La Formule de Ramsey # On doit financer un montant -<5/D4

La formule de Ramsey
On doit …nancer un montant exogène de dépenses publiques.
Comment opérer de manière optimale lorsque seules des taxes linéaires
di¤érenciées sur les di¤érents biens sont disponibles ?
Théorie de la taxation indirecte optimale
Ramsey (1927, Economic Journal) ; Boiteux (1956 dans Econometrica), Samuelson (1951, republié 1986 Journal of Public Economics)
Diamond Mirrlees (1971a et b, AER)...
1
Principaux résultats:
Toutes choses égales par ailleurs, il faut davantage taxer les biens dont
les demandes et les o¤res sont les moins élastiques.
Condition su¢ sante pour taxation uniforme de tous les biens
Théorème de l’e¢ cacité productive
=> Théorème de non taxation des biens intermédiaires.
Appliquer ensuite cette méthode au modèle de croissance néo-classique
avec capital et monnaie pour analyser les politiques …scales et monétaires
optimales.
2
Environnement
Un consommateur représentatif (pas de motif à redistribuer )
O¤re du travail `
Consomme c = (c1; :::; cn)
Utilité U (c; `) avec
@U
@U
0
0
(c1; :::; cn; `) < 0
(c1; :::; cn; `) > 0
et
U` =
Ui =
@ci
@`
U (:; :) est C 2, INADA et est strictement quasi-concave
=> Un maximum existe, est unique et est intérieur :
=> Les conditions nécessaires du premier ordre.
3
Une entreprise représentative
Demande du travail r
Produit x = (x1; :::; xn)
Technologie F (x; r)
0 avec
@F
0
>0
Fi =
@xi
et
@F
<0
@r
et rendements d’échelle constants
F (:; :) est C 2 et, F (x;r)
0 est un ensemble convexe
4
Exemple :
Pour chaque bien i, on a besoin d’une quantité de travail
produire une quantité de bien xi.
Avec une quantité de travail totale r, on doit alors véri…er
i (xi) pour
n
X
i=1
r
On a alors dans ce cas
F (x; r)
n
X
def
i=1
5
i (xi)
r
i (xi)
L’état consomme de manière exogène des biens g = (g1; :::; gn) :
Equilibre sur marché du bien i :
xi = ci + gi
Equilibre sur le marché du travail (pas de corvée...)
`=r
6
Equilibre concurrentiel
Prix pi, pour i = 1; :::; n
Salaire w
Le bien i est taxé au taux i.
Le travail est taxé au taux `.
Contrainte budgétaire de l’Etat
n
X
pi ( i ci gi) +
i=1
7
w `
0
Le consommateur résout :
U (c1; :::; cn; `)
max
sous :
c1;:::;cn;`
n
X
(1 + i) pici
( )
w `
i=1
CN1 (U est strictement quasi-concave donc CN1 sont su¢ santes)
Ui0 (c1; :::; cn; `) =
(1 + i) pi
d’où les TMS d’équilibre:
Ui0 1 + i pi
=
0
Uj 1 + j pj
et
8
U`0 (c1; :::; cn; `) =
Ui0
=
0
U`
pi
(1 + i)
w
w
La …rme résout :
n
X
max
x1;:::;xn;r
pi xi
i=1
sous : F (x1; :::; xn; `)
(1 + `) w r
0
( )
CN1 :
pi =
Fi0 (x1; :::; xn; `)
(1 + `) w =
et
D’où les TMST d’équilibre
Fi0 pi
=
et
0
Fj pj
Fi0
=
0
F`
9
1
pi
1+ ` w
F`0 (x1; :::; xn; `)
Comme rendements d’échelle constants, pro…t nul
n
X
=
pixi (1 + `) w r = 0
i=1
10
Etant donné un système de taxe ( `; 1; :::; n), un équilibre résout :
La taxation introduit une di¤érence entre TMS et TMST :
1 + j Ui0 Fi0
= 0 (=
0
1 + i Uj Fj
pi
)
pj
Ui0
(1 + `) Fi0
=
(=
0
0
(1 + i) U`
F`
et
pi
)
w
Equilibres de marchés : xi = ci + g et r = `
Equilibres budgétaires :
n
X
(1 + i) pici = w `
n
X
et
pi ( i ci
i=1
i=1
Faisabilité technologique : F (x1; :::; xn; `) = 0
11
gi) + ` w ` = 0
Si (c; x) est un équilibre avec le système de prix (p1; :::; pn; w), alors,
c’est également un système de prix avec (
tout
p1; :::;
pn ;
w) pour
>0
–Dorénavant, on normalise w = 1.
