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1ière ES spé.
Lundi 31 mai
The last one…
Calculatrice interdite.
Exercice 1 : ( points)
 3 2 1 
 1 –7 11 


0
2
3
Soit A = 
et B =  –1 12 –19 

 3 3 5 
 0 –3 5 
1. Vérifier que B est l’inverse de A.
2. En déduire les coordonnées du point d’intersection des plans :
P1 : 3x + 2y + z = 0 ; P2 : 5x + 5y + 8z – 11 = 0 et P3 : 3x + 3y + 5z – 5 = 0
Exercice 2 : ( points)
 2 0 
 1 0 
 0 –1 
Soit A =  –2 1  ; D =  0 2  et P =  1 2 






1. Calculer la matrice P-1 en explicitant toutes les étapes du calcul.
 2 1 
(En cas d’échecs, on admettra que P-1 =  –1 0  )


2. Vérifier que A = P × D × P-1.
3. Calculer D2, D3 et D4.
4. Conjecturer une écriture de la matrice Dn .
5. Expliquer pourquoi : A2 = P × D2 × P-1 ; A3 = P × D3 × P-1 et A4 = P × D4 × P-1.
6. En déduire alors A4.
Exercice 3 : ( points)
Une entreprise de menuiserie fabrique 150 chaises par jours. Elle produit deux types de chaises, les
une vendues 30 € pièce, les autres 60 € pièce. La production d’une journée a été totalement vendue
et le montant des ventes s’élève à 7 260 €.
On note x le nombre de chaises à 30 € et y le nombre de chaises à 60 € vendues dans la journée.
 1 1   x   150 
1. Montrer que :  30 60  ×  y  =  7260 

   

2. En déduire le nombre de chaises à 30 € et le nombre de chaises à 60 € qui ont été vendues.
CORRIGE
Exercice 1 :
1. A × B = B × A = I3, on en déduit que B = A-1.
 3x + 2y + z = 0
 3 2 1  x  0 
 x   1 –7 11   0   –22 






5x
+
5y
+
8z
=
11
0
2
3
y
11

⇔
×   =   ⇔  y  =  –1 12 –19  ×  11  =  36 
2.

 3x + 3y + 5z = 5
 3 3 5  z  5 
 z   0 –3 5   5   12 
Soit M(-22 ; 36 ; 12) le point d’intersection de P1, P2, P3.
Exercice 2 :
a b
 a b   0 –1   1 0 
 b -a + 2b   1 0 
1. P-1 =  c d  et P-1 × P = I2 ⇔  c d  ×  1 2  =  0 1  ⇔  d -c + 2d  =  0 1 



 
 


 

b=1
a=2
 -a + 2b = 0
b=1
 2 1 
d’où  d = 0
⇔  c = -1
et donc P-1 =  –1 0 


 -c + 2d = 1
d=0
 0 –1   1 0   2 1   0 -2   2 1   2 0 
2. P × D × P-1 =  1 2  ×  0 2  ×  –1 0  =  1 4  ×  –1 0  =  –2 1  = A.

 
 
 
 
 

 1 0   1 0  1 0
3. D2 =  0 2  ×  0 2  =  0 4 

 
 

1
0
1
0
1
0

 
 

D3 =  0 4  ×  0 2  =  0 8 

 
 

1
0
1
0
1
0

 
 

D4 =  0 8  ×  0 2  =  0 16 

 
 

1
0


4. On conjecture : An =  0 2n 


5. A² = A × A = (P × D × P-1) × (P × D × P-1) = P × D × P-1 × P × D × P-1 = P × D² × P-1
A3 = A² × A = (P × D² × P-1) × (P × D × P-1) = P × D3 × P-1
De même A4 = P × D4 × P-1
 0 –1   1 0   2 1   0 –16   2 1   16 0 
6. A4 =  1 2  ×  0 16  ×  –1 0  =  1 32  ×  –1 0  =  -30 1 

 
 
 
 
 

Exercice 3 :
1. Nombre de chaises : x + y = 150
Prix de vente : 30x + 60y = 7260
⇒
 x + y   150 

=

 30x + 60y   7260 
 1 1   x   150 
Soit :  30 60  ×  y  =  7260 

   

2. A × X = B ⇒ X = A-1 × B
-1
2


30   150   58 
x  

  
D’où  y  =
1  ×  7260  =  92 
  
 – 1 30 
58 chaises à 30 € et 92 chaises à 60€ ont donc été vendues.