# on renvoie la liste des valeurs de w calculées
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