Correction - F. Laroche

Terminales S4/S5
novembre 2013
Devoir surveillé 4
Correction
2 heures
Exercice 1 (non spécialistes uniquement)
Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.
Partie A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs.
Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du
fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :
- évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
- évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
- évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».
1. Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
S
0,1
A
0,8
S
0,9
0,2
0,2
S
B
0,8
S
2. a. Quelle est la probabilité de l’événement B ∩ S ?
Réponse : P ( B ∩ S ) = P ( B ) × PB ( S ) = 0,2 × 0,2 = 0,04 .
b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0, 88.
( )
Réponse : P ( S ) = P ( A ∩ S ) + P ( B ∩ S ) = 0,8 × 0,1 + 0,04 = 0,12 ⇒ P S = 1 − 0,12 = 0,88 .
3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
Réponse : PS ( B ) =
P( B∩ S )
P( S )
=
0,04
= 0,33 .
0,12
Partie B
Le gérant d’un salon de thé achète 100 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est
suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 100 boîtes avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 100 boîtes, le nombre de boîtes sans traces de
pesticides.
1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Calculer son espérance mathématique µ ainsi que son écarttype σ .
Réponse : X suit une loi binomiale B ( n = 100, p = 0,88 ) . µ = np = 88 , σ = np ( 1 − p ) = 10,96 ≈ 3,25 .
2. Calculer la probabilité que plus de 90 % des boîtes soient sans trace de pesticides.
Réponse : P ( X > 90 ) = 1 − P ( X ≤ 90 ) : on utilise BinomFrép(100, 0.88, 90)=0,774 d’où P ( X > 90 ) ≈ 0,226 .
3. Calculer la probabilité que moins de 5 % des boîtes présentent des traces de pesticides.
Réponse : « moins de 5 % des boîtes présentent des traces de pesticides » c’est la même chose que « plus de 95 % des boîtes
n’ont pas de traces de pesticides » ; on cherche donc P ( X > 95 ) = 1 − P ( X ≤ 95 ) ≈ 0,005 .
TS4/TS5
DS4
1
F. Laroche
novembre 2013
Exercice 2 (non spécialistes uniquement)
Choisir une des quatre réponses proposées à chaque question et justifier votre choix.
Ci-dessous la parabole représentant une fonction f définie sur ℝ
Soient les suites ( un ) et ( vn ) définies, pour tout entier naturel n , respectivement par :
 v0 = a
un = f ( n ) et 
où a est un réel.
 vn+1 = f ( vn )
a. La suite ( un ) est :
a. minorée non majorée
b. majorée non minorée
c. bornée
d. aucune des trois propositions
proposées ci-dessus n’est correcte
c. [4 ; 6]
d. aucune des trois propositions
proposées n’est correcte
c. strictement croissante
d. aucune des trois propositions
proposées n’est correcte
c. diverge vers +∞
d. aucune des trois propositions
proposées n’est correcte
b. Pour a = 1 , v2 appartient à :
a. [0 ; 2]
c. Pour a = −1 , la suite
a. constante
d. Pour a = −4 , la suite
a. est convergente
b. [2 ; 4]
( vn )
est :
b. strictement
décroissante
( vn )
:
b. diverge vers −∞
Correction
a. Réponse b : La suite un = f ( n ) se comporte comme f, elle tend vers −∞ lorsque n tend vers +∞ donc pas
minorée, par contre elle ne monte pas au dessus de 6.
b. Réponse c : v2 vaut environ 5.
TS4/TS5
DS4
c. Réponse d :
2
( vn )
est croissante au début puis oscille.
F. Laroche
novembre 2013
d. Réponse b : voir figure.
Exercice 3 (tous)
1. f ' ( x ) =
(x
−2 x
2
+1
)
2
est positive lorsque x<0.
2. A : (0,68 ; 0,68)
b. Si la suite Xn+1 = f ( X n
0
converge, alors elle converge vers L : X représente le terme X n , Y le terme f ( Xn ) .
3
1
0,1
2
0,99009901
3
0,504975
4
0,79681291
5
0,61165416
6
0,72773805
7
0,65376455
8
0,7005705
9
0,67078123
10
0,68968017
11
0,67766346
12
0,68529398
13
0,68044438
14
0,68352487
15
0,68156743
16
0,68281097
17
0,68202085
TS4/TS5
DS4
)
3
F. Laroche
novembre 2013
18
0,68252283
19
0,6822039
20
0,68240653
Au 16ème coup, l’écart entre deux termes devient < à 0,001.
On obtient le résultat de la question 2 de manière automatique.
Le test sur N dans la boucle Tant que permet de contrôler que l’on ne rentre pas dans une boucle infinie…
3. Soit F la fonction définie sur [ −5 ; 5 ] par F ( x ) =
a. F ( 0 ) =
∫
0
0
∫
x
0
f ( t ) dt .
f ( t ) dt = 0 .
Quand x>0, dt>0 et f(t) >0 donc F est >0 ; quand x<0, dt<0 et f(t) >0 donc F est <0.
b. Attention un carreau vaut 0,25 : à vue de nez on a : F ( 1 ) ≈ 0,75 , F ( 2 ) ≈ 0,75 + 0,35 = 1,1 et F ( 5 ) ≈ 1,1 + 0,5 ≈ 1,6
La calculatrice donne 0,785 ; 1,107 et 1,373.
Comme l’aire entre –5 et 0 est égale à celle entre 0 et 5 grâce à la symétrie de la courbe, on a
∫
5
−5
f ( t ) dt ≈ 2 × 1,373 = 2,746 .
c. f est la dérivée de la fonction F ? Comme f est positive, F est croissante.
d.
4. a. g ( x ) =
b. G ( x ) =
TS4/TS5
DS4
∫
x2
x +1
2
x
0
=
x2 + 1 − 1
x +1
g ( t ) dt =
2
∫
x
0
1−
=
x2 + 1
x2 + 1
1
t +1
2
−
1
x2 + 1
= 1−
1
x2 + 1
.
dt = x − F ( x ) d’où une estimation de G ( 5 ) = 5 − F ( 5 ) ≈ 3,6 .
4
F. Laroche
novembre 2013