Juin 2013

L G
L G
Juin 2013
MECA0025-1 - M ÉCANIQUE
E XAMEN
DES FLUIDES
Prof. Éric J.M.DELHEZ
Durée de l’épreuve : 4 heures.
Répondez aux différentes questions sur des feuilles séparées.
Indiquez sur chacune de vos feuilles vos nom et prénom.
Les formulaires officiels et les tables NACA peuvent être consultés.
Question I
L’équation de bilan de l’énergie cinétique peut s’écrire sous la forme
D 1
2
kuk = ρu · f + ∇ · (u · τ) + p(∇ · u) − φ
ρ
Dt 2
i. Précisez la signification des symboles ρ, u, f, τ, p et φ apparaissant dans cette équation.
ii. Interprétez chacun des cinq termes de l’équation.
iii. Expliquez comment cette équation peut être obtenue à partir de l’équation de bilan de la quantité de mouvement.
iv. Que devient cette équation dans le cas d’un fluide non-visqueux et incompressible en écoulement
stationnaire ?
Question II
En tenant compte de la tension superficielle, la relation de dispersion des ondes de gravité s’écrit
s
g σk
c=
+
th kH
k
ρ
i. Précisez la signification des symboles c, k, σ et H apparaissant dans cette expression.
ii. Explicitez les hypothèses utilisées pour obtenir cette relation de dispersion.
iii. Discutez la relation de dispersion en identifiant en particulier les différents régimes et l’influence de la tension superficielle.
iv. Calculez la vitesse de groupe. Que représente cette vitesse ?
v. Les ondes sont-elles dispersives ou non ? Expliquez.
Question III
Définissez aussi complètement que possible les notions suivantes :
i. fluide Newtonien généralisé pseudoplastique ;
ii. effet Marangoni ;
iii. régime de Stokes ;
iv. température totale ;
v. microéchelle de Kolmogorov.
Question IV
On considère le dispositif de pompage par entraı̂nement représenté ci-dessous. Un tapis roulant se
déplaçant à une vitesse w constante entraı̂ne un liquide du réservoir inférieur au réservoir supérieur.
b
Réservoir supérieur
Segment étudié
Étudiez l’écoulement entre les deux réservoirs en supposant l’écoulement laminaire, bidimensionnel, stationnaire
avec un profil de vitesse établi. Le fluide est Newtonien,
incompressible et de viscosité cinématique ν constante.
L’épaisseur e de la lame de fluide entre le tapis roulant et la
paroi verticale est constante. On note ℓ la largeur du dispositif (dans la direction y) et H la hauteur du segment étudié.
La pression atmosphérique règne aux deux extrémités de
ce segment.
e
W
H
b
i. Déterminez la distribution de la vitesse au sein de
la lame de fluide entre le tapis roulant et la plaque
verticale.
z
Réservoir inférieur
x
ii. Calculez le débit volumique entraı̂né par le dispositif et déterminez la condition sur le paramètre
ge2
adimensionnel N =
pour que le système agisse effectivement comme une pompe.
2νW
iii. Déterminez la puissance à fournir pour assurer le mouvement du tapis roulant à la vitesse W .
iv. Calculez la puissance dissipée par les effets visqueux.
v. Calculez le rendement η de ce système, i.e. le rapport entre l’énergie fournie au fluide et la
puissance fournie au système.
Question V
On considère un écoulement dans la tuyère représentée cicontre.
L’écoulement est alimenté par une flux d’air sec provenant
d’un réservoir de grandes dimensions où la température
T0 = 300 K et la pression p0 = 3 bar sont constantes.
La section droite est de 0.1 m2 au col de la tuyère et de
0.5 m2 à la sortie. On note ps la pression au niveau de la
section de sortie de la tuyère.
3 bar
0.1 m2
0.5 m2
ps
300 K
i. Déterminez le débit massique maximum pouvant s’écouler dans cette tuyère.
ii. Si un choc droit est observé dans la partie divergente de la tuyère à un endroit où la section
droite est de 0.2 m2 , que vaut la pression à la sortie ?
iii. Déterminez la valeur maximale de ps compatible avec le fait que l’écoulement soit supersonique (M > 1) en un point au moins de la tuyère.
Prenez γ = 1.4, R = 287 m2 /(s2 K), c p = 1005 m2 /(s2 K), cv = 718 m2 /(s2 K). Faites l’hypothèse
d’un écoulement stationnaire unidimensionnel. Négligez le frottement et supposez que les dimensions
du réservoir amont sont telles que la vitesse peut y être considérée comme nulle à tout instant.
Si vous devez lire des informations dans les tables, n’effectuez aucune interpolation mais utilisez
systématiquement la valeur la plus proche.