Dans les TMS, seuls comptent les ti dé…nis par :
1+ i
1 + ti =
1
`
)
ti = i
1
`
`
–Di¤érentes taxes permettent de décentraliser la même allocation des
ressources.
–Dorénavant, on normalise la taxe sur le travail à 0
12
Optimum de 1er rang
Un plani…cateur omniscient, omnipotent et bienveillant.
Il contrôle parfaitement c, x, ` et r
max
c;x;`;r
U (c; `)
sous : F (x; r)
0
c+g =x
r=`
Soit :
max U (c; `)
c;`
sous : F (c + g; `)
0
( )
CN1
0 = Ui0
Fi0
et
13
0 = U 0`
F`0
L’optimum de 1er rang nécessité l’égalité des TMS et des TMST :
Ui0 Fi0
Ui0 Fi0
= 0
et
= 0
0
0
Uj Fj
U` F`
Seules des taxes forfaitaires (qui ne dépendent pas des choix x, c, `,
et r) peuvent décentraliser l’optimum de 1er rang.
Prendre de manière forfaitaire les biens gi. Mais comment-est ce possible si les individus / les entreprises sont hétérogènes ?
14
Description de l’ensemble des allocations réalisables fc; x; `g
avec des taxes linéaires, étant donné g = (g1; :::; gn):
Théorème 1 Les allocations fc; x; `g réalisables sont toutes celles qui
véri…ent: xi = ci + gi pour tout i et :
F (c1 + g1; :::; cn + gn; `) = 0
n
X
ci Ui0 (c1; :::; cn; `) + ` U`0 (c1; :::; cn; `) = 0
(Ressources)
(Implementabilite)
i=1
Réduction des inconnues du problème aux seules variables c et `.
La contrainte d’implémentabilité est la condition supplémentaire qui
résume les restrictions dues à la forme linéaire des taxes.
15
Approche primale : on élimine les prix pour tout exprimer en termes
de quantités.
1. Démontrer que toute équilibre concurrentiel véri…e les contraintes de
ressources et d’implémentabilité
2. Démontrer que pour toute allocation (c; x; `; r) véri…ant les contraintes
de ressources et d’implémentabilité, il existe un système de prix (p; w),
et un système de taxe ( i; `), telle que
Le consommateur choisit e¤ectivement (c;`) face à (p; w; ; `)
La …rme choisit e¤ectivement (x; r) face à (p; w; ; `)
La contrainte budgétaire du gouvernement est saturée.
16
Démonstration de 1.
CN1 du ménage
Ui0 =
U`0 =
(1 + i) pi
w
n
X
(1 + i) pici
w `
i=1
d’où
n
X
i=1
n
X
(1 + i) pici
w `
)
ci Ui0 (c1; :::; cn; `) + ` U`0 (c1; :::; cn; `)
0
i=1
La condition de ressources découle de la contrainte technologique de la
…rme F (x1; :::; xn; `)
0, de l’équilibre sur le marché i : ci + gi = xi et
sur celui du travail r = `.
17
Démonstration de 2.
