Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

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Équilibre Général en Concurrence Imparfaite, J–Paul K., Tsasa
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One Pager
Avril 2013
Vol. 6 – Num. 005
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Modèle d’Équilibre GÉnÉral en ConCurrenCe iMparfaite
Illustration d’une Stratégie d’Estimation Économétrique
Basée sur un Algorithme Flot – Max de Recherche Opérationnelle
Jean–Paul Kimbambu, Tsasa Vangu
« if you search the Web for "urban legend George Dantzig" you will probably find the first hit to be
"Snopes.com, The Unsolvable Math Problem." That site recounts the story of how George, coming in late
for class, mistakenly thought two problems written on the board by Neyman were homework problems. After
a few days of struggling, George turned his answers in. About six weeks later, at 8 a.m. on a Sunday
morning, he and Anne were awakened by someone banging on their front door. It was Neyman who said, "I
have just written an introduction to one of your papers. Read it so I can send it out right away for
publication."
George's answers to the homework problems were proofs of then two unproven theorems in statistics. The
Web site gives all the details about how George's experiences ended up as a sermon for a Lutheran
minister and the basis for the film, "Good Will Hunting." The solution to the second homework problem
became part of a joint paper with Abraham Wald who proved it in 1950, unaware that George had solved it
until it was called to his attention by a journal referee. Neyman had George submit his answers to the
"homework" problems as his doctoral dissertation. »
Legend George Dantzig
En mémoire de George Dantzig (1914 – 2005),
Fondateur de l’algorithme du Simplexe en programmation linéaire.
Résumé
Ce papier met en évidence les interactions pouvant exister entre les différentes branches de la
science économique. Dans le cas d’espèce, il s’agit des interactions entre la microéconomie, la
théorie des jeux, l’économétrie et la recherche opérationnelle. Il sera question d’illustrer la
stratégie d’estimation économétrique d’un modèle d’équilibre général en situation de concurrence
imparfaite,
à
l’aide
d’un
algorithme
de
recherche
opérationnelle,
utilisé
notamment
pour
résoudre les problèmes de flot maximum.
Mots – clé : Monopole, duopole, équilibre de Nash, vraisemblance, algorithme Flot – Max.
Abstract
Through this paper, the Laboratory focuses, once again, on the interactions that exist between
the
various
disciplines
of
economics.
In
this
case,
it
is
the
interaction
between
microeconomics, game theory, econometrics and operations research. In this discussion, we
illustrate the strategy for econometric estimation of a general equilibrium model in imperfect
competition, using an algorithm of operations research, mainly used to solve maximum flow
problems.
Introduction
Ce
papier
se
propose
d’aborder
une
thématique
qui
s’inscrit
dans
le
cadre
de
l’analyse
microéconométrique. Il sera question d’illustrer une stratégie d’estimation d’un modèle d’équilibre
général en situation de concurrence imparfaite, par un algorithme généralement utilisé en recherche
opérationnelle pour résoudre les problèmes de flot maximum. En effet, les algorithmes développés pour
résoudre ce type de problèmes permettent de détecter l’existence d’un flot réalisable et maximum entre
une source unique et un terminal unique d’un graphe ou d’un réseau donné. Pour illustrer l’application de
tels algorithmes dans la résolution de problèmes économétriques, nous considérons un modèle
d’organisation industrielle (duopole), et nous nous inspirons essentiellement de la présentation de Henry
35
J–Paul Kimbambu, Tsasa Vangu
(2013) pour conduire notre analyse. Par ailleurs, pour un complément d’usage des algorithmes de
recherche opérationnelle, les papiers de Ford – Fulkerson (1956, 1957) et Greenberg (1998) ; les
ouvrages de Ford – Fulkerson (1952), Kuhn (2003), Dantzig – Thapa (1997, 2003) et Vasudev (2006) ;
et les polycopiés de Guinand (2000), Tombola (2012) et Tsasa (2012)
constituent notre référentiel
principal.
Enfin, pour parvenir à notre objectif, nous organisons ce papier autour de deux sections principales. La
section première est consacrée à la présentation du modèle retenu pour dériver l’application en cause, et
la section deuxième s’attèle sur l’illustration du rôle que les algorithmes Flot – Max peuvent jouer dans la
résolution des problèmes économétriques.
Présentation du modèle d’analyse
Pour faciliter l’analyse, nous considérons un modèle avec deux agents. Remarquons que les résultats qui
seront dérivés de ce modèle, seront génériques, c’est – à – dire transposables au cas plus général et plus
complexe.
Soient deux firmes produisant des biens ou services quasiment substituables telles que leurs interactions
peuvent être modélisées comme suit.
Tableau 1 : Payoff matrix
2
P
1
N
P
N
où :
-
;
P : stratégie telle que la firme
décide de participer au jeu, c’est – à – dire d’entrer sur le
marché ;
-
N : stratégie telle que la firme
-
renonce au jeu ;
: correspond au profit du duopole pour l’entreprise
-
: correspond au profit de monopole pour l’entreprise
-
;
;
: désigne le choc de productivité sur les activités de la firme ;
-
: représente un paramètre affectant la profitabilité de l’entreprise
présente en situation de
duopole. Plus ce paramètre prend des valeurs élevées, plus la concurrence est intense (force de
la concurrence).
Au regard de la matrice des paiements telle que reprise précédemment, il y a lieu d’identifier les
contraintes qui décrivent les meilleures réponses de chaque firme. Pour ce faire, nous recourons à la
fonction indicatrice, notée généralement par :
telle que :
36
Définition
Soit
l’ensemble fondamental. La fonction indicatrice d’un sous – ensemble
fonction définie sur
valant 1 sur
de
notée
est la
et 0 ailleurs :
Soient :
-
la firme
opte pour la stratégie P ;
-
la firme
opte pour la stratégie N.
Alors l’ensemble de meilleures réponses de la firme
suite à l’action de la firme concurrente peut être
illustré comme suit.
