LE RAYONNEMENT D`UN CORPS NOIR

LE RAYONNEMENT D’UN CORPS NOIR
ν
Un corps noir est un corps capable d’absorber toute la lumière qu’il reçoit, pour la réémettre dans une gamme de
longueur d’ondes différente de celle reçue (pas de réflexion). Il absorbe et émet donc continuellement de l’énergie sous
forme de radiations électromagnétiques.
ν
Fig. 1 – Évolution expérimentale de la fonction uν (T,ν)
A l’équilibre, un corps noir est à une température T constante car les taux d’absorption et d’émission d’énergie sont
égaux. Le rayonnement émis est caractérisé par une distribution spectrale en énergie uν . On montre que cette fonction
ne dépend que de la température T du corps et de la fréquence ν du rayonnement émis. En particulier, elle ne dépend
pas de la forme du corps, ni de la nature du milieu.
La figure 1 donne l’évolution expérimentale de cette fonction avec ν, pour deux températures. L’objectif est de modéliser
cette évolution. Pour cela, on considère un corps diélectrique rectangulaire de dimensions Lx (0 ≤ x ≤ Lx ), Ly
(0 ≤ y ≤ Ly ) et Lz (0 ≤ z ≤ Lz ), dont les parois planes sont parfaitement conductrices. D’après les équations
→
−
de Maxwell, le champ électrique E doit satisfaire les équations de Maxwell. Comme les parois sont parfaitement
→
− → −
→
→
conductrices, les conditions aux limites E ∧ −
n = 0 sont appliquées sur chacune d’elles (−
n est la normale à la paroi
considérée). On note c la vitesse de la lumière
→ −
−
→
→
−
1. Vérifier que le champ solution est de la forme E = G e−iωt , où G est défini de la façon suivante :

 Gx = ex cos(kx x)sin(ky y)sin(kz z)
Gy = ey sin(kx x)cos(ky y)sin(kz z)

Gz = ez sin(kx x)sin(ky y)cos(kz z)
→
−
→
et où le vecteur d’onde k , le vecteur −
e et la pulsation ω obéissent aux relations suivantes (c est la vitesse de la
lumière, et l, m et n sont des entiers positifs) :
 2
2 2
2
2
2 2
 ω = k c = (kx + ky + kz )c
→
−
→
e k + ey ky + ez kz = −
e.k =0
 x x
kx = lπ/Lx ,ky = mπ/Ly ,kz = nπ/Lz
2. Tracer dans l’espace (kx ,ky ,kz ) l’allure des vecteurs d’onde. Donner une estimation du nombre de vecteurs d’onde
possibles correspondant à une fréquence comprise entre 0 et une valeur donnée ν = ω/2π.
3. Donner le nombre Nν de modes de rayonnement avec une fréquence comprise entre 0 et ν, puis le nombre de
modes ρ(ν) par unité de volume et par unité de fréquence.
4. La statistique de Bolztmann donne la probabilité élémentaire pour que l’énergie d’un mode soit comprise entre
E et E + dE (C est une constante, kB la constante de Bolztmann et T la température) :
dP = Cexp(−E/kB T )dE
1
En déduire l’énergie moyenne de chaque mode, puis l’expression de la fonction uν (ν,T ) selon cette statistique.
C’est la loi de Rayleigh-Jeans. Comparer les valeurs obtenues pour T = 3000K et ν = 1014 Hz, puis ν = 2.1014 Hz,
avec les valeurs expérimentales de la figure 1. Commenter.
5. L’hypothèse fondamentale de Planck est que l’énergie d’un mode ne peut pas prendre une valeur arbitraire
positive, mais que les valeurs permises devaient être des multiples entiers d’une quantité fondamentale hν, où h
est une constante aujourd’hui appelée constante de Planck. Cette quantité minimale qui peut être échangée est
appelée quantum de lumière ou photon. Calculer dans ce cas l’énergie moyenne d’un mode, puis l’expression de
la fonction uν (ν,T ). C’est la formule de Planck. Faire l’application numérique en utilisant la constante de Planck
donnée dans le cours. Commenter.
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