A1-‐ Les carrés de Mac Mahon

A1-­‐ Les carrés de Mac Mahon Les diagonales des carrés déterminent quatre zones qui sont coloriées par une des trois couleurs choisies (blanc, jaune ou rouge). Deux carrés peuvent être accolés par des côtés de même couleur. En utilisant plus de 20 carrés, réalise un rectangle. Réussiras-­‐tu à utiliser les 24 carrés ? Des carrés de Mac Mahon à photocopier, coller sur du carton puis découper. Remarques pour l’utilisateur. Les 24 pièces peuvent former un rectangle 6×4, 8×3, 2×12 ou 1×24. Il faudrait 25 pièces pour réaliser un carré 5×5, la recherche d’un carré « troué » est envisageable. Propositions : Confier un jeu incomplet (23 pièces seulement) et faire rechercher la pièce manquante permet de comprendre pourquoi seules 24 pièces existent. Faire construire des rectangles dont les bords sont unicolores (des solutions existent avec les 24 pièces, mais elles ne sont sans doute pas accessibles à de jeunes élèves). Fractions et proportions Respectant les règles de juxtaposition, voici deux carrés 2×2 formés de quatre pièces. Le premier montre une présence de la couleur rouge maximale, le second une présence de la couleur rouge minimale. Pour le premier carré 2×2, le déplacement de petits triangles rectangles isocèles permet de se rendre compte que le carré est aux trois quarts rouge. Des carrés à moitié rouges ou au quart rouges pourront être facilement trouvés. Le carré 2×2 est formé de 16 triangles rectangles isocèles. La zone rouge représente donc 12
du carré 2×2. 16
Peut-­‐on réaliser des assemblages dont les parties rouges représenteront
!
1
16
du carré 2×2 ? ! ! !
!
1
4
1
Il y a l’occasion de faire rencontrer les égalités « = », « = », « = ». 16 4
16 2
16 4
12
!
11 10 9
2
, , , …, , 16 16 16
16
3
8
Des éléments de symétrie. 18 des 24 pièces admettent au moins axe de La recherche d’assemblages ! un !
!symétrie. !
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!
rectangulaires admettant au moins un axe de symétrie met en œuvre la symétrie orthogonale comme outil de création de motifs. Un exemple est donné ci-­‐dessous. Réaliser un tel rectangle avec le plus de pièces possibles. D’autres thèmes de recherche se trouvent dans les brochures d’accompagnement de l’exposition Objets Mathématiques de l’A.P.M.E.P. Lorraine. A1 -­‐ Découverte des carrés de Mac Mahon Des carrés à colorier Prends trois crayons de couleur différente. Les diagonales de chaque carré délimitent quatre régions qui devront être coloriées par une des trois couleurs. Combien de carrés as-­‐tu colorié ? A1 -­‐ Les carrés de Mac Mahon (Une aide pour la recherche des pièces) A A Deux couleurs B B A A B A Deux couleurs Deux couleurs B A Une couleur B Trois couleurs C C A B Trois couleurs A C
C B B
Trois couleurs