Lois de Kepler - M.Christian MARIAUD

Lois de Kepler
FICHE
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Kepler (1571 – 1630) établit, à partir des observations de Tycho
Brahé, trois lois qui régissent le mouvement des planètes.
2a
M
I Enoncé des trois lois de Kepler
1. Première loi de Kepler
● La première loi précise la nature des trajectoires des planètes.
● Dans un référentiel héliocentrique, les orbites des planètes sont
des ellipses dont le centre S du Soleil occupe l’un des foyers.
● Une ellipse est caractérisée ses foyers F et F’ ([FM] + [F’M] est
une constante), et une distance a nommée « demi-grand axe ».
2. Deuxième loi de Kepler ou loi des
aires
● Dans leur trajectoire elliptique, les planètes
ont une vitesse plus grande lorsqu’elles sont
proches du Soleil.
● Pendant une durée donnée ∆t, l’aire ∆A
balayée par le rayon joignant le centre du Soleil
au centre de la planète est constante.
3. Troisième loi de Kepler ou loi des
périodes
● La période de révolution T d’une planète,
désigne le temps mis entre deux passages
successifs par un même point de sa trajectoire.
F’
F
Une ellipse avec ses
caractéristiques
∆t
∆A
∆t
∆A
∆t
∆A
Soleil
Deuxième loi de Kepler : L’aire balayée ∆A
pendant une durée ∆t est constante
● Période de révolution T et demi-grand axe a d’une ellipse sont liés par la relation :
T2
= K S avec
a3
T en s ; a en m ; KS une constante qui ne dépend que de
ème
l’astre attracteur (ici le Soleil) en s2.m-3.
La 3
loi de Kepler est encore
● Cette troisième loi de Kepler, peut se démontrer en
actuellement utilisée notamment
appliquant la seconde loi de Newton et en considérant une pour trouver la masse des astres.
orbite circulaire.
● On se place dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen. On considère une planète de
masse m, gravitant à une distance r du centre S du Soleil (masse M) et ayant une vitesse vP.
r
m.M
).n et en reprenant les
● En appliquant la deuxième loi de Newton : m a = ΣFext = G(
r²
propriétés des mouvements circulaires uniformes (voir fiche 10), on montre que : v P = G
● En reprenant l’expression de la période T =
4π2
T 2 4π 2
=
d’où
K
=
S
GM
GM
r3
M
.
r
2π.r
, on retrouve la troisième loi de Kepler :
vP
II Mouvement des satellites
1. Trajectoire d’un satellite
Trajectoire du satellite
● Un satellite est un objet en orbite autour d’une planète.
S
● On considère cette fois-ci un référentiel dont le centre de
la planète est fixe et en translation par rapport au
O
référentiel héliocentrique (référentiel géocentrique dans
Plan
S
le cas de la Terre).
S
orbital
● La trajectoire d’un satellite est située dans un plan passant
par le centre O de cette planète.
● La troisième loi de Kepler reste valable en remplaçant la
Plan orbital et trajectoire
masse du Soleil M par celle de la planète m.
d’un satellite
2. Cas des satellites géostationnaires
● Un satellite est dit géostationnaire s’il occupe une position fixe dans le référentiel terrestre. Il
reste toujours à la verticale d’un point de la Terre.
● Sa trajectoire est un cercle contenu dans le plan équatorial.