THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE

THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE
I – Théorème de Pythagore
Propriété : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés.
Remarque : Le théorème de Pythagore s’utilise pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle.
Exemples :
1)
Soit SOT un triangle rectangle en T tel que TO = 6 cm et TS = 10 cm. Calculer la valeur exacte de OS puis donner la
valeur arrondie au millimètre.
Le triangle SOT est un triangle rectangle en T et son hypoténuse est le côté [OS].
D’après le théorème de Pythagore, on a : OS² = TS² + TO².
OS² = 10² + 6² = 100 + 36 = 136.
La longueur OS est positive, donc on a :
OS =
cm (c’est la valeur exacte).
A la calculatrice en calculant
on trouve 11,6619037897.
Donc OS = 11,7 cm (c’est la valeur arrondie au millimètre).
2)
Soit NIL un triangle rectangle en N tel que IL = 9,7 cm et NI = 7,2 cm. Calculer NL.
Le triangle NIL est rectangle en N et son hypoténuse est le côté [IL]. D’après le
théorème de Pythagore, on a : IL² = NI² + NL².
9,7² = 7,2² + NL²
94,09 = 51,84 + NL²
NL² = 94,09 – 51,84
NL² = 42,25.
Donc NL =
cm = 6,5 cm (c’est la valeur exacte).
II – Réciproque du théorème de Pythagore
Propriété : Si, dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et admet ce plus grand côté pour hypoténuse.
Remarque : La réciproque du théorème du théorème de Pythagore s’utilise pour montrer qu’un triangle est rectangle.
Exemple : FER est un triangle tel que FE = 75 cm ; ER = 45 cm et RF = 60 cm. Démontrer que ce triangle est rectangle.
Dans le triangle FER, le plus long côté est [FE], donc on calcule séparément FE² et ER² + RF².
FE² = 75² = 5 625
ER² + RF² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625
On constate que FE² = ER² + RF². Donc d’après la réciproque du
théorème de Pythagore, le triangle FER est rectangle en R.