Exercices d`entrainement pour le chapitre 01 (complexes : partie 1)

Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique)
Terminale S
Exercices d’entrainement pour le chapitre 01 (complexes : partie 1)
0.1
Énoncés
Exercice 11. Écrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
1. z1 = (2 +
√
√
3i)( 3 − i)
2. z2 = (2 + 5i)2
2
1
3. z3 =
− 4i
2
4. z4 = (5 − 2i)(5 + 2i)
5. z5 = (1 + i)(5 − 8i)(1 − i)
6. z6 = √
7. z7 = −
1
3−i
1
i
8i − 1
2 − 3i
1
1
9. z9 =
−
2+i 2−i
1
10. z10 = −
3 + 4i
8. z8 =
Exercice 12. Résoudre dans C les équations suivantes :
3. i(3 − i)z − 2 = (2i + 1)z + (2i + z)i
4. −
z
3z
+
=3+i
iz + 1 z − i
Exercice 13.
√
1
3
i.
1. On donne les nombres complexes z1 = 3 + 4i et z2 = −
2
2
Déterminer la forme algébrique des inverses de z1 et z2 .
2. Résoudre dans C l’équation suivante d’inconnue z :
i(z − 3i) = 2z − 1 + i
Roussot
1
2011 / 2012
Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique)
0.2
Terminale S
Réponses
Exercice 11. Écrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
√
1. z1 = 3 3 + i
2. z2 = −21 + 20i
63
3. z3 = − − 4i
4
4. z4 = 29
5. z5 = 10 − 16i
√
3 1
6. z6 =
+ i
4
4
7. z7 = i
2i
5
3
4
=− + i
25 25
9. z9 = −
10. z10
8. z8 = −2 + i
Exercice 12. Résoudre dans C les équations suivantes :
4. S = ∅
3. S = C
Exercice 13.
3
4
− i
25 √25
1
3
= +
i
2
2
1. z1−1 =
z2−1
Roussot
2. S =
2
9 2
+ i
5 5
2011 / 2012
Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique)
0.3
Terminale S
Solutions rédigées
Exercice 11. Écrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
√
√
√
√
√
√
√
√
1. z1 = (2 + 3i)( 3 − i) = 2 3 − 2i + i × ( 3)2 − i2 3 = 2 3 − 2i + 3i + 3 = 3 3 + i
2. z2 = (2 + 5i)2 = 22 + 2 × 2 × 5i + (5i)2 = 4 + 20i − 25 = −21 + 20i
2 2
1
1
1
1
1
64
63
− 2 × × 4i + (4i)2 = − 4i − 16 = − 4i −
3. z3 =
− 4i =
= − − 4i
2
2
2
4
4
4
4
4. z4 = (5 − 2i)(5 + 2i) = 52 − (2i)2 = 25 − (−4) = 29 (= 29 + 0i)
5. z5 = (1 + i)(5 − 8i)(1 − i) = (1 + i)(1 − i)(5 − 8i) = (12 − i2 )(5 − 8i) = 2(5 − 8i) = 10 − 16i
!
√
√
√
3+i
3+i
3 1
1
=
+ i
6. z6 = √
= √
=
4
4
4
3−i
( 3)2 + 12
1
i
i
7. z7 = − = − 2 = −
= i (= 0 + 1i)
i
i
−1
8. z8 =
(8i − 1)(2 + 3i)
16i + 24i2 − 2 − 3i
−26 + 13i
13(−2 + i)
8i − 1
=
=
=
=
= −2 + i
2 − 3i
(2 − 3i)(2 + 3i)
22 + 3 2
13
13
9. z9 =
1
2−i
2+i
2−i 2+i
(2 − i) − (2 + i)
2−i−2−i
2i
1
−
= 2
− 2
=
−
=
=
=−
2
2
2+i 2−i
2 +1 2 +1
5
5
5
5
5
1
3 − 4i
3 − 4i
−3 + 4i
−3
4
=− 2
=−
=
=
+ i
2
3 + 4i
3 +4
25
25
25
25
4(−3 + 4i)
−12 + 16i
=
=
= −0, 12 + 0, 16i
4 × 25
100
10. z10 = −
Exercice 12. Résoudre dans C les équations suivantes :
3. i(3 − i)z − 2 = (2i + 1)z + (2i + z)i ⇐⇒ (3i − i2 )z − 2 = (2i + 1)z + 2i2 + iz
⇐⇒ (3i − i2 )z − (2i + 1)z − iz = 2i2 + 2
⇐⇒ (3i + 1) − (2i + 1) − i z = −2 + 2
⇐⇒ (3i + 1 − 2i − 1 − i)z = 0
⇐⇒ 0z = 0
Ainsi S = C (0z = 0 est vraie pour tout z ∈ C donc l’équation de départ aussi).
