Idée de base Une réalisation physique de la perspective parallèle

Idée de base
Une réalisation physique de la perspective parallèle est l’ombre d’un objet « squelette » portée par le soleil sur un
plan. Objet «squelette» de référence : le cube (en relation avec le repérage orthonormal de l’espace).
Dans un premier temps, on s’intéresse à l’ombre au soleil d’un cube «squelette» (réalisé en tiges de bois, de métal, de
plastique…), dans le cas particulier où celui-ci est posé sur un plan horizontal. Il s’agit ici de donner une
modélisation géométrique de ce phénomène physique.
N.B. – On suppose que le soleil n’est pas au zénith (ce qui est toujours le cas hors de la zone intertropicale). Les
rayons solaires sont donc «obliques» (c’est-à-dire non verticaux).
Notation
On désignera – sauf exception – les points de l’objet par des lettres majuscules et leur ombre par la lettre minuscule
correspondante.
Première constatation
La lumière se propage en ligne droite (rayons lumineux) et les rayons solaires tombant sur un objet sont parallèles.
Nous ferons ici deux hypothèses de modèle :
1) le soleil n’est pas une source lumineuse ponctuelle, mais nous l’assimilerons cependant à une source ponctuelle
(cette hypothèse est justifiée par le fait que le soleil est perçu de la Terre comme un « gros point » ayant seulement un
demi-degré de contour apparent) ;
2) les rayons lumineux émanant d’un point du soleil divergent à partir de ce point, mais nous considérerons ceux qui
atteignent un objet comme parallèles (hypothèse justifiée par la taille infime des objets terrestres par rapport à la
distance Terre-soleil).
Autres constatations
L’ombre d’un segment est un segment.
Le point M, situé aux 2 de [AB] a pour ombre
3
……………………………………………………………..
Le point I , milieu de [AB] a pour ombre
……………………………………………………………..
L’ombre d’un segment horizontal est un segment
qui lui est parallèle et qui a la même longueur.
Conséquence :
l’ombre d’un objet (plan) horizontal est « en vraie
grandeur » et les segments sont parallèles à leur ombre.
Prérequis Ils sont volontairement très limités et suffisent pour les objectifs fixés :
une droite qui a deux points dans un plan est tout entière dans ce plan.
un plan est déterminé par trois points non alignés.
l’intersection de deux plans non parallèles est une droite .
si un plan coupe un autre plan P selon la droite d, alors il coupe tout plan parallèle à P selon une droite
parallèle à d .
deux droites parallèles sont deux droites situées dans un même plan et parallèles dans ce plan;
théorème « du toit » : si trois plans sont sécants deux à deux, alors les trois droites d’intersection sont
concourantes ou parallèles .
dans tout plan de l’espace, tout théorème de géométrie plane est vrai.
Les propriétés que nous avons pu observer en analysant différentes ombres, obtenues au soleil, du squelette d’un cube
sont des propriétés géométriques d’une transformation de l’espace que l’on appelle perspective parallèle.
1. Définition
∆
Soient un plan P et une droite ∆ non parallèle à P.
A tout point M de l’espace, on fait correspondre le
point m, intersection du plan P avec la parallèle à
∆ passant par M :
M
m
Cette « transformation » est appelée
perspective parallèle sur le plan P
parallèlement à la droite ∆ .
Le plan P est le plan de projection de la
perspective et la direction de ∆ est sa direction.
P
2. Propriétés de la perspective parallèle
1. Dans une perspective parallèle, l’image d’un segment est un segment.
2. Tout objet situé dans un plan parallèle au plan P de projection a une image « en vraie grandeur » dans P.
3. La perspective parallèle
« conserve » le milieu d’un
segment, et, plus généralement
les rapports de longueurs sur une
A
même droite :
I milieu de [AB] et i milieu de [ab] ;
AC = ac .
AB ab
a
I
C
4. L’image d’un parallélogramme
i
B
c
est un parallélogramme.
b
Démonstration : C’est une
conséquence de la propriété 3.
En effet , soit ABCD un
parallélogramme et abcd son image
dans une perspective parallèle sur un plan P, de direction ∆.
ABCD étant un parallélogramme, le milieu I de la diagonale [AC] est aussi le milieu de la diagonale [BD].
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
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5. La perspective parallèle conserve le parallélisme.
C’est une conséquence immédiate de la propriété 4.
Une conséquence de cette propriété est que la taille des objets représentés dans le plan P reste la même, que ceux-ci
soient situés au premier plan ou en arrière plan.
Remarque : La perspective parallèle ne conserve pas l’orthogonalité.
6. A chaque direction correspond un rapport de réduction.
Pour un segment [AA’] d’image [aa’] dans la perspective parallèle de direction ∆ sur un plan P.
On pose : aa' = k , k est un réel positif.
AA'
Soit un segment [BB’] parallèle à [AA’], comme le rapport des longueurs est conservé (propriété 3), on a ………..
donc
Exemple :
Le cube est dessin en perspective cavalière. Le point M est dans la
face supérieure A'B'C'D' , le point N sur l'arête [A'B'], le point P
dans la face avant ABB'A'. Il s'agit de dessiner l'intersection du
cube avec le plan (mnp).
Exemple : dessin en perspective parallèle de l'ombre au soleil d'une fenêtre sur un mur d'une pièce.
La fenêtre considérée est un rectangle ABCD ; son dessin abcd est donc un parallélogramme.
Sur le dessin ci-dessous, on a représenté l'image [aa'] du rayon solaire qui passe par A et qui vient frapper le mur en
A'. On cherche à dessiner l'ombre A'B'C'D' de la fenêtre sur le mur PRS.
Si le soleil est plus haut, il est possible qu'une partie de l'ombre de la fenêtre soit sur le sol. C'est le cas sur le dessin
ci-dessous, où l'on s'aperçoit que les points C et D ont une ombre sur le sol, mais pas sur le mur .
Si le soleil est plus haut, il est possible qu'une partie de l'ombre de la fenêtre soit sur le sol. C'est le cas sur le dessin
ci-dessous, où l'on s'aperçoit que les points C et D ont une ombre sur le sol, mais pas sur le mur .
Si le soleil est plus haut, il est possible qu'une partie de l'ombre de la fenêtre soit sur le sol. C'est le cas sur le dessin
ci-dessous, où l'on s'aperçoit que le point C a une ombre sur le mur et D sur le sol .
Si le soleil est plus haut, il est possible qu'une partie de l'ombre de la fenêtre soit sur le sol. C'est le cas sur le dessin
ci-dessous, où l'on s'aperçoit que le point C a une ombre sur le mur et D sur le sol .