Soit une allocation telle que fc;`g telle que
F (c1 + g1; :::; cn + gn; `) = 0
n
X
ci Ui0 (c1; :::; cn; `) + ` U`0 (c1; :::; cn; `) = 0
(Ressources)
(Implementabilite)
i=1
def
def
On pose xi = ci + gi pour tout i et r = `. On pose
def
w = 1
et pour tout i
0 (c + g;r)
F
def
pi = i0
F` (c + g;r)
et
,
def
` = 0
def
1+ i =
18
(normalisation)
F`0 (c + g; `) Ui0 (c; `)
=
0
0
Fi (c + g; `) U` (c; `)
1 Ui0 (c; `)
pi U`0 (c; `)
Etant donné ce vecteur des prix p et de taxes , est-ce que :
Le consommateur choisit bien (c; `) ?
La …rme choisit bien (x; r) ?
Toutes les contraintes budgétaires sont satisfaites ?
Consommateurs
La maximisation de l’utilité des consommateurs sous contraintes budgétaires induit :
Ui0 =
(1 + i) pi
19
U`0 =
w=
–Qui induisent les bonnes égalités sur les TMS :
Ui0
Ui0
(1 + i) pi
=
= pi (1 + i) =
0
0
Uj
U`
1 + j pj
pi
(1 + i)
w
On remplace dans la contrainte d’implémentabilité les Ui0 par les prix
n
X
ci Ui0 (c1; :::; cn; `) + ` U`0 (c1; :::; cn; `) = 0
i=1
8
9
n
<X
=
(1 + i) pi ci ` w = 0
:
;
i=1
On retrouve alors la contrainte budgétaire du ménage (dès que
n
X
(1 + i) pi ci = ` w
i=1
20
6= 0)
L’allocation (c; `; x; r) satisfait les conditions du premier ordre du programme du consommateur (Egalité des TMS aux rapports des prix
après taxes et contraintes budgétaire)
Stricte quasi-concavité et INADA impliquent que les conditions nécessaires sont su¢ santes.
Le consommateur choisit e¤ectivement (c; `)
21
Producteurs
CN1
pi =
Fi0 (x; r)
1=
Fr0 (x; r)
On a les bonnes égalités des TMST
Comme xi = ci + gi pour tout i, ` = r plus contrainte de ressources
implique que la contrainte technologique est véri…ée
F (x; r)
Pro…ts :
n
X
=
pi xi
i=1
w r=
8
n
<X
:
i=1
22
0
9
=
Fi0 (x; r) xi + Fr0 (x; r) r = 0
;
Contrainte budgétaire de l’état :
n
n
X
X
pi ( i ci
pi ( i ci gi) + ` w ` =
i=1
n
X
i=1
n
X
pi [(1 + i) ci
pi (1 + i) ci
n
X
pi [(1 + i) ci
i=1
pi xi
w `
( + w `) =
i=1
i=1
Or, comme
(ci + gi)] =
i=1
n
X
gi) =
= 0, on en déduit …nalement :
n
X
pi ( i ci gi)
` w `
i=1
23
xi ] =
Optimum de Ramsey (second rang)
max
c1;:::;cn;`
U (c1; :::; cn; `)
F (c1 + g1; :::; cn + gn; `) = 0
n
X
ci Ui0 (c1; :::; cn; `) + ` U`0 (c1; :::; cn; `) = 0
(Ressources)
(Implementabilite)
i=1
Lagrangien :
U (c8
F (c1 + g1; :::; cn + gn)
1; :::; cn; `)
9
n
<X
=
ci Ui0 (c1; :::; cn; `) + ` U`0 (c1; :::; cn; `)
:
;
i=1
24
CN1
(1
(1
) Ui0
) U`0
n
X
k=1
n
X
00
ck Uik
00 =
` Ui`
Fi0
(ci)
00
ck U`k
00 =
` U``
F`0
(l)
k=1
On pose
Hi =
n
X
00 + ` U 00
ck Uik
i`
k=1
H` =
et
Ui0
n
X
00 + ` U 00
ck U`k
``
k=1
U`0
Les CN1 deviennent :
[1
(1
Hi)] Ui0 =
Fi0
[1
25
(1
H`)] U`0 =
F`0
Or, on se souvient qu’à l’équilibre :
Fi0
Ui0
= pi (1 + i)
= pi
0
0
U`
F`
Ui0 F`0
d’où : 1 + i = 0
U` Fi0
Avec les CN1 ...
