TD 2 - IECL - Université de Lorraine

Université de Lorraine
LSV (Semestre 1) - Outils mathématiques pour la biologie
2014
TD n◦ 2
Conditionnement, indépendance
Exercice 1
Un laboratoire d’analyse du sang assure avec une fiabilité de 95 % la détection d’une certaine maladie
lorsqu’elle est effectivement présente. Cependant, le test indique aussi un résultat fausement positif pour 1% des personnes saines à qui on l’applique. Si 0.5% de la population porte effectivement la
maladie, quelle est la probabilité qu’une personne soit vraiment malade lorsqu’on la déclare telle sur
la base du test ?
Exercice 2
On considère une population composée de 48 % d’hommes et de 52 % de femmes. La probabilité qu’un
homme soit daltonien est 0,05 ; qu’une femme soit daltonienne est 0,0025.
Quelle proportion de la population est-elle daltonienne ?
Exercice 3
Une famille a deux enfants et on suppose que les quatre combinaisons Fille puis Fille, Fille puis Garçon,
Garçon puis Fille, Garçon puis Garçon (notées FF, FG, GF, GG) sont équiprobables. Quelle est la
probabilité que la famille ne soit composée que de filles sachant que l’ainée est une fille ? Quelle est la
a probabilité que la famille ne soit composée que de filles sachant qu’il y a au moins une fille ?
Exercice 4
Face à chaque feu tricolore qu’il rencontre sur sa route, un automobiliste donné a toujours le même
comportement, que voici. Si le feu est vert, il passe avec une probabilité de 99%, si le feu est orange,
il passe avec probabilité 30%, et enfin si le feu est rouge, il décide de passer dans 1% des cas.
L’automobiliste arrive à proximité d’un feu dont le cycle dure une minute, et qui reste au vert 30
secondes, à l’orange 5 secondes, et au rouge 25 secondes. Il passe. Calculez la probabilité que le feu
ait été au vert.
L’automobiliste arrive devant un autre feu. Calculez la probabilité qu’il s’arrête.
Exercice 5
Un test sérologique de dépistage d’une maladie infectieuse donne un résultat positif chez 9 personnes
sur 10 ayant contracté la maladie et chez une personne sur 20 n’ayant pas contracté cette maladie.
1. En l’absence d’épidémie, 1 personne sur 10 000 est malade. Quelle est la probabilité qu’une personne présentant un test positif soit malade ? Quelle est la probabilité qu’une personne présentant
un test négatif soit malade ?
2. En période d’épidémie, 1 personne sur 10 est malade. Quelle est la probabilité qu’une personne
un test positif soit malade ? Quelle est la probabilité qu’une personne présentant un test négatif
soit malade ?
Exercice 6
1. Donner une formule pour P (A ∪ B ∪ C).
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2. Montrer : si A et B sont indépendants, alors A et B le sont aussi. Idem pour les couples (A, B
et (A, B).
Exercice 7
À Londres, il pleut la moitié des jours de l’année. Les prévisions météorologiques sont correctes avec
une probabilité de 2/3, c’est-à- dire que la probabilité qu’il pleuve sachant que la météo a prévu de la
pluie est de 2/3 tandis que la probabilité qu’il ne pleuve pas sachant que la météo n’a pas prévu de
pluie est de 2/3. Quand la météo annonce de la pluie, Mister Pickwick prend son parapluie. Quand
il n’y a pas de pluie annoncée, il le prend avec une probabilité de 1/3, sans savoir quel temps il va
vraiment faire.
1. Un certain jour, il pleut. Calculer la probabilité que M. Pickwick ait son parapluie sur lui.
2. Un autre jour, M. Pickwick sort avec son parapluie. Calculer la probabilité qu’il ne pleuve pas.
Exercice 8
On tire 13 cartes d’un jeu de 52 cartes. On considère les événements
– A : les 13 cartes contiennent le roi de trèfle ,
– B : les 13 cartes contiennent un seul roi ,
– C : les 13 cartes contiennent 2 rois exactement .
Les événements A et B sont-ils indépendants ? Et les événements A et C ?
Exercice 9
Un tiers d’une population a été vacciné contre une maladie. Au cours d’une épidémie, on constate qu’il
y a un vacciné sur 6 malades.
1. Y-a-t-il indépendance entre
être vacciné et
être malade .
2. Si on sait de plus qu’il y a un malade sur 10 parmi les vaccinés, quelle est la probabilité de
tomber malade pour un non vacciné ?
Exercice 10
Une population est contaminée à 10% par une maladie M 1 et à 20% par une maladie différente M 2.
On suppose qu’une personne ne peut pas être atteinte par les deux maladies en même temps. On
dépiste la population à l’aide d’un test qui réagit sur 90% des malades de M 1, sur 70% des malades
de M 2, et qui réagit aussi sur 10% des personnes saines.
1. On teste une personne au hasard. Quelle est la probablité que le test réagisse ?
2. Un individu est positif. Quelle est la probabilité qu’il ait la maladie M 1 ? La maladie M 2 ? Qu’il
soit en fait sain ?
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