Programme du cours Algèbre et combinatoire. Printemps 2016. k : fn

Mis à jour le 9 mars 2016.
Programme du cours Algèbre et combinatoire. Printemps 2016.
1. Suites définies par des relations linéaires aux coefficients constantes. Décomposition en éléments simples. Formule explicite pour le n-ème terme.
2. Fonction génératrice d’une suite.
3. Suite de Fibonacci. Fonctions! génératrice, formule explicite, relation récurrente . Expression en coefficients
P
k
binomiaux : an = k
.
n−k
4. Fonctions génératrices des suites géométriques finies et infinies.
5. Suites dont les fonctions génératrices sont (1 + x)k , (1 − x)−k , ln(1 + x), ex .
6. Modifications des suites (décalage, sommes partielles, sous-suite des éléments pairs et impairs) et les opérations
correspondantes sur les fonctions génératrices.
7. Suite correspondante au produit de deux fonctions génératrice. Convolution de deux suites.
8. Produit d’Hadamard des suites. Produit d’Hadamard de
1
(1+ax)k
pour k 6 2.
9. Coefficients binomiaux. Triangle de Pascal. Fonctions génératrices. Calcul des sommes.
10. Fonction génératrice des suites aux plusieurs indices.
11. Principe d’inclusion–exclusion.
12. Calcul du nombre des entiers premiers avec n.
P
13. Calcul de nombre de solutions nk=1 xk = a satisfaisantes 0 6 xk
6 b.
14. Nombre de permutations et de partitions. Coefficients polynomiaux.
15. Nombre de partitions d’un entier avec ou sans restrictions. Fonctions génératrices.
16. Diagrammes de Young et de Maya.
17. Fonction génératrice de nombres de partitions. Relation récurrente.
18. Formule de Jacobi
∞
Y
n
(1 − q )
n =1
19. Formule d’Euler
Y
k
(1 − q k ) =
∞
Y
(1 + q
n+1=2
n =1
∞
X
(−1)k s
3k2 −k
2
z)
∞
Y
(1 + q
n+1=2 −1
n=1
z )=
∞
X
n=−∞
2 =2 n
qn
z :
:
k=−∞
20. Différence finie d’une suite. L’analogue de la formule de Taylor
X f n (0)
f (n) =
xn ;
k!
k
où
xn
= x(x − 1) (x − n + 1).
21. Nombres de Catalan. Fonctions génératrice, formule explicite, relation récurrente.
22. interprétations combinatoires des nombres de Catalan : chemins NE et SE, suites de parenthèses, arbres trivalents, découpage d’un polygone en triangles.
23. Diagonalisation par transformations élémentaires de la matrice A(). Relation avec la forme de Jordan.
24. Groupe fini. L’action d’un groupe fini sur un ensemble fini. Orbites, l’ensemble d’orbites.
25. Formule de Burnside pour ne nombre d’orbites. Nombre de coloriages en a couleurs.
26. Fonction indicatrice des cycles. Collier, cube, tétraèdre, octaèdre.
27. Formule de Polya pour le nombre de coloriages.
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