StatDescr

Université de Bourgogne
L3 de mathématiques - Statistique
Année 2016-2017
TD de statistique descriptive
Exercice 1 :
Une étude sur un échantillon d’individus a permis de donner la répartition suivante des
personnes ayant déjà joué aux jeux vidéo, par tranche d’âge :
Age
Fréquence
[0; 10[ [10; 20[ [20; 30[ [30; 45[ [45; 60[ [60; 80]
30%
35%
18%
12%
3%
2%
1. Construire un histogramme de cette série.
2. Tracer la courbe des fréquences cumulées.
3. Donner une valeur approchée de la médiane.
Exercice 2 :
1. Supposons que les taux d’intérêt pour 4 années consécutives soient respectivement de
5, 10, 15, et 10%. Que va-t-on obtenir après 4 ans en plaçant 100 euros ?
On appelle taux d’intérêt moyen sur les 4 ans le taux d’intérêt t qu’il faudrait mettre
chacune des 4 années pour obtenir le même résultat. Exprimer t en fonction des taux t1 ,
t2 , t3 et t4 de chaque année (Faire le lien avec l’une des moyennes).
2. Un cycliste parcourt 4 étapes de 100km. Les vitesses respectives pour ces étapes sont de
v1 = 10 km/h, v2 = 30 km/h, v3 = 40 km/h, v4 = 20 km/h. Exprimer la vitesse moyenne
v du cycliste sur les 400 km en fonction de v1 , v2 , v3 et v4 (Faire le lien avec l’une des
moyennes).
Exercice 3 : Ecrits CAPES 2013
Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul et (x1 , ..., xn ), un n-uplet de réels. On
définit sur R les deux fonctions G et L par :
n
n
X
X
2
G(x) =
(x − xi ) L(x) =
|x − xi |.
i=1
i=1
1. Minimisation de G
a) En écrivant G(x) sous la forme d’un trinôme du second degré, démontrer que la fonction G admet un minimum sur R et indiquer pour quelle valeur de x il est atteint.
b) Que représente d’un point de vue statistique la valeur de x trouvée à la question
précédente ?
2. Minimisation de L On supposera dans cette question que la série est ordonnée, c’està-dire que : x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn .
1
a) Représenter graphiquement la fonction L dans le cas où : n = 3 , x1 = −2 , x2 =
3 , x3 = 4.
b) Représenter graphiquement la fonction L dans le cas où : n = 4 , x1 = −2 , x2 =
2 , x3 = 4 , x4 = 7.
c) Démontrer que la fonction L admet un minimum m sur R et indiquer pour quelle(s)
valeur(s) de x il est atteint.On distinguera les cas n pair et n impair.
d) Que représentent d’un point de vue statistique les valeurs de x trouvées à la question
précédente ?
Exercice 4 : Neuf étudiants émettent un avis pédagogique vis-à-vis d’un professeur selon une
échelle d’appréciation de 1 à 20. On relève par ailleurs la note obtenue par ces étudiants l’année
précédente auprès du professeur :
Y=Avis 5 7 16 6 12 14 10 9 8
X=Note 8 11 10 13 9 17 7 15 16
1. Représenter graphiquement les deux variables.
2. Calculer le coefficient de corrélation
3. Déterminer la droite de régression de Y en fonction de X.
4. Etablissez sur la base du modèle l’avis pour un étudiant ayant obtenu la note 12/20
Exercice 5 : Que se passe-t-il ?
1. Pour la moyenne : quand on change d’unité la variable (X devient aX) ? quand on translate
la variable (X devient X+a) ?
2. Mêmes questions pour la variance et l’écart-type.
3. Mêmes questions pour le coefficient de corrélation linéaire.
Exercice 6 : n individus ont été classés de 1 à n selon deux critères (pas d’ex aequo). On note
par X 00 et Y 00 les variables statistiques représentant les rangs des n individus selon les deux
critères. Montrer que le coefficient de corrélation linéaire des deux variables X 00 et Y 00 est donné
par :
n
X
6
(x00i − yi00 )2
r(X 00 , Y 00 ) = 1 −
i=1
n(n2 − 1)
.
Ce coefficient est appelé coefficient des rangs de Spearman.
2