COURS DE MECANIQUE 2ème année

Transcription

AVANT-PROPOS
COURS DE MECANIQUE
A noter que la numérotation des paragraphes adoptée ici est calquée sur celle du cours oral
afin de faciliter le suivi du cours magistral, mais ne répond pas aux normes de présentation
usuelles d'un document écrit.
2ème année
Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL
Chapitre 2.
LIAISONS MECANIQUES - MODELISATION
Université du Maine - UFR Sciences et Techniques
Catherine Potel, Philippe Gatignol
Université du Maine, Le Mans
Catherine Potel, Philippe Gatignol
Université du Maine, Le Mans
Chapitre 2
Liaisons mécaniques - modélisation
DEUST VAS 2
Chapitre 2
DEUST VAS 2
Cette dernière distinction dépend en général de la modélisation géométrique du système
mécanique :
INTRODUCTION
Un système mécanique est en général soumis à un certain nombre d'actions tendant à assurer
son équilibre ou à modifier son mouvement, par rapport à un repère d'observation.
I
A notre échelle habituelle, qui est celle de l'étude de la plupart des machines et mécanismes,
on peut distinguer deux types d'actions :
les actions à distance, telles que l'attraction de la Terre sur un satellite, ou tout
simplement l'action de pesanteur à la surface de la Terre, ou encore les actions magnétiques,
électrostatiques...
Mais si l'on tient compte de l'écrasement du pneu, l'action est
répartie sur la surface de contact (figure 2.3-b).
b)
Figure 2.3
roue
chaussée
Forme
par
exemple, l'action de la
chaussée sur les roues d'une
voiture, de la bielle sur le
vilebrequin (figure 2.1).
Représentation
technologique
Objet réel
les actions par contact dues à la présence et au mouvement des objets avoisinants, liés
à l'objet étudié par des liaisons mécaniques :
action de la chaussée
sur la roue
Si la roue d'une voiture est schématisée par un disque indéformable,
l'action de la chaussée s'exerce au point de contact I (figure 2.3-a).
a)
L
Position
Caractérisation
T
du mouvement
t
t
Etape géométrique
Etape cinématique
Figure 2.1
Ces actions de contact peuvent aussi être dues à la présence et au mouvement d'un fluide dans
lequel l'objet est situé : poussée d'Archimède pour un poisson, résistance de l'air pour un
avion, par exemple.
Par ailleurs, pour un type comme pour l'autre, on peut distinguer les actions ponctuelles, qui
s'exercent en un point précis du système, et les actions réparties sur un volume ou sur une
surface (éventuellement le long d'une ligne, figure 2.2).
Répartition
M
F
de la masse
Actions
exercées
Relier les actions
au mouvement
Contact linéaire rectiligne
Contact linéaire circulaire
Figure 2.2
t
t
t
Etape cinétique
Etape physique
o
o
o
o
Etape dynamique
o
Equations
o
Vecteurs, angles
Repérage spatial
Fonctions vectorielles
Trajectoires
Champs de vitesses
Accélération
Géométrie des masse
Inertie
Eléments cinétiques
(masse + vitesse)
Lois physiques :
attraction des corps
électromagnétisme
frottement
Principe fondamenta
Dynamique
Statique
Point matériel
Solide rigide
Figure 2.4
Catherine Potel
- 2.1 -
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
- 2.2 -
Chapitre 2
I
DEUST VAS 2
Chapitre 2
II
EXEMPLE DU JOINT DE CARDAN
Définition : Un joint de cardan permet la transmission d'un mouvement de rotation
entre deux arbres concourants. Il est composé de deux chapes et d'un croisillon.
