Correction Brevet Blanc n°1

Correction Brevet Blanc n°1
Exercice n° 1 :
1) 3 + 5 + 2 + 2 + 2 + 6 = 20. Il y a 20 boules dans le sac.
2) a) Il y a 2 boules bleues portant la lettre A. Il y a 20 boules dans le sac.
2
2×1
1
=
=
La probabilité de tirer une boule bleue portant la lettre A est
.
20 2×10 10
b) Il y a 3 + 2 = 5 boules rouges. Il y a 20 boules dans le sac.
5 5×1 1
=
=
La probabilité de tirer une boule rouge est
.
20 5× 4 4
c) Il y a 3 + 5 + 2 = 10 boules portant la lettre A.
10
1
La probabilité de tirer une boule portant la lettre A est donc de
=
.
20
2
Il y a 2 + 2 + 6 = 10 boules portant la lettre B.
10
1
La probabilité de tirer une boule portant la lettre B est donc de
=
.
20
2
Ces deux probabilité étant égales, on peut dire qu'il y a autant de chances de tirer une boule
portant la lettre A que de tirer une boule portant la lettre B .
Exercice n° 2 :
Calcul de la longueur du parcours ACDA :
Le triangle ACD est rectangle en C. D'après le théorème de Pythagore : AD² = AC² + CD²
En remplaçant AC par 1,4 et CD par 1,05, on trouve AD² = 1,4² + 1,05² = 3,0625 ;
soit AD = √ 3,0625 = 1,75
AD mesure 1,75 km.
Ainsi, la longueur du parcours ACDA est : 1,4 + 1,05 + 1,75 = 4,2 km.
Calcul de la longueur du parcours AEFA :
On reconnaît une configuration de Thalès. E'[AE] ; F'[AF] ; (E'F') // (EF).
D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles AE'F' et AEF, on a les égalités :
AE ' AF ' E ' F '
=
=
;
AE
AF
EF
0,5 AF ' 0,4
=
=
puis en utilisant les données de l'énonce il vient :
1,3 1,6 EF
0,5 0,4
=
Nous avons besoin de calculer EF, donc on utilise :
. L'égalité des produits en
1,3 EF
croix nous donne :
1,3×0,4
= 1,04. EF mesure 1,04 km.
0,5×EF =1,3×0,4 ; et ainsi : EF =
0,5
Donc la longueur du parcours AEFA est : 1,3 + 1,04 + 1,6 = 3,94 km.
Entre 4 et 4,2 il y a 2 dixièmes d'écart tandis qu'entre 4 et 3,94 il y a 6 centièmes d'écart.
Or 6 centièmes < 2 dixièmes, donc le parcours qui se rapproche le plus de 4 km est le parcours
AEFA.
Exercice n° 3 :
40+ 35+85+ 67+28+ 74+ 28 357
=
=51 Rémi a obtenu 51 points en moyenne par
1) m R =
7
7
partie.
2) Appelons x le nombre de points obtenus par Nadia à la 6ème partie. Sachant qu'elle a obtenu
en moyenne
12+62+7 +100+81+ x+30
m N=
=51
51 points par partie, on a alors :
7
292+ x
=51
donc
7
en effectuant les produits en croix, on obtient 292 + x = 7×51
donc
292 + x = 357
292 – 292 + x = 357 – 292
x = 65
Pour obtenir en moyenne 51 points par partie, Nadia a du réaliser un score de 65 points à la
6ème partie.
3) Que ce soit pour Rémi ou pour Nadia, chacun a réalisé une série de 7 lancers.
7 étant un nombre impair, la médiane de chacune des deux séries sera donc la 4ème des
valeurs rangées dans l’ordre croissant.
Rangeons les scores de Rémi dans l'ordre croissant : 28 – 28 – 35 – 40 – 67 – 74 – 85
Donc la médiane de la série de points obtenus par Rémi est 40.
Rangeons les scores de Nadia dans l'ordre croissant : 7 – 12 – 30 – 62 – 65 – 81 – 100
Donc la médiane de la série de points obtenus par Nadia est 62.
Exercice n° 4 :
1) a) La flèche est tirée de la hauteur
d'un mètre. (point de coordonnées
(0;1)
b) La flèche retombe au sol à la
distance de 10 m de Julien. (point de
coordonnées (10;0)
c) La flèche atteint la hauteur
maximale (un peu plus de 3 m) à la
distance de 4,5 m de Julien.