4. −
z
3z
+
=3+i
iz + 1 z − i

 iz + 1 = 0 ⇐⇒ 1 = −iz ⇐⇒ i = −i2 z ⇐⇒ i = z
Recherche des valeurs interdites : ou
 z − i = 0 ⇐⇒ z = i
d’où V I = {i}.
Remarque : Les polynômes iz + 1 et z − i ayant la même racine dans C, on a alors qu’il existe
λ ∈ C tel que iz + 1 = λ(z − i) (c’est un résultat vu sur les polynômes à coefficients réels que l’on
étend sur C). De tête, on trouve que λ = i.
Roussot
3
2011 / 2012
Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique)
Terminale S
Résolution : Pour z 6= i :
−
z
3z
z
i × 3z
+
= 3 + i ⇐⇒ −
+
=3+i
iz + 1 z − i
iz + 1 i(z − i)
z
3iz
=3+i
+
iz + 1 iz − i2
z
3iz
⇐⇒ −
+
=3+i
iz + 1 iz + 1
−z + 3iz
⇐⇒
=3+i
iz + 1
⇐⇒ −
⇐⇒ −z + 3iz = (3 + i)(iz + 1)
⇐⇒ −z + 3iz = 3iz + 3 + i2 z + i
⇐⇒ −z = 3 − z + i
⇐⇒ 0 = 3 + i
Ainsi S = ∅ (0 = 3+i est faux donc l’équation de départ ne peut être vérifié par aucun complexe).
Exercice 13.
1
3 − 4i
3 − 4i
3
4
1
= 2
=
=
− i
=
2
z1
3 + 4i
3 +4
25
25 25 √
√
√
√
1
3
3
1
3
1
3
1
√
+
i
+
i
+
i
+
i
1
1
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
√ = =
=
= +
i
=
!2 = 1 3 =
√
4
2
z2
1
2
2
1
3
1
3
+
−
i
+
4 4
4
2
2
2
2
1. z1−1 =
z2−1
2. i(z − 3i) = 2z − 1 + i ⇐⇒ iz − 3i2 = 2z − 1 + i
⇐⇒ iz + 3 = 2z − 1 + i
⇐⇒ iz − 2z = −1 + i − 3
⇐⇒ z(i − 2) = −4 + i
−4 + i
⇐⇒ z =
i−2
−4 + i
Ainsi S =
.
i−2
Si on veut la solution sous forme algébrique :
−4 + i
(−4 + i)(−i − 2)
4i + 8 + 1 − 2i
9 + 2i
9 2
4i + 8 − i2 − 2i
=
=
=
=
= + i
2
2
i−2
5
5
5
5 5
(−2) + 1
9 2
D’où S =
+ i
5 5
Remarque : Soit z ∈ C∗ avec comme écriture algébrique z = a + ib où a, b ∈ R.
1
z
z
a − ib
= 2 = 2
.
L’inverse de z est z −1 = =
z
zz
|z]
a + b2
Ainsi |z| = 1 (ie le point d’affixe z est sur le cercle trigonométrique) ⇐⇒ z −1 = z
Roussot
4
2011 / 2012