Résumé

ÉCS2
Cours 
II-Compléments d’algèbre linéaire
1 - Changement de base

1 0 1


−
−
−
P = MatB,C (idR3 ) = (id(→
u )|id(→
v )|id(→
w ))B,C =  1 1 0 
1 0 −1
donne la 
base C (en colonne)
dans
la
base
B
:
P
=
P
B,C .

1 0 1
1

P−1 =  −1 2 −1  = PC,B ,
2
1 0 −1
et on vérifie N = P−1 MP...




0
1




−
De même, f (→
v ) = (0, 4, 2), avec VB =  4  on a P−1 VB =  3  = VC
2
−1

1.1 - Rappels et exemple
Exemple :
f : R3 → R3 , (x, y, z) 7→ (2x + 2z, 4y, x + 2y + z)


2 0 2


B base canonique de R3 , M = MatB (f ) =  0 4 0 
1 2 1
→
−
−
−
−
−
−
u = (1, 1, 1), →
v = (0, 1, 0), →
w = (1, 0, −1), C = (→
u,→
v ,→
w)


4 1 0


N = MatC (f ) =  0 3 0 
0 −1 0
Lien entre M et N ? ?
1.4 - Matrices semblables
Définition
Propriété : invariance du rang, puissance nème
1.2 - Analyse
Pour un vecteur
Rappel :
→
−
−
x ∈ E,f : E(B) → F(C) linéaire,→
y ∈ F,
→
−
→
−
−
−
y = f ( x ) ⇔ MatC (→
y ) = MatC,B (f )MatB (→
x)
→
−
→
−
Appliquons cela à F = E, f = idE et du coup y = x
−
−
MatC (→
x ) = MatC,B (idE )MatB (→
x)
Pour un endomorphisme
Rappel :
f
g
2 - Sous-espaces stables
Définition
−
−
−
−
−
Sur l’exemple : Vect(→
u ), Vect(→
w ), Vect(→
u,→
w ) sont stables, pas Vect(→
v ).
Exemple fréquent : E = F ⊕ G avec F et G stables par f .
F et G bases de F et G, E = (F,
! G) base de E, alors
A 0
MatE (f ) =
où A ∈ Mdim F (K) et B ∈ Mdim G (K)
0 B
h
E(B) −→ F(C) −→ G(D) −→ H(E) linéaires,
MatE,B (h ◦ g ◦ f ) = MatE,D (h)MatD,C (g)MatC,B (f )
Appliquons cela à H = G = F = E, h = f = idE , D = C, E = B
MatB (g) = MatB,C (idE )MatC (g)MatC,B (idE )
Conclusion
MatC,B (idE ) et MatB,C (idE ) jouent un rôle fondamental.
Rappel : puisque idR3 automorphisme,
3
P−1 = MatC,B (id−1
R3 ) = MatC,B (idR )
3 - Trace
3.1 - Définition
Définition
Exemple : Tr(M) = Tr(N)
3.2 - Propriétés
Propriétés :
• Tr forme linéaire
• Tr(AB) = Tr(BA)
• invariance par changement de base Tr(A) = Tr(P−1 AP)
1.3 - Matrices de passage et changements de base
Définition
Théorème de changement de base :
• inversibilité de PB,C et P−1
B,C = PC,B
−1
• vecteur : XC = PB,C XB
• endomorphisme : MatC (f ) = P−1
B,C MatB (f )PB,C
Sur l’exemple
1/1