Exercices de révision sur la divisibilité et la division euclidienne

Terminale S
Spécialité
Exercices de révision sur la divisibilité et la
division euclidienne
Année scolaire
2014/2015
(Avec les corrigés)
Enoncés
Corrigés
1) Déterminer les entiers relatifs n 11|n-6 ⇔ ∃ k ∈ℤ, n – 6 = 11k
tels que :
⇔ ∃ k ∈ℤ, n = 11k + 6
11|n – 6
Il y a donc une infinité de solutions :
S = {11k + 6, avec k ∈ℤ}
2) Déterminer les entiers relatifs n Les diviseurs entiers de 7 sont {1;-1;7;-7}. On raisonne par
tels que :
disjonction des cas :
4n + 5 | 7
a) 4n+5 = - 1 b) 4n+5=1 c) 4n + 5 = 7
d) 4n + 5 = - 7
3
1
n=∉ℤ n = -1 ∈ℤ n = - ∉ℤ
n = - 3∈ℤ
2
2
Vérification :
4×(-1)+5=1 et 1|7
4×(-3) + 5 = -7 et -7|7
Par conséquent, il n'y a que deux solutions S = {-1;-3}
3) Déterminer les entiers relatifs n 2n+5|2n+5
et
2n+5|8n-3
d'où :
tels que :
2n+5|8n-3 – 4×(2n+5) = - 23
2n + 5 | 8n – 3
Or, les diviseurs entiers de -23 sont {1;-1;23;-23}
On raisonne par disjonction des cas :
a)2n+5=1 b)2n+5= -1 c)2n+5=23
d)2n+5= -23
n = -2∈ℤ n = -3∈ℤ
n = 9∈ℤ
n=-14∈ℤ
Vérification :
*2×(-2)+5 = 1 et 8×(-2)-3 = -19 et 1|-19
*2×(-3)+5 = -1 et 8×(-3)-3 = -27 et -1|-27
*2×9+5 = 23 et 8×9-3 = 69 et 23|69
*2×(-14)+5 = - 23 et 8×(-14)-3 = -115 et -23|-115
Il y a donc 4 solutions : S = {-2;-3;9;-14}
4) Soit (d,n) ∈ℤxℤ , tels que :
d | 9n – 1 et d | 11n + 2.
Quelles sont toutes les valeurs
possibles pour d ?
d | 9n – 1 et d | 11n + 2
d'où d |11×(9n-1) – 9×(11n + 2) = - 29. Or, -29 est un nombre
premier ses diviseurs entiers sont {1;-1;29;-29}
Donc d ∈ {1;-1;29;-29}
5) Déterminer suivant les valeurs On peut écrire 7n + 5 = (3n + 1)×2 + n + 3
de l'entier naturel n le reste dans la Pour que ce soit l'égalité de la division euclidienne de 7n+5
division euclidienne de 7n + 5 par par 3n+1, il faut que :
3n + 1
0≤n+3<3n+1 (condition sur le reste)
C'est-à-dire :
1<n
*Pour n = 0 :
7n+5 = 5 et 3n + 1 = 1 5 = 5×1 + 0 Reste = 0
*Pour n = 1 :
7n+5 = 12 et 3n+1 = 4 12 = 4×3 + 0 Reste = 0