Ordre supérieur en Théorie des modèles finis.

Transcription

Arthur MILCHIOR
Étudiant au département d’informatique
École normale supérieure
Theory of Computation Group, Department of Computer Science
University of Massachusetts Amherst
22 Février-22 Aout
Introduction à la complexité descriptive
Sommaire
1 Introduction à la complexité descriptive
Examples
Définitions formelle
2 Etude de l’ordre supérieur
3 Opérateurs
4 Ordre supérieure monadique
5 Effondrement conditionnels
6 Questions ouvertes
Examples
3 définitions équivalentes
Complexité descriptive
Théorie des modèles finis
Théorie des bases de données
Examples
Graphes
Graphes
Vocabulaire
Univers
Relation binaire
G = (V , E )
σ = {E (ι,ι) }
V
E
(ι)
3-coloriable(E ) =def ∃1≤i≤3 Ci (∀x
_
(Ci (x))
1≤i≤3
∧∀x, y (E (x, y ) ⇒
^
1≤i≤3
¬(Ci (x) ∧ Ci (y ))
(1)
Types
Definition (Types)
T r ensemble des types d’ordre r .
T 1 := ι
r
T := (T
Example
Ordre 3 : ((ι), ι, ι)
Monadic d’ordre 4 :(((ι)))
<r
,...,T
<r
)
(2)
(3)
Vocabulaires
Definition (Vocabulaire)
Vocabulaire σ = {R1t1 , . . . , Rsts }, ensemble de symboles typés.
Example
σ = {E (ι,ι) }
α = {0ι , maxι , +(ι,ι,ι) , ×(ι,ι,ι) , X (ι) }
Univers
Definition (Univers)
Univers=Ensemble
Souvent [0, . . . , n − 1]
On s’intéresse aux modèles finis ⇒ l’univers est de taille finie.
Relations
Definition (Relations)
RtA = ensembles des relations de types t sur l’univers A.
Types
Définition RiA
ι
A
(t1 , . . . , tn ) P(RtA1 ⊗ · · · ⊗ RtAn )
Sous-ensemble du produit cartésiens des relations de type ti .
Example
<(ι,ι) (a, b) ≡ a < b
Structures
Definition (σ-structure)
A une σ-structure sur un univers A est une fonction Riti ∈ σ vers
RtAi .
Notation
A[X t /R t ]=def
X →R
Y → A(Y )
Sémantique
A |= Rt=(t1 ,...,tn ) (Rt11 , . . . , Rtnn ) ssi (A(R1 ), . . . , A(Rn )) ∈ A(R)
A |= Rt = S t ssi A(R) = A(S)
A |= φ ⊗ ψ trivial si ⊗ ∈ {∧, ∨, ¬}
A |= ∀X t φ ssi pour tout R ∈ RtA A[X /R] |= φ
A |= ∃X t φ ssi il existe R ∈ RtA A[X /R] |= φ
Limites
Definition
HO n’importe quel formule de ce formalisme.
HOr : Les variables quantifiées sont d’ordre au plus r .
HOrj : Il y a au plus j − 1 alternations de quantificateur d’ordre r ,
commençant par ∃.
HOr ,f : Formules avec quantifications d’ordre r et variables libres
d’ordre f .
Definition
HO0,f =quantifier-free.
HO1,2 =FO
HO2,2 =SO
Premier ordre
FO=FO-regular AC0 .
Theorem
Parité n’est pas exprimable dans FO.
Theorem
Sur les chaines de caractères
FO=langages *-free
Définitions mathématiques
Definition (tetration)
expna (x)
expna (x)
exp0a (x)
a
aa
x
...a
=
with n exponentiation of a.
n−1
exp
(x)
a
=a
= x.
Definition
ra...
rax
texpna (x, r ) = ara
with n exponentiation of a.
n−1
n
r
texp
(x,r
)
a
texpa (x, r ) = a
texp0a (x, r ) = x.
Machine à Alternation limité
Definition (Σj TIME(f ))
La classe ATIME(f ) des machines de Turing à alternation est une