(pointillés)
2
2) a) f (5) = – 0,1×5 + 0,9×5 + 1 = – 0,1×25 + 4,5 + 1 = – 2,5 + 4,5 + 1 = 2 + 1 = 3
L'image de 5 par la fonction f est donc égale à 3.
b) Dans la question 1)c), on a vu que la flèche atteint une hauteur maximale pour une
distance horizontale de 4,5 m. Calculons donc l'image de 4,5 par la fonction f :
f (4,5) = – 0,1×4,52 + 0,9×4,5 + 1 = – 0,1×20,25 + 4,05 + 1 = – 2,025 + 4,05 + 1
= 2,025 + 1 = 3,025
La flèche atteint donc une hauteur maximale de 3,025 m quand elle est située à 4,5 m de
Julien, et donc la flèche s'élève bien à plus de 3 m de hauteur.
Exercice n° 5 :
1) Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu O.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Et donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Conclusion : l'affirmation 1 est vraie.
3) Appelons n un nombre entier quelconque.
Si on applique le programme A au nombre n, on obtient (n +0,5 )2 .
2
2
2
2
Développons cette expression : (n +0,5 ) = n + 2×n ×0,5 + 0,5 = n + n + 0,25.
Si on applique le programme B au nombre n, on obtient n×(n +1) + 0,25.
2
Développons cette expression : n×(n +1) + 0,25 = n× n + n×1 + 0,25 = n + n + 0,25.
On observe que les deux expressions développées des programmes A et B, appliqués au
nombre n, sont égales,
on peut donc en conclure que les programmes A et B sont égaux, quel que soit le nombre
entier n choisi.
Exercice n° 7 :
1) L'aire de la piscine « ronde », qui est l'aire d'un disque, est égale à :
2
2
A 1 = π ×r = π ×1,7 ≈9,08 m².
2) Dans le triangle IJK, M est le milieu de [IK] et N est le milieu de [JK].
Or, si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d'un triangle, alors il mesure la
moitié de la
longueur du troisième côté.
IJ
8
Donc MN =
=
= 4 cm.
2
2
Conclusion : l'affirmation 2 est vraie.
Or, seule la construction d'une piscine de surface au sol de moins de 10 m² ne nécessite
aucune démarche administrative, donc la piscine « ronde » ne nécessite pas de démarche
administrative, alors que la piscine « octogonale » nécessite, elle, une démarche
administrative.
3) Le quadrilatère VOLE est un losange et il possède un angle droit.
Or, si un losange possède un angle droit, alors c'est un carré.
Donc VOLE est bien un carré.
Conclusion : l'affirmation 3 est vraie.
2) La surface minimale conseillée par baigneur étant de 3,40 m², il faut donc une surface totale
minimale de 4×3,40 = 13,6 m² pour les quatre membres de la famille.
D'après les calculs d'aires effectués dans la question 1), 9,08 < 13,6 et 13,69 > 13,6
La famille doit donc choisir la piscine « octogonale ».
Exercice n° 6 :
1) Appliquons les deux programmes au nombre 10 :
2
2
- Programme A : (10+0,5) = 10,5 = 110,25 ;
3) Calculons le volume d'eau que peut contenir la piscine « octogonale ».
C'est un prisme droit, dont l'aire de la base est A 2 donc :
2
V = A 2 ×h= 2× √ 2× 2,2 ×1,2≈16,428 m3.
- Programme B : 10×11 + 0,25 = 110 + 0,25 = 110,25
On constate que les deux programmes de calculs donnent le même résultat lorsqu'on les
applique au nombre 10.
2) a) On a saisi dans la cellule C2 la formule = A2*(A2+1) + 0,25
b) Conjecture : à la lecture du tableau, il semble que les programmes de calculs A et B
soient égaux.
L'aire de la piscine « octogonale », qui est l'aire d'un octogone, est égale à
2
2
2
A 2 = = 2 √ 2× R =2× √ 2×(4,4÷2) =2×√ 2× 2,2 ≈13,69 m².
Entre le vendredi à 14h00 et le samedi à 10h00, 20 heures se sont écoulées,
soit 20×60 = 1 200 minutes.
Or, le débit du robinet de remplissage est de 12 litres par minute.
Donc pendant les 20 heures de remplissage de la piscine, la piscine va contenir au total :
12×1200 = 14 400 L d'eau.
Mais 14 400 L = 14 400 dm3 = 14,4 m3.
Comme 14,4 < 16,428, on peut affirmer que la piscine ne va pas déborder !