Interrogation de Physique - Test blanc 1. L`extrémité d`une corde

Interrogation de Physique - Test blanc
1. L'extrémité d'une corde horizontale est attachée à une lame vibrante et l'autre
extrémité passe par une poulie. Une sphère de masse 2 kg est suspendue à l'extrémité de la corde. La corde vibre dans sa seconde harmonique (dessin a). Un
récipient d'eau est amené par dessous la sphère et soulevé jusqu'à ce que toute la
sphère soit immergée. La corde vibre alors dans sa cinquième harmonique (dessin
b). Quel est le rayon de la sphère ?
Dans les deux situations, la fréquence est identique. Il s'agit à chaque
fois, également, d'une onde stationnaire xée aux deux extrémités. Nous avons
donc
Solution :
2L
n
vn
=
2L
λn =
⇒ νn
et dans ce cas précis
ν2 = ν5
v2 2
v5 5
⇒
=
2L
2L
⇒ 2v2 = 5v5
où v2 et v5 sont les vitesses de propagation de l'onde dans la corde pour le mode 2
et 5 respectivement (vu les formules, la longueur de la corde et la fréquence restant
identique, le mode doit modier la vitesse). D'autre part, cette vitesse dépend de
la tension dans la corde suivant
vi =
v
u
u Ti
t
µ
où la tension dans la corde varie d'une situation à l'autre tandis que la masse par
unité de longueur µ reste constante. Nous pouvons alors écrire
v
u
u T2
2t
v
u
u T5
5t
=
µ
µ
⇒ 4T2 = 25T5
25
⇒ T2 =
T5
4
En outre, nous pouvons obtenir la tension dans la corde en appliquant Newton à
la sphère dans les deux cas.
T⃗2 + P⃗ = ⃗0
⇒ T2 − P = 0
⇒ T2 = mg
et
⃗ = ⃗0
T⃗5 + P⃗ + B
⇒ T5 − P + B = 0
⇒ T5 = mg − B
4πr3
⇒ T5 = g(m −
ρH2 O )
3
avec ρH2 O la masse volumique de l'eau, et r le rayon de la sphère.
En reprenant les valeurs des tensions ainsi trouvées dans la relation qu'il y a entre
elles, nous aboutissons à
25
4πr3
mg =
g(m −
ρH2 O )
4
3
21
25 4πr3
ρH2 O =
m
⇒
4 3
4
4πr3
21
⇒
=
m/ρH2 O
3
25
3 21
⇒ r3 =
2/1000
4π
25
v
u
u 3 21
2/1000
⇒ r = t3
4π 25
= 7, 375 cm
2. Un objet de masse m1 = 9 kg est connecté en équilibre à un ressort de constante
de rigidité 100 N/m qui est accroché à un mur (dessin a). Un deuxième objet de
masse m2 = 7 kg est lentement poussé contre m1 jusqu'à compresser le ressort de
20 cm (dessin b). Le système est alors relâché et les deux objets bougent vers la
droite sur la surface sans friction.
(a) Lorsque m1 atteint le point d'équilibre, m2 perd le contact avec m1 (dessin c)
et continue vers la droite à une vitesse vc . Déterminez la valeur de vc .
(b) De quelles distance seront séparés les deux objets lorsque le ressort sera étendu
au maximum pour la première fois (dessin d) ?
La vitesse est obtenue facilement par conservation de l'énergie de l'oscillateur de masse m1 + m2 entre l'étape (b) et (c) :
Solution :
(
)
1
1
k(∆x)2 + (m1 + m2 )v 2
=
2
2
b
)
(
1
2
=
⇒ k(A)
2
⇒ vc
(
1
1
k(∆x)2 + (m1 + m2 )v 2
2
2 )
(
1
(m1 + m2 )vc2
2v
u
u
k
= At
m1 + m2
v
u
u 100
= 0, 2t
= 0, 5 m/s
9+7
)
c
Pour calculer D, nous allons calculer la position des deux masses x1d et x2d lorsque
la masses m1 arrive à son élongation maximale à droite.
Pour x1d , nous appliquons de nouveau la conservation de l'énergie à l'oscillateur
de masse m1 :
(
)
(
1
1
1
1
k(∆x)2 + m1 v 2
=
k(∆x)2 + m1 v 2
2
2
2
2
c
1
1
⇒ m1 vc2 = kx21d
2
2√
m1
⇒ x1d = vc
k
v
u
u 9
= 0, 5t
= 0, 15 m
100
)
d
Pour x2d , li s'agit d'un MRU de vitesse vc = 0, 5 m/s. Il sut donc de calculer le
temps, c'est-à-dire le temps d'un quart de l'oscillation de la masse m1 .
T =
=
2π
ω
2π
√
k
m1
√
m1
k
= 0, 6π
= 2π
et donc
T
vc
4
= 0, 15π0, 5
= 0, 2356 m
x2d =
Pour une distance D
D = x2d − x1d
= 8, 56 cm