machine de turing avec une limite de temps, des états existantiels,
ou on peut deviner l’étape suivante, et des états universels, où
toutes les prochaines étapes doivent accepter.
Les machines de Σj TIME(f ) commencent en existentiel et
alternent au plus j − 1 fois.
Theorem
C clôs sous polynomes :
P
P
Σj TIME(C ) = DTIME(C )Σj = NTIME(C )Σj−1
Égalité de classes
Theorem
HOrj ,2 = Σj TIME(expr2−2 (nO(1) )) (Hella, Turull-Torres)
HOrj ,2 = Σj TIME(expr2−2 (O(na )))
a : arité maximale des relations d’ordre 2. (Kolodziejczyk)
⊆.
Mettre en forme normale (temps fini). Ecrires les O(B(r )) bits des
relations d’ordre r en alternant j − 1 fois (temps
O(B(r )) = expr2−2 (nO(1) ))
Déterministiquement boucler sur les autres quantifications. (temps
O(B(r − 1) × N(r − 1)) = expr2−2 (nO(1) ).
Etude de l’ordre supérieur
Sommaire
Forme normale
Quelques nombres
3 Opérateurs
Forme normale
Step Normal Form
Definition (Step normal form)
Les types en SNF sont T1 = {ι} et
Tr = {(t1 , . . . , ta )|1 ≤ i ≤ a, ti ∈ Tr −1 }
Une formule est en step normal form(SNF) ssi tous les types sont
en SNF.
Theorem
Toutes formule de HOrj ,f peuvent être en SNF sans perte de
généralité.
Il faut par contre faire attention si le vocabulaire contient des
relations qui ne sont pas SNF.
Forme normale
Arity Normal form
Definition (Arity Normal form)
Une formule est en arity normal form(ANF) ssi tous les types sont
en ANF.
Les types en ANF sont T1,a = {ι} et
Tr = {(t1 , . . . , ta )|1 ≤ i ≤ a, ti ∈ Tr −1,a }
Theorem
Toute formule de HOrj ,f peuvent être en ANF sans perte de
généralité,
Notation
X a,r désigne une variable en arity et step normal form d’arité a et
d’ordre r .
Forme normale
Prefix Normal form
Definition (Prefix Normal form)
Une formule est en prefix normal form(PNF) ssi elle est de la forme
Q1 X1 . . . Qq Xq ψ avec ψ sans quantification.
Theorem
Toute formule de HOrj ,f peut être en PNF sans perte de généralité.
Attention : on comptes les alternations d’ordre r .
Forme normale
Notation
QX r signifie que X est d’ordre r .
Example
ξ = ∀X13 ∃X22 ∀X43 φ ∧ ∃X53 ∃X63 ∀X72 ∃X83 ψ
PNF(ξ) = ∀X13 ∃X22 ∀X43 ∃X53 ∃X63 ∀X72 ∃X83 (φ ∧ ψ)
6 Alternations, 1 alternation d’ordre 3.
Différent du nombre minimal d’alternation, qui est :
Example
∀X13 ∃X53 ∃X22 ∃X63 ∀X72 ∀X43 ∃X83 ∃X83 (φ ∧ ψ)
3 alternations, 3 alternations d’ordre 3.
Forme normale
Forme normale décroissante
Definition
Une formule φ ∈ HOrj est en Forme normale décroissante (DNF) si
r
elle est de la forme ∃X 1 . . . QX j ψ avec ψ ∈ HOr −1 en DNF.
Toute formule de HO0 est en DNF.
Theorem
Toute formule de HOrj ,f peut être en DNF sans perte de généralité.
C’est sans augmenter le nombre d’alternation de variables d’ordre
maximale.
Forme normale
Sketch de l’algorithme
∀x∃X 2,3 φ deviendra ∃X (ι,(ι,ι),(ι,ι)) ∀xφ[X (y )/X (x, y )]
On perd SNF et ANF.
Ca pose problème pour Y(. . . , X , . . . ) qui change de type.