S OLUTIONS
DES APPLICATIONS
Question IV
b
Segment étudié
Réservoir supérieur
e
ez
W
H
ex
b
Réservoir inférieur
De l’énoncé découlent les simplifications suivantes.
i. Écoulement bi-dimensionnel ⇒ u = uex + wez et ∂y · = 0 ;
ii. Régime établi ⇒ ∂t · = 0 ;
iii. Fluide incompressible : la densité est considérée constante ⇒ ρ = const ;
iv. Pression atmosphérique aux extrémités : gradient de pression nul selon z ⇒ ∂z p = 0 ;
v. Profil de vitesse établi ⇒ ∂z u = 0 ;
vi. Gravité comme seule force volumique ⇒ f = −ρgez .
i. Déterminez la distribution de la vitesse au sein de la lame de fluide entre le tapis roulant et la
plaque verticale.
On cherche à déterminer les deux composantes de la vitesse. Pour cela, on utilise la continuité et
l’équation de bilan de la quantité de mouvement selon z.
En appliquant les simplifications découlant de l’énoncé, la continuité s’écrit :
∂x u = 0.
En intégrant et en appliquant la condition aux limites u (x = 0) = 0, il apparaı̂t que la vitesse
selon x est nulle en tout point.
Toujours après simplifications, l’équation de quantité de mouvement selon z s’écrit,
0 = −g + ν ∂2xx w.
En intégrant deux fois, on obtient une équation pour la vitesse pour laquelle deux constantes
d’intégration doivent être déterminées,
w (x) =
gx2
+ Ax + B.
2ν
Les deux conditions aux limites utilisées sont w (x = 0) = 0 et w (x = −e) = W . Elles permettent
ge W
−
et B = 0, et la vitesse s’écrit,
de déterminer A =
2ν
e
ge W
gx2
+
−
x.
w (x) =
2ν
2ν
e
Le champ de vitesse est ainsi entièrement connu.
3
ii. Calculez le débit volumique entraı̂né par le dispositif et déterminez la condition sur le paramètre
ge2
pour que le système agisse effectivement comme une pompe.
adimensionnel N =
2νW
Le débit volumique est donné par
Dv =
ZZ
=ℓ
u · n dA.
A
Z 0
−e
W ℓe ge3 ℓ
−
.
2
12ν
w (x) dx =
où ℓ désigne la largeur du dispositif.
Pour que le système agisse comme une pompe, le débit doit être positif, i.e.
W ℓe ge3 ℓ
−
> 0,
2
12ν
ce qui revient à imposer
ge2
< 3.
2νW
iii. Déterminez la puissance à fournir pour assurer le mouvement du tapis roulant à la vitesse W .
N=
Pour que le tapis conserve une vitesse constante, il faut lui appliquer une force F ap ez équivalente
en intensité et opposée en direction à la force due aux tensions visqueuses, soit
F ap = −Hℓ τxz
i
x=−e
′
= −µHℓw (−e)
ge W
= µHℓ
+
2ν
e
La puissance à fournir est alors donnée par
P
ap
ap
= F W = µHℓW
ge W
+
2ν
e
iv. Calculez la puissance dissipée par les effets visqueux.
La puissance dissipée par les effets visqueux s’écrit
P
visq
== lH
Z 0
−e
Φ (x) dx.
Il est donc nécessaire de calculer Φ (x). En appliquant les simplifications découlant de l’énoncé,
il vient successivement
Φ (x) = µ [∂x w (x)]2
gx
ge W 2
=µ
+
−
ν
2ν
e
"
#
ge W 2 2gx ge W
g2 x2
+
−
−
+
=µ
ν2
2ν
e
ν
2ν
e
Dès lors, la puissance dissipée par les effets visqueux s’écrit
P visq = lH
Z 0
−e
Φ (x) dx
#0
g2 x3 gx2 ge W
ge W 2
= µlH
−
−
+
+x
3ν2
ν 2ν
e
2ν
e
−e
2 3
2
W
g e
+
= µlH
2
12ν
e
"
4
v. Calculez le rendement η de ce système, i.e. le rapport entre la puissance fournie au fluide et la
puissance fournie au système.
Le rendement η est le rapport entre la puissance fournie au fluide P fluide et la puissance totale
fournie au système pour le faire fonctionner, i.e. P ap .
La puissance fournie au fluide correspond à l’augmentation de l’énergie potentielle par élévation
du fluide d’une hauteur H. Puisqu’une masse équivalent à ρDv est élevée d’une hauteur H à
chaque seconde, il vient
P fluide = ρDv gH
Weg g2 e3
−
= µHl
2ν
12ν2
.
