Exercices sur les pyramides et cône de révolution

4e
Devoir surveillé no 9
Exercice no 1
2 points
Rappeler les formules pour calculer le volume d’un prisme droit, d’un cylindre, d’un cône de révolution, d’une
pyramide.
Exercice no 2
6,5 points
S
Soit la pyramide SABC de sommet S et de base ABC.
Les triangles SAB et SAC sont rectangles en A.
AS = 5 cm ; AB = 3, 3 cm ; AC = 5, 6 cm ; BC = 6, 5 cm.
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
B
2. Calculer le volume de la pyramide SABC.
3. Tracer un patron de cette pyramide.
A
C
Exercice no 3
4 points
Sur le dessin ci-contre, la borne B est alignée avec la tête du
bonhomme T et le sommet S de la flèche de la cathédrale de
Strasbourg. Les points B, H et C sont alignés.
On suppose que le bonhomme et la cathédrale sont en position
verticale par rapport au sol horizontal.
En H, le bonhomme qui mesure 1,77 m se trouve à 1,26 m de la
borne B et à 100 m du pied de la cathédrale C.
Calculer la hauteur, au mètre près, de la cathédrale de Strasbourg.
Exercice no 4
3 points
Michel vend ses frites dans des cornets de forme conique alors que
chez Léon les cornets ont la forme d’une pyramide à base carrée.
Quel est le cornet de frite de plus grand volume ?
Exercice no 5
4,5 points
On considère une bougie conique :
1. Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette
bougie ; donner la valeur exacte puis un arrondi au dixième de
cm3 .
2. Si on coupe la bougie à 1,2 cm de son sommet pour supprimer
la partie supérieure, quel volume de cire restera-t-il ?
OA = 2, 5 cm, SA = 6, 5 cm.
4e
Correction du Devoir surveillé
Exercice no 1
2 points
Prisme : V = Abase × hauteur, Cylindre : V = πR2 , Cône : V =
πR2
Abase × hauteur
, Pyramide : V =
3
3
Exercice no 2
6,5 points
1. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC]
BC 2 = 6, 52 = 42, 25
AB 2 + AC 2 = 5, 62 + 3, 32 = 42, 25
On constate que BC 2 = AB 2 + AC 2 , d’après l’égalité de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
3, 3 × 5, 6
2. AABC =
= 9, 24 cm2
2
AABC × h
9, 24 × 5
VSABC =
=
= 15, 4 cm3
3
3
3.
Exercice no 3
4 points
Dans le triangle SBC :
– T ∈ (BS)
– H ∈ (BC)
– (T H) // (SC) (car on supose que le bonhomme et la cathédrale sont verticaux)
BT
BH
TH
D’après le théorème de Thalès :
=
=
BS
BC
SC
Les points B, H et C sont alignés dans cet ordre donc : BC = BH + BC = 1, 26 + 100 = 101, 26 m.
1, 26
1, 77
1, 77 × 101, 26
=
donc SC =
≈ 144
101, 26
SC
1, 26
La cathédrale de Strasbourg a une hauteur d’environ 144 m.
Exercice no 4
Pour Michel :
π × R2 × h
π × 62 × 13
V =
=
= 156π ≈ 490 cm3
3
3
Le cornet de frites de chez Léon a un plus grand volume.
3 points
Pour Léon :
Abase × h
112 × 13
1 573
V =
=
=
≈ 524 cm3
3
3
3
Exercice no 5
4,5 points
1. Le triangle SOA est rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore
on a : SA2 = AO2 + SO2 .
√
SO2 = SA2 − AO2 soit SA2 = 6, 52 − 2, 52 = 36 donc SA = 36 = 6 cm.
π × R2 × h
π × 2, 52 × 6
V1 =
=
= 12, 5π cm3
V ≈ 39, 3cm3
3
3
2.
On place les points comme dans le schéma ci-contre :
S
Dans le triangle SOA :
– O0 ∈ [SO]
– A0 ∈ [SA]
S0
– (O0 A0 ) // (OA)
O0
0
0
0
0
SO
SA
OA
D’après le théorème de Thalès :
=
=
SO
SA
OA
0
0
1, 2
OA
1, 2 × 2, 5
=
donc O0 A0 =
= 0, 5
6
2, 5
6
π × R2 × h
π × 0, 52 × 1, 2
=
= 0, 1π
3
3
Vtronc de cône = V1 − V2 = 12, 5π − 0, 1π = 12, 4π ≈ 39 cm3
V2 =
A
O