Quelques nombres
Etudes des relations d’ordre supérieure
Definition
N(r , a) :Nombre de relations d’ordre r d’arité a.
C (r , a) :Borne de son cardinal
B(r , a) :Nombre de bits dans une relation d’ordre r d’arité a.
Theorem
r −2
N(r , a) = 2texp2
(na ,a)
= expr2−1 (nO(1) )
C (r , a) = texpr2−2 (na , a) = expr2−2 (nO(1) )
B(r , a) = texpr2−2 (na , a) = expr2−2 (nO(1) )
Quelques nombres
Encodage des relation d’ordre supérieure
Notation
E : Ra,r → {0, 1}B(r ,a)
(E (R))[i] ⇔ ti ∈ R
ti : ième tuple de (Rr −1,a )a
Theorem
BIT est exprimable en HO.
Corollary
<, +et× aussi
Opérateurs
Sommaire
3 Opérateurs
égalités
Egalités entre classes
Opérateurs
Clôture transitive
Notation
TC = “transitive closure”.
σ = {s ι , t ι , E (ι,ι) }
Reach(s, t, E ) =def (TCx,y E (x, y ))(s, t).
Theorem
FO(TC) = NL avec un ordre
FO(DTC) = L avec un ordre
(4)
Opérateurs
Chemin alternatif
G = (V , E , U) un graphe avec un sous-ensemble de noeuds
“universel” U.
Definition (Reacha (x, y ))
Reacha (x, y ) est vrai ssi
x =y
si x ∈ U alors pour pour tout z tel que E (x, z) alors
Reacha (z, y )
Sinon il existe un z tel que E (x, z) et Reacha (z, y )
Theorem
Reacha est P-complet sous FO-réduction.
Opérateurs
Point Fixe Inflationnaire
Notation
IFP = “Inflationary FixedPoint”.
LFP = “Least FixedPoint”.
σ = {s ι , t ι , E (ι,ι) , U (ι) }
Reacha (s, t, E ) =def (LFPPxy φap )(s, t)
φap =def x = y ∨ [∃z(E (x, z) ∧ P(z, y )) ∧
U(x) ⇒ (∀z(E (x, z) ⇒ P(z, y )))]
Theorem
FO(IFP) = FO(LFP) = P avec un ordre
(5)
Opérateurs
Point Fixe Partiel
Notation
PFP = “Partial FixedPoint”.
Definition
Soit σ un vocabulaire, φ une formule sur σ ∪ {P}
P0 =def ⊥
Pi+1 =def φ(Pi )
(PFPPx φ) =def
Pi si Pi = Pi+1
⊥ sinon
Theorem
FO(PFP) = PSPACE avec un ordre
Opérateurs
Point fixe non deterministe
Notation
NPFP = “Non determinstic Partial FixedPoint”.
Definition (NPFP)
Soient l une chaine de bits, σ un vocabulaire, φ et ψ des formules
sur σ ∪ {P}
P[] =def ⊥
P0l =def φ(Pl )
P1l =def ψ(Pl )
(NPFPPx φ, ψ) =def
S
l {Pl |Pl
= P0l = P1L }
Theorem
FO(NPFP) = NPSPACE = PSPACE (Abiteboul, Vianu, Vardy)
Opérateurs
Point fixe Alternatif
Notation
APFP = “Alternative Partial Fixed Point”
0 )
Definition (Tφ,ψ
0
Soit Tφ,ψ
un arbre binaire infini dont les noeuds sont (⊕, Pl ) avec
⊕ ∈ {∪, ∩}. ∪ = ∩ , ∩ = ∪.
La racine : (∪, ⊥)
Les feuille sont n = (⊕, Pl ) ssi Pl = P1l = P0l
Sinon il y a les arêtes (⊕, Pl ) → (⊕, P0l ) et (⊕, Pl ) → (⊕, P1l ).
Opérateurs
Point fixe Alternatif
Definition (Tφ,ψ )
0 . Quand on voit deux fois une même
Tφ,ψ est un sous-arbre Tφ,ψ
relation dans une branche, on élague la deuxième copie.
Definition (Evaluation de Tφ,ψ )
n = (⊕, Pl )
Evaluation de l’arbre : n est une feuille
n a pour fils f1 et f2
évaluation de n
Pl
f1 ⊕ f2
Opérateurs
Alternative Partial Fixed Point
Definition (APFP)
(APFPPx φ, ψ) = évaluation de Tφ,ψ .
