Corrigé

ELE1300 – Automne 2014 - Examen intra 2/12
Question 1- Algèbre de Boole (6 pts-20 minutes)
a) Démontrez par l'algèbre de boole que:
+ BC = AB⨁C
AC + BC⨁AB
+ BCAB
+ BC + AC
+ BC =
AC + BCAB
∗ ∗ + BC =
AC + BCAB
BC + AC
BCAB
+ BB
+ CB
+ C + A
+ CAB
+ BC =
AC + BCA
B
C + BC + A
B
C + B
+A
+A
CAB
+ BC =
AC + BCA
C =
ABC + AB
C = AB⨁C
ABC + B
b) Utilisez la décomposition de Shannon afin de démontrer que:
+ BA⨁C
A
A⨂B⨁BC = B
En décomposant le membre de gauche selon B:
⨁0 + BA⨁C
A
F=B
+ BA⨁C
A
F=B
ELE1300 – Automne 2014 - Examen intra 3/12
c) Par la technique de votre choix, démontrer que:
B
+ BC + DB + D
CD
= A
A + B
+ D
BD + ABC + A
minterms / maxterms
AB/CD 00
00
01
11
10
01
11
1
1
1
1
10
1
AB/CD
00
01
11
10
1
00
0
0
0
0
01
0
11
0
10
0
0
0
0
Question 2- Analyse et synthèse de circuits (6 pts-30 minutes)
L’implantation d’une fonction logique Z relativement complexe repose sur un ET-logique
de deux autres fonctions FX et FY comme indiqué sur le schéma suivant :
A
B
C
FX
x1
X
x2
x3
Z
B
C
D
FY
x1
x2
Y
x3
1) La fonction FX est spécifiée par la table de vérité suivante:
A
B
C
X
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
ELE1300 – Automne 2014 - Examen intra 4/12
Trouvez l'expression disjonctive simplifiée de FX au moyen de la table de Karnaugh
suivante et évaluez son cout minimal.
Fx = ̅̅ + ̅ + AB/CD
00
01
11
10
00
1
1
0
1
01
1
1
0
1
11
0
1
0
10
0
1
0
Coût minimal: 13
2) Un circuit réalisant la fonction FY a été réalisé par un consultant d'une firme externe:
a) Faites l'analyse de la fonction réalisée par le circuit proposé:
B
0
0
0
0
1
1
1
1
C
0
0
1
1
0
0
1
1
D
0
1
0
1
0
1
0
1
FY
1
1
0
1
0
0
0
1
B/CD 00
0 1
1 0
01
1
0
FY
11
1
1
10
0
0
ELE1300 – Automne 2014 - Examen intra 5/12
b) Déterminez sa forme disjonctive optimale au moyen de la table de Karnaugh suivante:
FY = ̅ + AB/CD
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
1
0
0
1
11
1
1
1
1
10
0
0
0
0
Coût minimal: 9
c) Déterminez sa forme conjonctive optimale au moyen de la table de Karnaugh suivante:
FY =̅ + + AB/CD
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
1
0
0
1
11
1
1
1
1
10
0
0
0
0
Coût minimal: 9
d) À la lumière de votre analyse, posez un regard critique sur le circuit proposé pour FY
par la firme externe:
Le circuit de la firme externe n'est pas optimal (cout de 14). La fonction peut être réalisée
avec un circuit de coût de 9.
e) Sachant que finalement, seule la valeur de Z importe, proposez votre meilleur circuit
pour implanter Z(A, B, C, D):
Fz = ̅ + AB/CD
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
1
0
0
1
11
0
1
0
10
0
0
0
0
Coût minimal: 10
Dessinez le circuit optimisé (vous avez accès aux variables et leurs inverses):
ELE1300 – Automne 2014 - Examen intra 6/12
Question 3 - Conception d'un circuit (5 pts – 15 minutes)
On désire contrôler le guidage d’un robot au moyen d’une ligne noire sur un sol blanc.
Un capteur de lumière, monté sur le robot, est const
constitué
itué de 4 cellules (C1 C2 C3 C4)
alignées sur un segment de droite perpendiculaire à la ligne au sol. Chaque cellule
retourne un ‘1’ lorsque la lumière lui parvient (fond blanc) et un `0` autrement (ligne
noire). En temps normal, les cellules C1, C2 et C3 sont au dessus de la ligne noire tandis
que la cellule C4 est au dessus du fond blanc tel qu’indiqué sur la figure.
Si le robot dévie de sa trajectoire vers la gauche, le
capteur C4 va passer au dessus de la ligne noire, indiquant
qu’il faut tourner à droite. Si le robot dévie de sa
trajectoire vers la droite, le capteur C3 va quitter la ligne
noire, indiquant qu’il faut tourner à gauche. Nous avons
donc pour les combinaisons suivant
suivantes de C1C2C3C4 :
0111 : tourner à gauche (G)
0011 : tourner à gauche (G)
0001 : mode normal
0000 : tourner à droite (D)
Si le robot vient à passer de l’autre côté de la ligne noire,
on aura les combinaisons suivantes :
1000 : tourner à droite (D)
1100 : tourner à droite (D)
1110 : tourner à droite (D)
Toutes les autres combinaisons indiquent un problème et le robot doit s’arrêter
immédiatement (S).