F`0 Ui0 1
1+ i =
=
0
0
Fi U` 1
(H` Hi)
i =
1
(1 Hi)
i
H` Hi Hi
1+ i
=
=
j
H` Hj Hj
H` )
Hi )
(1
(1
(H` Hi)
=
1+ i 1
(1 H`)
H`
H`
i
1+ j
26
On en déduit :
Si
= 0 (i.e. la contrainte d’implémentabilité n’est pas active), alors
i = 0 (taxation forfaitaire).
Hi résume l’ensemble des distorsions qui sont spéci…ques à la taxation
du bien i.
Il est essentiel d’interpréter économiquement les termes Hi et H`
0
1
0
1
n
n
X
1
1 @X
00 + ` U 00 A et H =
00 + ` U 00 A
@
c
U
c
U
Hi =
k
`
k
ik
i`
`k
``
Ui0
U`0
k=1
k=1
d’où le recours à des cas particuliers...
27
Cas particulier 1 : U (:; :; :) est faiblement séparable en le
loisir et homothétique en la consommation c
U (c; `) = W (G (c) ; `)
W10 > 0
W20 < 0
G (:; :) est strictement croissante et homogène
Alors les termes Hi sont égaux pour tous les biens de consommation, si
bien que
i= j
Taxation uniforme des di¤érents biens de consommation.
28
En e¤et, comme G (:::) est homogène, ses dérivées partielles le sont
aussi, si bien que pour tout
>0
0
0
Ui0 ( c; `) Uj ( c; `)
G0i ( c) Gj ( c)
=
,
=
0
0
0
Gi (c)
Gj (c)
Ui (c; `)
Uj0 (c; `)
En dérivant par rapport à la dernière égalité, on obtient (en = 1...)
Pn
00 c + U 00 `
U
k=1 ik k
i`
=
0
Ui
d’où Hi = Hj
et …nalement i = k
29
Pn
00 c + U 00 `
U
k=1 kj k
j`
Uj0
Cas particulier 2 U (:) est additivement séparable :
n
X
U (c; `) =
ui (ci) + (`)
k=1
On a
00 = 0
Uij
d’où
Hi =
Dans la formule
ci Uii00
>0
0
Ui
et
et
i
Hi
1+ i
=
j
Hj
1+ j
30
00 = 0
Ui;`
H` =
H`
H`
00
` U``
<0
0
U`
Hi; Hj > 0 > H`, donc
i> j
,
Hi > H j
Pour interpréter, on regarde le programme du consommateur avec un
revenu R “tombé du ciel”
max
U (c1; :::; cn; `)
sous :
n
X
pi ci
`
R
i=1
CN1
Ui0 =
pi
U`0 =
0
w
n
X
i=1
dé…nissent la solution Ci (p1; :::; pn; R).
31
pi ci
w `
R
On dérivant par rapport à R la CN1 par rapport à ci
0
U
@
@
@C
i
00
i
= pi
=
Uii
@R
@R
@R
D’où
@
ci Uii00
ci @R
Hi =
= @C
0
i
Ui
@R
On pose l’élasticité-revenu de la demande de bien i par
R @Ci
i
"R =
Ci @R
j
"R
Hi
j
i
>
,
H
>
H
,
=
>
1
,
"
>
"
i
j
i
j
R
R
Hj "iR
Il faut davantage taxer les biens dont la demande présente
une faible élasticité-revenu "iR.