Theorem
FO(APFP) = APSPACE = EXP avec un ordre. (Abiteboul, Vianu,
Vardy)
Opérateurs
Inflationaire
Definition (Inflationnaire)
NIFP et AIFP sont à NPFP et APFP ce que IFP est à PFP.
C’est la même définition si φ(P) ⊇ P et ψ(p) ⊇ P.
Theorem
FO(NIFP) = NP avec un ordre FO(AIFP) = APTIME = PSPACE
avec un ordre (Abiteboul, Vianu, Vardy)
Opérateurs
Forme normale des opérateurs
Theorem
Pour tout φ ∈ HOr (TC) il y a φ0 = (TCX Y ψ)(⊥, >) équivalent.
Pour tout autre opérateur P et φ ∈ HOr (P) il y a φ0 = (PPX ψ)(⊥)
équivalent.
Opérateurs
égalités
Ordre
Récapitulon :
Sur les structures avec une relation d’ordre interprété par un ordre
total !
FO(DTC) = L.
FO(TC) = NL
FO(IFP) = P
FO(NIFP) = NP
FO(AIFP) = FO(PFP) = FO(NPFP) = PSPACE
FO(APFP) = EXP
Theorem (Abiteboul-Vianu)
FO(IFP) = FO(PFP) si et seulement si P = PSPACE.
Opérateurs
égalités
Nombre de pas des opérateurs
Theorem
HOr (P)
P = TC
IFP
PFP
Nombre de pas dans P
T (r ) = expr2−1 (nO(1) )
C (r + 1) = exp2r −1 (nO(1) )
N(r + 1) = expr2 (nO(1) )
Nombre de bit
B(r ) = expr2−2 (nO(1) )
B(r + 1) = expr2−1 (nO(1) )
B(r + 1) = expr2−1 (nO(1) )
Opérateurs
Temps borné
Theorem
HOr ,2 (IFP) = DTIME(exp2r −1 (nO(1) ))
Démonstration.
⊆ : Nombre maximale de pas × temps pour un
pas=expr2−1 (nO(1) ) × exp2r −1 (nO(1) ) = expr2−1 (nO(1) )
⊇ : On a suffisament de bits pour encoder la bande, et suffisament
de place pour faire un calcul dans ce temps.
Opérateurs
Espace borné
Theorem
1
HOr ,2 (TC) = HOr −1,2 (PFP)
2
HOr ,2 (PFP) = SPACE(expr2−1 (nO(1) ))
3
HOr ,2 (NPFP) = HOr ,2 (PFP)
Démonstration.
1
Même nombre de pas et de bits par pas
2
Suffisament de bits pour encoder le ruban, et on peut parler
d’un pas de calcul avec BIT.
Suffisament d’espace pour boucler sur toutes les relations
3
Théorème de savitch : NSPACE(f ) ⊆ SPACE(f 2 )
Opérateurs
AIFP
Theorem
HOr +1,2 (TC) = HOr ,2 (AIFP) = HOr ,2 (PFP)
Similaire à ATIME(f ) = SPACE(O(1)f )
Démonstration.
⊆1 : Diviser pour reigner.
⊆2 : Au ième pas calculer en parallèle {Pl ||l | = i}.
Un deuxième point fixe calcule la sortie de l’arbre.
Opérateurs
NIFP
Theorem
HOr ,2 (NIFP) = HOr1+1,2
Démonstration.
Mettre en forme normale.
⊆ : Deviner (bit à bit) les relation d’ordre r + 1, le dernier pas est
juste la partie d’ordre r .
⊇ : Quantifier une liste de pas de NIFP, vérifier qu’ils sont cohérent
et que le dernier accepte 0.
Opérateurs
APFP
Theorem
HOr ,2 (APFP) ⊆ HOr +1,2 (IFP)
Démonstration.
On a suffisament de temps pour créer tout l’arbre, puis calculer sa
sortie.
⊇ ouvert.
Ordre supérieure monadique
Sommaire
3 Opérateurs
Relations monadiques
Definition
MHOrj ,f restriction de HOrj ,f avec quantifications monadiques (arité
1).
Theorem
MHO2 = langages réguliers.
HO2 ⊆ MHO3 avec < dans le vocabulaire.
HOr ⊆ MHOr +2
Notation
MRr ensemble de relation monadic d’ordre r .
Ordre total
Theorem
< est définissble dans MHO4