On vous demande de concevoir un circuit logique de coût minimal qui calcule les signaux
G(auche), D(roit) ett S(top), actifs haut. En mode normal, les signaux G et D sont à ‘0’.
Lorsque S est vrai, les valeurs de G et D sont sans importance.
ELE1300 – Automne 2014 - Examen intra 7/12
C1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
C2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
C3
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
C4
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
G
0
0
x
1
x
x
x
1
0
x
x
x
0
x
0
x
D
1
0
x
0
x
x
x
0
1
x
x
x
1
x
1
x
S
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
D(roite)
C3C4
00
01
11
10
00
1
0
0
-
01
-
-
0
-
11
1
-
-
1
10
1
-
-
-
C1C2
ELE1300 – Automne 2014 - Examen intra 8/12
Plusieurs circuits sont possibles, par exemple, avec la forme disjonctive :
G = C3C4 (juste une porte NOR)
D = /C4 (gratuit)
S = /C1C2/C3 + C1C4 + /C1C3/C4 + C1/C2C3 (circuit avec des NAND)
Question 4 – Circuits usuels (4 pts – 20 minutes)
Considérez la fonction F décrite par sa table de vérité ci-dessous.
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
1
1
0
1
0
1
1
1) Déterminez l’expression algébrique de chacun des signaux ci-dessous aux points
d’interrogation sachant que la sortie du circuit implante la fonction F demandée.
ELE1300 – Automne 2014- Examen intra 9/12
2) Considérant le circuit suivant composé d’une porte XOR et d’un décodeur 2 vers 4,
indiquez à la place de chacun des points d’interrogation l’expression algébrique de la
sortie. Ensuite, ajoutez un circuit de coût minimal pour réaliser la fonction F.
ELE1300 – Automne 2014- Examen intra 10/12
Question 5 - Quine McClusky (8 pts - 40 minutes)
Soit la fonction logique F(, , , ) = Σm(0,2,6,7,8,10,11,13,15) + δ(1,9), où δ donne les
minterms facultatifs.
Pour écarter toute ambiguïté, la table de vérité de la fonction F(, , , ) vous est
fournie:
a
b
c
d
F
0
0
0
0
1
0
0
0
1
-
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
-
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
ELE1300 – Automne 2014- Examen intra 11/12
1) Procédez par la méthode Quine-McCluskey pour simplifier la fonction F(a, b, c, d) et
identifier les impliquants premiers.
0000
0010
00x0
* x0x0
x000
* x00x
000x
1000
0001
* 10xx
* 0x10
x010
0110
100x
1001
10x0
1010
x001
0111
* 011x
1011
10x1
1101
1x01
* 1xx1
101x
1111
* x111
1x11
11x1
2) Identifiez les impliquants premiers sous forme binaire :
0x10, 011x, x111,
x0x0, x00x, 10xx, 1xx1
ELE1300 – Automne 2014- Examen intra 12/12
3) Utilisez la table suivante pour identifier les impliquants premiers essentiels de F(a, b, c,
d)
0000
a
0x10
b
011x
c
x111
d
x0x0
*
e
x00x
*
f
10xx
g*
1xx1
0010
0110
*
*
*
0111
1000
1010
1011
1101
*
*
*
1111
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Impliquants essentiels :
1xx1
4) Utilisez la méthode de Petrick pour trouver toutes les solutions (couvertures)
optimales, et donnez leur coût.
P = (d+e)(a+d)(a+b)(b+c)(d+f)
P = bd + acd+ bdf + acdf + abde + acde + abef + acef
Une seule solution optimale, bd.
F = !ABC + !B!D + AD
cout = (4+3+3)+4 = 14
ELE1300 – Automne 2014- Examen intra 13/12
5) Écrivez l'expression disjonctive d'une solution optimale obtenue au point 4) et illustrez
votre résultat en utilisant une table de Karnaugh :
F = !ABC + !B!D + AD
AB/CD 00
00
01
11
10
01
11
10
Question 6 – Bonus
Cette question est facultative. Toutefois, la réussir montrerait que vous maitrisez la
matière à un niveau supérieur à ce qui est normalement attendu de vous et nous
permettrait de le prendre en note à votre avantage.
Pour un problème à N variables, combien y a-t-il d’implicants différents possibles?
Justifiez votre réponse.
Dans la méthode de Quine et McCluskey, un implicant peut toujours s’écrire sous la
forme X1…XN dans laquelle chaque symbole Xi peut prendre une des trois valeurs « 1 »,
« 0 » ou « - ». Il y a donc 3N implicants différents possibles.
Bon travail !