Pliage multiplicatif.pub - Circonscription d`Argenteuil nord

LE PLIAGE MULTIPLICATIF
PRÉSENTATION GÉNÉRALE
La manipulation de bandes de papier est souvent proposée dans les manuels scolaires pour introduire les nombres rationnels et appréhender l’écriture fractionnaire. Des bandes sont également utilisées dans les activités de mesurage et de comparaison de longueurs.
Les pliages envisagés ici s’inscrivent dans l’étude du répertoire multiplicatif. Les activités de recherche sont mobilisatrices. Certaines peuvent être introduites dès le CP.
La fréquentation régulière de situations de pliage contribue à l’automatisation de résultats usuels. Les
manipulations sont l’occasion de multiples échanges qui permettent l’émergence et l’expression de
relations arithmétiques entre les nombres (double et moitié, triple et tiers, compositions et décompositions multiplicatives, puissances et multiples, comparaison de mesures et rapport scalaire).
Le domaine numérique manipulé reste nécessairement limité pour des raisons de faisabilité des pliages et de lecture des résultats. Pour une manipulation confortable, on utilisera des bandes de la longueur d’une feuille A4 pour des segmentations allant jusqu’à une vingtaine de parts et des bandes de
la longueur d’une feuille A3 pour des partages allant jusqu’à une trentaine de parts environ.
La largeur des bandes pourra être de 2 cm.
PRINCIPE DE BASE
La segmentation en deux et trois parties égales est à la base de tous les autres pliages. Une bande
peut ainsi être partagée :
en 2n pour des pliages successifs de 2 en 2
en 3n pour des pliages successifs de 3 en 3
en 2n x 3m si on combine les deux types de pliage.
Dans les autres cas, il est nécessaire d’amputer la bande support des segments excédents pour obtenir le partage souhaité. En ce sens, il est important de préciser aux élèves cette possibilité de découpage pour leur éviter de vaines recherches. L’observation des nombres concernés peut faire
émerger des théories mathématiques personnelles à échanger, argumenter et vérifier.
Exemple :
Pour obtenir une bande de 5 parts égales, je plie ma bande en 3 puis en 2 et je supprime une
part, soit 5 = (3 x 2) – 1.
Théorie avancée : « Je ne peux pas partager directement une bande en un nombre impair de parts. »
UN PLIAGE À PART
Le pliage en accordéon consiste à partir non pas de la bande dans sa globalité comme précédemment mais d’une unité choisie sur cette bande et de la replier x fois sur elle-même pour obtenir
x parts. Le surplus de la bande support est alors découpé pour ne garder que la partie partagée.
Exemple :
Pour obtenir une bande de 5 parts égales, je choisis une part unité et je la replie 5 fois sur ellemême. Je coupe ensuite le surplus S de la bande, soit 5 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) - S
Cette technique, si elle est souvent mise en œuvre initialement par les élèves, ne présente pas d’intérêt sur le plan mathématique dans le cadre présent. Néanmoins, les divers problèmes occasionnés
par cette procédure peuvent motiver la recherche et/ou l’introduction d’une technique plus précise et
moins coûteuse en pliages et en papier.
Jean-Paul Laurent, Argenteuil Nord - Décembre 2010
PROGRESSIVITÉ DES APPRENTISSAGES
Les premières manipulations devront être simples voire répétitives si nécessaire pour développer les
habiletés motrices sollicitées et faciliter l’appropriation du principe du pliage multiplicatif. Le partage en
trois parties égales, notamment, devra le plus souvent faire l’objet d’un entraînement appuyé en début
d’apprentissage. Pour motiver ce nécessaire entraînement, des productions plastiques utilisant des
bandes colorées pourront être proposées (pavages et mosaïques, tressages et patchworks, etc.).
En fonction du niveau de classe, des représentations mathématiques devront être introduites en regard
des actions réalisées. Ces écritures multiplicatives permettront progressivement d’anticiper et de planifier les pliages, de prédire, d’interpréter ou de justifier un résultat.
J’ai une bande.
Je la plie en trois.
Encore en trois.
Puis en deux.
J’obtiens
18 parts
1
x 3 ou /3
x 3 ou /3
x 2 ou /2
=
18
Il faut bien distinguer la partie et le tout dans les échanges. Suivant l’unité référente, on multiplie des parts
(écriture multiplicative rétroactive 18 parts ) ou on partage une bande (écriture fractionnaire 18/18 parts).
1. Situations avec pliages en 2n ou 3n
Partager une bande en 16 parts égales. 2 x 2 x 2 x 2
Partager une bande en 9 parts égales.
3x3
2. Situations combinant les deux pliages de base 2n x 3m
Partager une bande en 12 parts égales. 3 x 2 x 2
Partager une bande en 18 parts égales. 3 x 3 x 2
3. Situations de partage indirect de type 2n - a ou 3n - a (avec a = nombre d’amputations)
Partager une bande en 15 parts égales. (2 x 2 x 2 x 2) - 1
Partager une bande en 25 parts égales. (3 x 3 x 3) - 2
4. Situations de partage indirect de type (2n x 3m) - a (avec a = nombre d’amputations)
Partager une bande en 17 parts égales. (3 x 3 x 2) - 1
Partager une bande en 34 parts égales. (2 x 2 x 3 x 3) - 2
5. Situations de partage indirect de type (2n - a) x 2n ou 3n et (3n - a) x 2n ou 3n
Partager une bande en 14 parts égales. [(2 x 2 x 2) - 1] x 2
Partager une bande en 21 parts égales. [(3 x 3) - 2] x 3
TYPES D’ACTIVITÉS
En fonctions des objectifs recherchés, les activités proposées peuvent suivre diverses orientations :
Chercher une procédure de pliage pour obtenir une segmentation donnée.
Répertorier toutes les solutions possibles pour un pliage en x parts.
Trouver la solution la plus économique possible (coût en pliages et/ou en amputations)
Réaliser une segmentation en x parts en effectuant exactement y pliages.
Retracer l’historique des pliages d’une bande partagée en x parts égales.
Anticiper les pliages à effectuer pour obtenir x parts et vérifier ses prédictions par l’action.
Prédire la possibilité d’un partage direct pour un nombre x de parts donné.
Prédire le nombre de parts d’une bande à partir de la description des pliages effectués.
Prédire le nombre d’amputations nécessaires pour obtenir une bande de x parts.
Jean-Paul Laurent, Argenteuil Nord - Décembre 2010
PROLONGEMENT POSSIBLE
Des activités de pliage en deux dimensions pourront être envisagées pour travailler la notion de
produit cartésien au CE ou d’unité d’aire au CM. Des bandes plus larges devront alors être utilisées.
Exemple :
Je partage une bande en 3 et encore en 3 dans le sens de la longueur (9 colonnes).
Puis je partage la bande en 2 et encore en 2 dans le sens de la largeur (4 lignes).
J’obtiens un quadrillage de 9 x 4 = 4 x 9 = 36 cases.
(À noter que cette situation respecte la commutativité
dans la mesure où une seule grandeur est en jeu (case).
J’obtiens une aire de 9 x 4 = 4 x 9 = 36 unités.
(un carreau correspondant ici à l’unité étalon)
Jean-Paul Laurent, Argenteuil Nord - Décembre 2010