Démonstration.
<= {(x, y )|x < y } et (x, y ) = {{x}, {x, y }}
x <R 4 y =def ∃C 3 U 2 D2 (R(C) ∧ C(U) ∧ C(D) ∧ U(x) ∧
D(y ) ∧ D(x))
(6)
4
correct< (R ) =def ∀x, y , z(x <R y ∨ y <R x ∨ x = y )
∧∀C 3 (R(C) ⇒ (card2 (C)) ∧ ∃U 2 , D2 (C(U) ∧ C(D)
∧card2 (D) ∧ card1 (U) ∧ ∀x(U(x) ⇒ D(x))))
(7)
Sketch de preuve
Coder R2 dans MR3
Coder Rr dans MRr +2
(Image de Rr : Cr )
Injecter Cr dans MRr +1
Source
R2
R3
C3 ⊂ MR5
R4
C4 ⊂ MR6
R5
Injection
→3
→5
→6
→6
→7
→7
Image
MR3
MR5
MR4
MR6
MR5
MR7
Rendre monadique
Definition
Code du tuple t = (x0 , . . . , xa−1 ) :
C (t) = {j + a(xj mod (a + 1)),
j + a(a + 1 + (xj /(a + 1)))|0 ≤ j < a}
Cr ensemble de a-tuples de codes de relation d’ordre r − 1 (donc de
MRr )
Theorem
Ce code est correct.
Démonstration.
xj = dj (a + 1) + rj (rj < a + 1), unique (Euclide, elements 7)
y /a pour y ∈ Ct est d(y mod a) + a ou r(y mod a) .
Injection de Cr dans MRr +1
Possible par cardinalité.
Démonstration.
I r +3 injection de Cr dans MRr +1
R r +2 ∈ Cr , {I (R)} est une chaine c avec un bit à 1.
On coupe la chaine en 3 ; dans la partie après celle avec le 1 on
rajoute b + 1 avec 1 ≤ b ≤ 4 ; dans le dernier tiers on met le bème
quart de R.
R = R1 R2 R3 R4 , I (R) = 000 . . . 00100 . . . 000
Example d’elements de I : 000 . . . R2 |00 . . . 010 . . . 00|00 . . . 0111
Effondrement conditionnels
Sommaire
3 Opérateurs
r ème hierarchie expontentielle
Definition (r ème hierarchie expontentielle)
HOr +2,2 est la r ème hierarchie expontentielle et HOjr +2,2 est son
jème niveau.
Definition (Effondrement)
HOr +2 s’effonde au niveau j si pour tout k ≥ j on a
HOrj +2 = HOrk+2
C est un ensemble de fonction.
C s’effonde au niveau j si pour tout k ≥ j on a
Σj TIME(C ) = Σk TIME(C ).
Conjecture
Conjecture
Soit k > j
Si HOrk,2 = HOjr ,2 alors pour tout l > j HOrl ,2 = HOrj ,2 .
Si Σj TIME(C ) = Σk TIME(C ) alors C s’effondre au niveau j.
r
,r
,2
Soit φ ∈ HOrl ,2 , φ = ∃X 1 ψ avec ψ ∈ HOrl−1
et non pas HOrl−1
!
Conjecture
Conjecture
Soit k > j
Si HOrk,2 = HOjr ,2 alors pour tout l > j HOrl ,2 = HOrj ,2 .
Si Σj TIME(C ) = Σk TIME(C ) alors C s’effondre au niveau j.
r
,r
,2
Soit φ ∈ HOrl ,2 , φ = ∃X 1 ψ avec ψ ∈ HOrl−1
et non pas HOrl−1
!
Theorem
Si la conjoncture est fausse P ( NP
Relation en logique
Lemma
1
r ,i
Si HOrj ,i = HOj+1
alors
,i
,i
HOrj ,i = coHOjr ,i = HOrj+1
= coHOrj+1
.
2
Si HOrj ,i = coHOjr ,i avec i = r (resp. i = r + 1) alors
,k
r ,k
pour tout k < r (resp.
= coHOrj ,k = coHOrj+1
HOrj ,k = HOj+1
k = r + 1).
3
r ,i
Si HOrj ,i = HOj+1
or HOrj ,i = coHOrj ,i avec i = r (resp
i = r + 1) alors HOr ,k s’effondre au niveau j + 1 for k ≤ r
(resp k = r + 1).
Lemmes
Lemma
Si Σj TIME(C ) = Σj+1 TIME(C ) alors Σj TIME(C ) =
coΣj TIME(C ) = Σj+1 TIME(C ) = coΣj+1 TIME(C ).
Theorem
Soit f , g des fonctions tel qu’il exists h calculable en temps O(f )
tel que f = Θ(g (h(n) + n)). Alors pour tout 0 ≤ j < k