Ce résultat peut également être obtenu en remarquant que la puissance fournie au fluide est égale
à la différence entre la puissance totale fournie au système et la puissance dissipée par les effets
visqueux, i.e.
P fluide = P ap − P visq
Finalement, le rendement est donné par
Weg g2 e3
ge2
−
µHl
1
−
fluide
2
P
2ν
12ν
6νW
=
=
η=
2νW
ge W
P ap
1+ 2
+
µHℓW
e g
2ν
e
N (3 − N)
=
3 (N + 1) .
Question IV
3 bar
0.5 m2
0.1 m2
ps
300 K
i. Déterminez le débit massique maximum pouvant s’écouler dans cette tuyère.
Le débit massique maximal Dmax
m est atteint lorsque le col est sonique. On a alors Mc = 1 et
r
p
pc p
γ
⋆
max
γRTc = Ac p
Dm = Ac ρc ac = Ac ρc γRTc = Ac
.
RTc
RT ⋆
où p⋆ et T ⋆ sont les grandeurs soniques, c’est-à-dire respectivement la pression et la température
au col lorsque Mc = 1. Pour cela, on utilise la pression et la température totales. Celles-ci sont
équivalentes aux valeurs dans le réservoir puisque l’air y est au repos et qu’aucun choc ne vient
modifier la pression totale. On a dès lors
⋆
p
⋆
p = p0
p0
⋆
T
T ⋆ = T0
T0
5
Les rapports (p⋆ /p0 ) et (T ⋆ /T0 ) correspondent aux rapports p/pt et T /Tt apparaissant dans les
tables pour M = 1 et valent respectivement 0.5283 et 0.8333. Il vient alors finalement Dmax
m =
70.011 kg/s.
ii. Si un choc droit est observé dans la partie divergente de la tuyère à un endroit où la section droite
est de 0.2 m2 , que vaut la pression à la sortie ?
Pour calculer la pression à la sortie, on va rechercher le rapport entre la section de sortie As et
la section sonique à la sortie A⋆2 dans les tables. Cette dernière est indicée 2 car la présence du
choc modifie la valeur de la section sonique. La section sonique indicée 1 est la section du col
(A⋆1 = Ac ) car pour que le choc se produise, l’écoulement doit être supersonique après le col et
donc sonique en Ac .
Pour déterminer A⋆2 , on utilise la conservation du produit A⋆ pt au travers d’un choc. On a donc
A⋆2 = A⋆1
pt,1
pt,1
= Ac
.
pt,2
pt,2
Le rapport pt,1 /pt,2 est trouvé en utilisant la partie supersonique des tables. En effet, on sait que
le choc se produit en un endroit où la section est Achoc = 0.2 m2 . Juste avant le choc, on a donc
A
Achoc Achoc
= ⋆ =
= 2.
⋆
A
A1
Ac
Ce rapport est déterminé pour un nombre de Mach M = 2.2 et est associé à pt,2 /pt,1 = 0.6281. La
section sonique après le choc vaut alors A⋆2 = 0.1592 et le rapport As /A⋆2 vaut 3.1405. La pression
statique peut alors être déterminée. En effet,
ps =
ps pt,2
pt,1 ,
pt,2 pt,1
où la pression pt,1 est égale à la pression dans le réservoir, le rapport pt,2 /pt,1 est connu et le
rapport ps /pt,2 est déterminé en utilisant As /A⋆2 . En effet, au niveau de M = 0.19, on trouve
un rapport de sections correspondant qui est associé à un rapport de pressions p/pt = 0.9751.
Finalement, on trouve ps = 1.8374 bar.
iii. Déterminez la valeur maximale de ps compatible avec le fait que l’écoulement soit supersonique
(M > 1) en un point au moins de la tuyère.
Pour déterminer cette valeur, il faut se souvenir que si l’écoulement est supersonique dans le
divergent, la pression statique à la sortie augment si un choc est présent, et ce d’autant plus que
le choc à lieu tôt dans le divergent. On va donc considérer ici le cas limite où on a un choc après
une faible augmentation de la vitesse dans le divergent, soit pour un nombre de Mach M = 1.01.
Ensuite, le raisonnement est analogue à celui de la question précédente. Le rapport des sections
Achoc /A⋆1 , soit celui juste avant le choc est déterminé en utilisant les tables pour M = 1.01 et vaut
1. Le rapport pt,2 /pt,1 associé est lui aussi unitaire. Il vient donc A⋆2 = Ac = 0.1 et As /A⋆2 = 5.
Dans la partie subsonique des tables, on trouve un tel rapport de sections pour M = 0.12 auquel
est associé le rapport de pressions p/pt = 0.99. La pression totale avant le choc valant p0 , il vient
alors
ps pt,2
p0 = 2.97 bar.
ps =
pt,2 pt,1
6