Preuve par neuf

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Preuve par neuf
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En arithmétique, la preuve par neuf est une technique permettant de vérifier un calcul mental ou
effectué « à la main ». Il ne s'agit pas d'une preuve mathématique au sens strict, car elle peut être
mise en défaut dans certains cas. Le principe général est de refaire le calcul beaucoup plus
simplement, en remplaçant chaque nombre supérieur ou égal à 10 par la somme de ses chiffres, de
façon répétée.
Cette technique est en fait une application des propriétés de l'arithmétique modulaire puisqu'elle
revient à calculer modulo 9.
Sommaire
1 Comment l'appliquer
1.1 Astuces de calcul
2 Pourquoi elle fonctionne
3 Ses limites
4 Sujets Connexes
5 Generalisation
6 Bibliographie
Comment l'appliquer
Supposons que nous ayons calculé
. On remplace 17 par la somme de ses chiffres :
, de même pour 35, remplacé par
. Le résultat de
aura pour
somme de ses chiffres la même que
, soit
, lui-même remplacé par
.
La preuve par neuf appliquée au produit
s'applique ainsi : on calcule la somme des
chiffres du résultat trouvé. Si cette somme est différente de 1, notre calcul est faux. Si elle est égale à
1, il se peut qu'il soit juste.
Effectivement
.
, or
et
, lui-même remplacé par
La preuve par neuf fonctionne également pour vérifier le résultat d'une addition.
Astuces de calcul
Comme 9 est congru à 0 modulo 9, ces deux chiffres jouent le même rôle dans la preuve par neuf :
on peut donc remplacer les 9 par des 0, ce qui revient à omettre les 9 dans les calculs des sommes
des chiffres. Par exemple, le nombre 1999999992 sera, après plusieurs itérations, remplacé par la
somme 1+2.
Lorsqu'on calcule la somme des chiffres, il est astucieux de regrouper ceux dont la somme donne 9,
pour ensuite remplacer ce 9 par 0. Par exemple : 1+7+3+8+2 = (1+8)+(7+2)+3 donnera 3.
Pourquoi elle fonctionne
http://fr.wikipedia.org/wiki/Preuve_par_neuf
06/04/2007
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Le principe de la preuve par neuf repose sur la compatibilité de la congruence avec l'addition et la
multiplication (on peut donc imaginer une « preuve par n », quelque soit l'entier naturel n supérieur
ou égal à 2) et sur le fait que tout nombre entier naturel est congru, modulo 9, à la somme de ses
chiffres en écriture décimale.
Cependant parmi toutes ces « preuves », la preuve par 9 est particulièrement pratiquée car le calcul
de congruence peut être ramené à une opération très simple : l'addition des chiffres composant le
nombre.
Ses limites
La preuve par neuf est mise en défaut si l'écart entre le nombre trouvé après le calcul et le résultat est
un multiple de 9. Par exemple, si le résultat est 1992 et qu'on trouve 1092, l'erreur ne sera pas
détectée : pour ces deux nombres, l'algorithme sur la somme des chiffres donnera : 3. Donc la preuve
par neuf est sujette aux faux positifs.
Sujets Connexes
Mutiples de neuf et de trois: La somme des chiffres (modulo neuf) d'un nombre permet de trouver
son reste par la division par neuf, et donc d'en déduire s'il est multiple de neuf ou de trois.
Generalisation
La preuve par 9 fonctionne grace à l'arithmétique modulaire et au fait que le modulo neuf est égal au
reste de la somme des chiffres en base dix modulo neuf. Mais qu'en est-t-il dans autres bases? On
comprend rapidement que en base N on peut utiliser la preuve par N-1. Ainsi en base 16 on peut
uiliser la preuve par quinze. Accessoirement ceci donne un test de divisibilité rapide par 5 et par 3.
On peut aussi pour des nombres en base dix utiliser la base cent, avec la preuve par quatre vingt dix
neuf, et donc réduire le risque de faux positif de 11% à 1%.
Bibliographie
Alexandre Sarrazin de Montferrier, Encyclopédie mathématique ou Exposition complète de toutes les
branches des mathématiques d'après les principes de la philosophie des mathématiques de Hoëné
Wronski. Première partie, Mathématiques pures. Tome premier, page 35, éd. Amyot, 1856. Ouvrage
accessible en ligne sur le site de la Bibliothèque nationale de France : http://gallica.bnf.fr
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