Σj TIME(g ) = Σk TIME(g ) implique
Σj TIME(f ) = Σk TIME(f )
Σj TIME(g ) = SPACE(g ) implique Σj TIME(f ) = SPACE(f )
TIME(g ) = SPACE(log ◦g ) implique
TIME(f ) = SPACE(log ◦f )
Théorème générale
Theorem
F et G sont des classes tel que pour tout f ∈ F il y a hf calculable
en temps f (resp. espace f , resp. espace log ◦f ) et gf ∈ G tel que
f (n) = O(gf (hf (n) + n)) et pour tout g 0 ∈ G il y a f 0 ∈ F tel que
g 0 (hf (n) + n) = O(f 0 ). Soit 0 ≤ j < k et supposons
Σj TIME(G ) = Σk TIME(G ) alors Σj TIME(F ) = Σk TIME(F ))
(resp. si Σj TIME(G ) = SPACE(G , k) alors
Σj TIME(F ) = SPACE(F ), resp.si SPACE(log(G )) = TIME(G )
alors SPACE(log(F )) = TIME(F )).
Traduction en complexité descriptive
Corollary
Si 2 ≤ r < p et 0 < j < k
= HOp,2
HOrj ,2 = HOrk,2 implique HOp,2
j
k
HOrj ,2 = HOr ,2 (TC) implique HOp,2
= HOp,2 (TC)
j
HOr ,2 (IFP) = HOr ,2 (TC) implique HOp,2 (IFP) = HOp,2 (TC) .
Effondrer une classe
Theorem
Soit D ⊇ {cn|c ∈ N} une classe de fonction, et C une classe
constructible en temps, tel que pour tout g ∈ D et f ∈ C on a
g ◦ f ∈ C . Si Σj TIME(D) = Σj+1 TIME(D) ou
Σj TIME(D) = coΣj TIME(D) alors C s’effondre au niveau j. Et si
Σj TIME(D) = SPACE(D) alors Σj TIME(C ) = SPACE(C ).
Corollary
Si la hierarchie polynomiale (ou linéaire) s’effondre au jème niveau
alors toutes les hierarchie exponentielles et classes close sous les
polynomes s’y effondrent aussi. Si PSPACE ⊆ Σpj alors
SPACE(expr2 (nO(1) )) ⊆ Σj TIME(expr2 (nO(1) )).
Espace
Theorem (Immerman-Szelepcsényi)
f = Ω(log), NSPACE(f ) = coNSPACE(f )
Corollary
f = Ω(log), Σj SPACE(f ) = NSPACE(f )
Questions ouvertes
Sommaire
3 Opérateurs
Questions ouvertes
Restrictions syntactiques
Definition
a1 ,2
an ,2
SO(R) = {Q
∀x1 . . . ∀xm φ|φ ∈ R}
V 1 X1V . . . Qn Xn W
HORN = Vi ((( j Ai,j ) ⇒
A
)
k Ni,k )
W i
KROM = i (Pi,1 ∨ Pi,2 j Ni,j )
N prédicat non quantifié ou sa négation
P Prédicat quantifié ou sa négation
A Prédicat quantifié
Theorem
SO(HORN) = P, SO(KROM) = NL
Comment transformer ∀x1 . . . ∀xm en ordre supérieur ?
Questions ouvertes
Réponse plus précise
HOr ⊆ MHOr +1 ? MHOr ⊆ HOr −1 (P) avec P un opérateur ?
HOr +1 (IFP) ⊆ HOr (APFP) ?
HOr (NPFP) ⊆ HOr (PFP) sans utiliser de MT ?
Questions ouvertes
Autres extensions
Machines relationnels supérieures.
Jeu de Ehrenfeucht-Fraïssé
Counting quantifiers, unary quantifiers.
Logique infinie
Questions ouvertes
Merci

Ordre supérieur en Théorie des modèles finis.

Transcription

Documents pareils

pourvu - Stages

IJCOF Service Val`hor TSA 90001 69794 Saint

Examen d`Eléments finis. Mai 2009.

suivi chantier par photos aeriennes realisees avec un mat

IJCOF Service Val`hor TSA 90001 69794 Saint

Curriculum Vitae - Association des Ingénieurs Polytech Lille

CP Cote Jardin Valhor Floralies

Technicienne chimiste - Portail emploi du Groupe IMT

MIP - ensai