Tableau 2 : Stratégies et Meilleures réponses des firmes
STRATEGIES
MEILLEURES REPONSES
En se rapportant à la définition de la fonction indicatrice, il vient que, par exemple :
où :
On suppose, par ailleurs, que le jeu est répété plusieurs fois, c’est – à – dire qu’il existe plusieurs
marchés où les deux firmes se confrontent et dans lesquels on observe les résultats. Et les équilibres
obtenus sur chaque marché sont de
en stratégies pures.
Ainsi, il est dès lors possible de dériver l’espace des variables non observables (prédictions du modèle) et
de visualiser les différents équilibres de
Pour ce faire, il suffit de construire un espace tel qu’on
tient compte de différentes caractéristiques et contraintes extraite du tableau 2.
37
Figure 1 : Espace des variables non observables
Par exemple, on peut lire dans ce graphique que :
-
si
la meilleure réponse de la firme 1 est toujours d’entrer sur le marché et donc
;
-
De même, si
:
Parallèlement :
-
si
:
-
De même si
;
:
Par ailleurs :
-
si
la meilleure réponse de la firme 1 est toujours d’entrer sur le marché et donc
;
-
De même, si
:
Etc.
38
Ainsi, l’espace de variables non observables peut donc être divisé en cinq régions distinctes :
-
: région où les chocs de productivités sont élevés. Dans ce cas, les deux entreprises affichent
l’intérêt d’entrer sur le marché (région de prédiction déterministe et unique) ;
-
et
: région de monopole correspondant à une situation intermédiaire, où l’une des
entreprises a intérêt à renonce au jeu au profit de son concurrent ;
-
: région où les chocs de production les chocs de productivité sont faibles, et donc aucune de
deux firmes n’a intérêt de participer au jeu (région de prédiction déterministe et unique) ;
-
Soient
: région où les prédictions d’équilibre de
l’ensemble des observations possibles et
sont multiples.
l’ensemble de prédictions possibles tels que :
et
Par exemple, alors que l’échantillon fournit l’information suivante :
le modèle prédit la valeur :
où
est un vecteur paramétrique tel que :
Pour que le modèle soit correct, c’est – à – dire pour que le vecteur
soit valide, il faut que :
expression qui s’apparente à une vraisemblance.
39
Stratégie d’estimation
Pour procéder à l’estimation de ce modèle, on peut faire appel à des hypothèses ad hoc à l’effet
d’éliminer les équilibres multiples et donc, opérer l’identification des paramètres.
Figure 2 : Espace des variables non observables
On peut, de ce fait, procéder à l’identification à l’infini. Ainsi, par exemple, pour :
tel que :
et donc,
il vient :
où
est une fonction de répartition, et donc inversible ; et par ailleurs,
n’affecte pas le profit de la
firme 1 (hypothèse d’indépendance).
Dès lors, on obtient :
où l’information
est connue à l’aide des observations de l’échantillon.
Voyons à présent deux approches qui permettent d’estimer le modèle d’intérêt sans recourir à
des
hypothèses supplémentaires (ad hoc). Les informations fournies précédemment peuvent être exprimées
à l’aide des contraintes suivantes.
-
;
-
;
-
;
-
;
-
Ainsi que tous les sous – ensembles, par exemple :
40
Il faut dès lors identifier les paramètres valides, c’est – à – dire définir l’ensemble des paramètres qu’il
faut rejeter –pour ne retenir que ceux qui sont compatibles avec le modèle.
Bien qu’on ne dispose pas d’informations sur le mécanisme de sélection, on sait cependant qu’il en existe
au moins un qui est compatible avec le modèle. On peut donc exprimer le profil d’équilibres possibles et
les prédictions possibles comme suit.
Figure 3 : Profil d’équilibre possible et Prédictions possibles
Observations
Prédictions
les
équilibres observés et les
la fréquence des équilibres prédits sachant la loi de
des probabilités jointes telles qu’on définit deux variables
valeurs et
mesurent la fréquence de différents
et
et
avec des lois fixées, où
Et
sont
prend quatre
cinq valeurs. Ainsi, par exemple :
Et par définition, la probabilité d’une paire qui n’est pas liée vaut zéro (probabilité d’une prédiction
violée). Ainsi, à titre illustratif :
41
Du graphique 3, il vient qu’on dénombre quatre observations possibles contre cinq prédictions possibles
telles que, par exemple, l’observation
n’est prédite que par
alors que
est prédite par
et
On peut également voir la représentation du modèle en cause comme un problème de flot, où on
imagine une source
et un terminal
. Ainsi, au regard de la structure du problème, il y a lieu de le
résoudre à l’aide des algorithmes établis en recherche opérationnelle.
Figure 4 : Formulation du jeu comme problème de flot maximal
1
1?
Il ressort de la figure 4 que :
-
-
entre la source et
(i)
le point
la quantité d’information maximale à transporter est égale à
;
(ii)
le point
;
(iii)
le point
;
(iv)
le point
;
entre le point
et
(i)
le point
;
(ii)
le point
;
(iii)
le point
(iv)
le point
(v)
le point
Par analogie, on peut procéder identiquement et déduire pour les points
et
;
;
;
On applique
également le même raisonnement pour déterminer la quantité d’information que l’on peut transporter
entre les différentes prédictions possibles et le terminal.
42
Dès lors, en injectant une masse
à partir de la source
on doit s’assurer que la même quantité sera
transporter à travers le graphe, sans aucune perte d’informations, jusqu’au terminal
le flot est maximal, ce que la valeur
Il suit donc que si
rend le modèle compatible.
Cependant, si la masse au niveau du terminal est inférieure à l’unité, alors qu’on avait fait partir une
quantité
à partir de la source, on conclut que la valeur
doit être rejetée. Pour la manipulation de
l’algorithme de Ford – Fulkerson, on peut se rapporter à Tombola (2012, pp. 29 – 32), où il est
largement discuté.
Somme toute, ce papier a permis d’illustrer la possibilité d’estimer un jeu en situation de concurrence
imparfaite à l’aide de l’algorithme Flot – Max. Ainsi, s’inscrivant dans la même logique, il est prévu que
nous présentons, dans une publication ultérieure, le traitement de problème d’appariement à l’aide de
l’algorithme d’enchères, tout en présentant préalablement les modèles de graphe aléatoire et le
théorème de Hall (lemme du mariage).
Bibliographie