32
Cas particulier 3 : cas 2 + U (:) est quasi-linéaire en le
loisir
U (c; `) =
n
X
Vi (ci)
`
i=1
Pas d’e¤et revenu sur les choix de consommation, i.e. "iR = 0
H` = 0
Hi =
et
ci Vii00
>0
0
Vi
Calcul des élasticité prix
CN1
`:1=
ci : Ui0 = Vi0 =
33
pi = pi
d’où
1
@ci
= 00
@pi Uii
,
"ipi =
pi @ci
=
ci @pi
,
j
Hi "p i
= i >1
Hj "p i
Ui0
1
=
00
ci Uii Hi
Alors
i> j
,
Hi > H j
,
j
"R > "iR
Il faut davantage taxer les biens ayant une élasticité-prix
"ipi faible.
Repose sur des restrictions fortes concernant les préférences (elles reviennent à considérer comme valide une analyse en équilibre partiel)
34
Bilan : que retenir ?
Le cas 1 est recherché par les macroéconomistes
–Di¤érents biens en statique , Un seul bien à des périodes di¤érentes
–Fonction d’utilité de la période CRRA
–Un certain nombre de résultats peuvent disparaître si on supprime
la séparabilité intertemporelle (habitudes de consommation, ...)
Mais le cas 1 est trop restrictif pour un certain nombre de problèmes :
–Le tabac est un bien dont la demande est très peu élastique au prix...
–Le travail non quali…é a une o¤re et une demande plus élastiques que
le travail quali…é...
35
Efficacité productive (Diamond Mirrlees AER 1971a,b)
Considérons à présent une économie avec deux …rmes opérant avec deux
technologies di¤érentes F (x;r)
0 et G (y; s)
0 mais avec des ren-
dements constants (i.e. pas de pro…t).
Le problème de Ramsey devient :
max
x1;:::;xn;y1;:::;yn;r;s
U (x1 + y1
F (x1; :::; xn; r) = 0
n
X
(xi + yi
g1; :::; xn + yn
G (y1; :::; yn; s) = 0
gn; r + s)
(Ressources)
gi) Ui0 (x + y; r + s) + (r + s) U`0 (x + y; r + s) = 0
i=1
(Implementabilite)
36
Lagrangien :
CN1
U (x8+ y
n
<X
:
g; r + s)
F (x; r)
ci Ui0 (x + y
G (y; s)
g; r + s) + ` U`0 (x + y
i=1
g; r + s)
9
=
;
(1
(1
Hi)) Ui0 =
Fi0 =
G0i
(xi et yi)
(1
(1
H`)) U`0 =
Fr0 =
G0s
(r et s)
On en déduit l’égalité des TMST entre les deux …rmes
Fi0 G0i
Fi0 G0i
et
= 0
= 0
0
0
Fr Gs
Fj Gs
37
Les deux entreprises doivent faire face au même vecteur de
prix (Diamond Mirrlees 1971).
Partant de l’optimum de Ramsey, il n’existe aucune réallocation des
inputs entre les producteurs qui augmente (faiblement) la production
de tous les biens (et au moins 1 strictement). E¢ cacité productive.
Deux entreprises produisant des outputs di¤érents doivent payer leurs
inputs au même prix
–pas de subvention sectorielle à l’achat d’input.
e.g.: pas de rabais de TIPP pour les camionneurs.
Pas d’allégements de charges spéci…ques à certain secteurs d’activité.
38
Si l’output de l’une et l’input de l’autre, alors la transaction ne doit
pas être taxée
–Théorème de non taxation des biens intermédiaires ou de
taxation uniforme des inputs de production
–Résultat essentiel pour l’analyse de la politique monétaire
Si Firme 2 = entreprise publique, alors elle doit faire face au même
vecteur de prix que entreprise privé
–Elle doit acheter ses inputs au même prix que le secteur privé.
–Elle doit prendre les prix de production du secteur privé dans ses
calculs économiques...
39
Application également au commerce international
–Si 1=entreprise domestique et 2 …rme étrangère
–Entreprise 2 est équivalent à une technologie de production transformant les biens exportés en biens importés
–Les échanges doivent se faire aux prix de production
–Pas de droit de douane.
40