PRÉPARATION AU CRPE DEUXI`EMEÉPREUVE D`ADMISSIBILITÉ

PRÉPARATION AU CRPE
DEUXIÈME ÉPREUVE D’ADMISSIBILITÉ
Mathématiques
Janvier 2007 – CUEEP Boulogne-sur-Mer/Dunkerque
Durée : 3 heures – Coefficient 3
Vous rédigerez sur une copie séparée les questions complémentaires des exercices 1 et 3.
Il sera tenu compte, dans l’appréciation des copies (à hauteur de trois points sur vingt, au
maximum), du soin, de la clarté de l’expression et de la qualité de l’orthographe apportés à la
rédaction des réponses.
Il est rappelé que, sauf mention expresse du contraire, toute réponse non justifiée sera considérée
comme fausse.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
En revanche, le recours à tout document autre que cet énoncé
est strictement interdit.
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Prépa PE2 2006/2007
CUEEP Littoral
EXERCICE 1 (7 points, dont 3 points pour la question complémentaire)
Trouver tous les entiers n compris entre 1 000 et 10 000 vérifiant simultanément les conditions
suivantes :
(a) n est divisible par 9 ;
(b) le nombre de centaines de n est un multiple de 4 ;
(c) le nombre de dizaines de n est divisible par 25 ;
(d) le chiffre des unités et le chiffre des milliers de n sont deux nombres premiers.
Question complémentaire
Cette question prend appui sur les documents proposés en annexe 1 : l’énoncé de
trois exercices qui sont utilisés pour faire une évaluation-diagnostic.
1. À quel cycle de l’école primaire et à quel niveau de ce cycle ces exercices pourraient-ils être
posés ? Justifier la réponse.
2. Quelle compétence des élèves, le maı̂tre veut-il évaluer en proposant les exercices 1 et 2 ?
Préciser pourquoi les deux exercices sont nécessaires pour faire cette évaluation.
3. Quelle compétence supplémentaire le maı̂tre cherche-t-il à évaluer en proposant l’exercice 3 ?
4. Citez une erreur significative par rapport à la compétence visée dans l’exercice 2, une autre
dans l’exercice 3.
5. Quel(s) type(s) d’aide apporteriez-vous à des élèves qui ont commis des erreurs comme
celles décrites à la question précédente ?
EXERCICE 2 (4 points)
Dans la division euclidienne ci-dessous, on a remplacé certains des chiffres par des points.
4
1 3
6
5
1. Compléter cette division de deux façons différentes. Aucune justification n’est exigée.
2. Peut-on trouver plus de deux façons de compléter cette division ? Justifier la réponse.
Il est rappelé que l’écriture décimale d’un nombre entier non nul ne peut commencer par le
chiffre 0.
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Prépa PE2 2006/2007
CUEEP Littoral
EXERCICE 3 (9 points, dont 5 points pour la question complémentaire)
On rappelle qu’un nombre est appelé un carré parfait s’il est le carré d’un entier.
1. Donner, sans justification, la liste des carrés parfaits strictement inférieurs à 100.
2. Vérifier les égalités suivantes :
32 + 62 = 2 × 4 × 5 + 5
82 + 112 = 2 × 9 × 10 + 5
112 + 142 = 2 × 12 × 13 + 5
3. Que vous suggèrent-elles ?
4. Démontrer cette conjecture dans le cas général.
5. Écrire, sans justification, chacun des nombres 840 et 2 112 comme le double du produit de
deux entiers consécutifs.
6. Utiliser les résultats des questions précédentes pour décomposer chacun des entiers 845 et
2 117 en somme de deux carrés parfaits.
7. Tout entier naturel peut-il s’écrire comme la somme de deux carrés parfaits ? Justifier la
réponse.
Question complémentaire
Cette question prend appui sur le document proposé en annexe 2 : l’énoncé d’un
calcul mental et les productions de dix élèves.
1. Relever et analyser les erreurs commises. Quelles étaient les procédures mises en œuvre
qui n’ont pas abouti ?
2. Relever trois procédures qui ont permis d’obtenir le résultat. Par quelles propriétés ou
règles de la multiplication chacune d’elles se justifie-t-elle ?
Pour chacune, indiquer les enfants qui l’ont employée.
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Prépa PE2 2006/2007
CUEEP Littoral
ANNEXE 1
1) Voici des nombres :
3 245
2137
35
28
157
234
1354
202
1230
2364
Souligne en bleu les nombres qui ont 2 comme chiffre des centaines.
Souligne en rouge les nombres qui ont à la fois 3 comme chiffre des centaines et 4 comme chiffre
des unités.
2) Pour chaque jeu d’étiquettes, écris le nombre représenté :
6 dizaines
4 unités
3 centaines
7 unités
3) Écris le nombre représenté par les étiquettes :
6 dizaines
13 unités
8 centaines
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5 dizaines
9 centaines
Prépa PE2 2006/2007
CUEEP Littoral
ANNEXE 2
En CM1 lors d’une séance de calcul mental le maı̂tre écrit au tableau le calcul à faire. Après
un moment de recherche, au signal, les enfants écrivent leur résultat sur l’ardoise et lèvent leur
ardoise.
Le maı̂tre demande alors à certains enfants d’expliquer comment ils ont obtenu leur résultat.
Vous trouverez ci-dessous les réponses et les explications orales fournies par 10 enfants que l’on
désignera par l’initiale de leur prénom, A, B, C, D, E, F, G, H, I et J.
Calcul à faire : 18 × 5
Albert :
sur l’ardoise : 90
explications : 18 c’est presque 20, je calcule 20 x 5, c’est 100. Il faut enlever 5 et
encore 5.
Bérénice : sur l’ardoise : 90
explications : 18 plus 18 ça fait 36 et encore 36, 72, et encore 18, 90.
Cindy :
sur l’ardoise : 45
explications : je compte 5 fois 8 quarante et 5 fois 1 cinq. Ça fait 45.
Djamel :
sur l’ardoise : 90
explications : 5 c’est ma moitié de 10, je fais 18 multiplié par 10 ça fait 180 puis
je prends la moitié 50 et 40.
Elvis :
sur l’ardoise : 94
explications : j’ai posé l’opération dans ma tête : 5 fois 8 quarante, 0 et je retiens 4,
5 fois 1 cinq et 4 neuf.
Fatouma : sur l’ardoise : 90
explications : j’ai fait 20 moins 2 égal 18, 20 fois 5, 2 fois 5 dix et 100 moins 10 ça
fait 90.
Gaëlle :
sur l’ardoise : 90
explications : 18 fois 5 c’est comme 9 fois 2 fois 5.
Hugo :
sur l’ardoise : 540
explications : pas d’explications.
Iris :
sur l’ardoise : 72
explications : 18 plus 18, 36, plus 18 c’est comme 20 moins 2 ça fait 54, plus 18, 72,
plus 18, 90. J’avais faux.
Jules :
sur l’ardoise : 90
explications : 10 multiplié par 5 cinquante, 8 multiplié par 5 quarante, 40 plus 50, 90.
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