La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune

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Correction Mathématiques – DS3
EXERCICE 1 :
La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque
qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l'ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de
l'ancienne bibliothèque augmenté de 7000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
PARTIE A
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et
d'acheter 6000 ouvrages neufs.
On appelle un le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année 2013 + n. On donne
u0 = 42.
1. u0 = 42
u1 = 42 x (1 –
5 ) + 6 = 45,9
100
u2 = 45,9 x 0,95 + 6 = 49,605
La médiathèque disposera de 45 900 ouvrages le 1er janvier 2014 et de 49 605 ouvrages, le 1er janvier
2015
2. Pour tout entier naturel n, un est le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de
l'année 2013 + n. L'année suivante, le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles est noté un+1.
Chaque année, 5% des ouvrages, trop vieux ou abîmés sont supprimés, un est alors multiplié par
0,95. D'autre part, chaque année, on achète 6 000 ouvrages, on en déduit alors que :
5
pour tout entier naturel n, un+1 = (1 −
)u + 6 = 0,95 un + 6.
100 n
3. Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier n tel que u n⩾100 . C'est à dire le nombre
d'années nécessaires pour que le nombre d'ouvrages soit supérieur ou égal à 100 000.
4. La calculatrice affiche 27. Donc à partir de 2040, la médiathèque disposera d'un stock supérieur à
100 000 ouvrages.
PARTIEB
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4000 nouveaux
ouvrages par an au lieu des 6000 prévus.
On appelle vn le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année 2013 + n.
1. On admet que vn+1 = vn ×0,95 + 4 avec v0 = 42.
Pour tout entier naturel n, on pose : wn= vn – 80
wn+1 = vn+1 – 80
= 0,95 vn + 4 – 80
= 0,95vn – 76
= 0,95 (vn – 80)
= 0,95wn
Pour tout entier naturel n, wn+1= 0,95 wn , la suite (wn) est donc une suite géométrique de raison 0,95 et de
premier terme w0 = 42 – 80 = -38.
2. Pour tout entier naturel n, wn = w0 x 0,95n = -38 × 0,95n .
Pour tout entier naturel n, wn= vn – 80 soit
vn= wn + 80 = -38×0,95n + 80.
vn+1 – vn = -38×0,95n+1 + 80 – (-38×0,95n + 80)
vn+1 – vn = -38×0,95n+1 + 80 + 38×0,95n – 80
vn+1 – vn = -38×0,95n× 0,95 + 38×0,95n× 1
vn+1 – vn = 38×0,95n × (-0,95 + 1 )
vn+1 – vn = 1,9 × 0,95n
Pour tout entier naturel n, 1,9 × 0,95n > 0 donc la suite (vn) est strictement croissante.
3. Pour tout entier naturel n,
4. Comme 0 < 0,95 < 1 alors lim -38 × 0,95n = 0
n +∞
lim -38 × 0,95n + 80 = 80
n +∞
A long terme , le nombre d'ouvrages s'approchera de 80 000.
5. On peut répondre à cette question à l'aide d'un algorithme :
On a alors
Variables :
Initialisation :
Traitement :
U est un réel et N est un entier
N prend la valeur 0
U prend la valeur 42
Tant que U ⩽ 60
U prend la valeur 0,95 × U + 4
N prend la valeur N + 1
FinTantque
Sortie :
Afficher N
On obtient N = 13, à partir de 2 026, la médiathèque aura un nombres d'ouvrages supérieur à
60 000.
EXERCICE 2 :
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de
la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L'enquête révèle que 55% des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui
souhaitent une pause plus longue, 95% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10% sont pour une répartition des
cours plus étalée sur l'année scolaire.
On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
L : « l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi » ;
C : « l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire ».
1. L'enquête révèle que 55% des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi, on a alors
P(L) = 0,55.
Parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95% sont pour une répartition des cours plus
étalée sur l'année scolaire, on a alors PL (C) = 0,95.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10% sont pour une
répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire, on a alors P ̄L ( C ) = 0,1.
2.
0,05
0,9
3. L'événement L∩C est : « l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi et souhaite
une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire ».
P( L∩C) = P(L) x PL (C) = 0,55 x 0,95 = 0,5225.
̄ ∩C )
4. C = ( L∩C) ∪( L
Les événements L∩C et L∩C sont disjoints donc
P(C) = P( L∩C) + P( L∩C)
P( L∩C) = P(L) x PL (C) = 0,45 x 0,1 = 0,045.
P(C) = 0,5225 + 0,045 = 0,5675
La probabilité que l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire
est 0,5675.
P ( L∩C )
0 , 5225
PC (L) =
=
≈ 0,9207
P (C)
0 , 5675
La probabilité que l'élève soit favorable à une pause plus longue le midi sachant qu'il souhaite une
répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire est proche de 0,9207.
5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les
élèves de l'établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à
une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. On admet que le nombre d'élèves est
suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.
a. On répète 4 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont le succés est «
l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire » de probabilté 0,5675.
X suit alors la loi binomiale de paramètres 4 et 0,5675.
b. P(X = 0) = (1 – 0,5675 )4 ≈ 0,0350
La probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus
étalée sur l'année scolaire est proche de 0,035.
(4)
c. P(X = 2) = 2 0,56752 x (1-0,5675)2 = 6 x 0,56752 x 0,43252≈ 0,3615
La probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur
l'année scolaire est proche de 0,3615.
d. P(X ⩾1 ) = 1 - P(X = 0) ≈ 0,965.
La probabilité qu'au moins un élève soit favorable à une répartition des cours
plus étalée sur l'année scolaire est proche de 0,965