DANTZIG George B. et Mukund N. THAPA, 1997, Linear Programming, 1 : Introduction (With 87
illustrations), Springer Series in Operations Research, New York, 435p.

DANTZIG George B. et Mukund N. THAPA, 2003, Linear Programming, 2 : Theory and Extensions
(With 45 illustrations), Springer Series in Operations Research, New York, 448p.

FORD Lester R.
Jr. et Delbert R. FULKERSON, 1956, “A Simple Algorithm for Finding Maximal
Network Flows and Application to Hitchcokc Problem”, Canadian Journal of Mathematics, vol. 9, 210
– 218.

FORD Lester R. Jr. et Delbert R. FULKERSON, 1956, Flow in Networks, Princeton University Press,
Princeton, New Jersey, 193p.

FORD Lester R. Jr. et Delbert R. FULKERSON, 1957, “Maximal Flow Through a Network”, Canadian
Journal of Mathematics, vol. 8, 399 – 404.

GREENBERG Harvey J, 1998, Ford-Fulkerson Max-Flow Labeling Algorithm, Rapport de recherché
(22 Decembre 1998), University of Colorado, Denver, 5p.

GUINAND Frederic, 2000, Calcul de flots maximums. Algorithme de Ford-Fulkerson, Maters I,
Université Le Havre, 42p.

HENRY Marc, 2013, Microéconométrie, Exposé du Cours ECN6233 (Hiver 2013), Université de
Montréal, Département des Sciences économiques, Montréal.

KUHN Harold W., 2003, Lectures on the Theory of Games, Annals of Mathematics Studies, Princeton
University Press, Princeton, New Jesey, 107p.

TOMBOLA Cédrick, 2012, Recherche Opérationnelle : Résumé du Cours et Recueil d’Exercices (1ière
partie, Guide Laréq pour étudiants (mars), GLEN 001, 70p.

TSASA Jean – Paul, 2012, Recherche Opérationnelle : Résumé des Heuristiques et Recueil
d’Applications pour étudiants en Gestion, Guide Laréq pour étudiants (mars), GLEN 003, 36p.

VASUDEV C., 2006, Graph Theory with Applications, New Age International (P) Ltd, New Delhi,
416p.
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Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

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