DEGRES DE LIBERTE
1
Décomposition du déplacement d'un solide dans un repère
z
C'est une chaîne fermée à quatre éléments (figure 2.5):
S0
: Bâti (caisse de la voiture)
→
ez
bg
: Fourche qui tourne à ω 1 t = constante sans glisser (moteur de la voiture)
: Croisillon avec deux axes de rotation
: Fourche qui tourne à ω 3 t ≠ ω 1 t (roues)
S' 0
: Bâti
bg
x
1
1a
S0
2
ω1
3
O
: Arbres reliés
1 et 3
: Chapes ou fourches
2
: Croisillon
4 axes concourants en O
θ
S' 0
ω3
3a
1a et 3a
⇒ chaque cardan peut être modélisé
par 4 liaisons pivot d'axes
concourants.
→
ey
O
Tx
→
ex
ω1
Son déplacement peut se décomposer, dans un ordre
quelconque, en six déplacements élémentaires qui
sont :
Figure 2.7
d
i
d
i
d
i
d
i
r
r
- Rotation R x autour de O, e x , rotation R y autour de O, e y , rotation R z autour de
r
O, e z ,
r
r
- Translation T x suivant O, e x , translation T y suivant O, e y , translation T z suivant
r
O, e z .
d
i
d
i
Degrés de liberté d'un solide (ddl) : par définition, les ddl d'un solide sont ces déplacements
Dans le plan :
2
six ddl :
trois ddl :
trois rotations
une rotation
deux translations
3
O
θ
θ'
3a
2
3
Degrés de liberté d'une liaison - degré de liaison
d i d i
associée au solide dS i sur une surface associée à dS i . Pour caractériser la nature de leur
liaison, il faut étudier les les mouvements relatifs de dS i par rapport à dS i .
2'
ω3
Une liaison élémentaire entre deux solides S 1 et S 2 est créée par le contact d'une surface
1'
1
1a'
2
1
ω '1
Le second joint corrige les irrégularités de vitesse du premier joint en présentant le même
défaut, mais en sens opposé. La transmission est alors homocinétique :
(2.1)
∀ t , ω1 (t ) = ω'1 (t ) .
- 2.3 -
2
Définitions :
S' 0
Figure 2.6
Catherine Potel
i
trois translations
1
1a
y
Rx
Montage à deux joints simples (Figure 2.6)
S0
d
(figure 2.7).
Ty
Ry
élémentaires
Dans l'espace :
Figure 2.5
Un solide S en déplacement quelconque dans l'espace
r r r
affine est repéré par un repère R = O, e x , e y , e z
(S)
Tz
bg
bg
Rz
Remarque : on peut également appeler "fourches" les chapes.
S1
S2
S3
DEUST VAS 2
Le degré de liberté (ddl) d'une liaison est le nombre de déplacements élémentaires
indépendants autorisés par cette liaison.
Par opposition, le degré de liaison (ddln) est le nombre de déplacements élémentaires
interdits.
Catherine Potel
- 2.4 -
Chapitre 2
DEUST VAS 2
Chapitre 2
DEUST VAS 2
Le degré de liberté est donc une variable qui peut prendre deux états auxquels on peut
associer :
le chiffre 0 lorsque le degré de liberté est impossible.
le chiffre 1 lorsque le degré de liberté est possible.
A un degré de liberté supprimé correspond un degré de liaison :
degré de liberté (ddl) + degré de liaison (ddln) = 6
.
III
MODELISATION DES LIAISONS BINAIRES PRINCIPALES
1.
Les onze liaisons binaires principales
(2.2)
d i d i
A chaque contact autorisant des déplacements entre deux ensembles matériels S 1 et S 2 ,
on définit un repère appelé repère local idéal qui permet d'exprimer simplement les propriétés
de contact.
origine A
: point privilégié de la géométrie de contact (appartient en général à un
élément de symétrie de la surface de contact).
axe principal : axe de symétrie privilégié de la surface de contact, s'il existe. Les deux
autres axes sont tels que le repère soit orthonormé direct.
Le tableau page suivante résume les rotations (R) ou translations (T) permises pour les onze
liaisons usuelles :
-
Liaison encastrement
Liaison pivot
Liaison glissière
Liaison hélicoïdale
Liaison pivot glissant
Liaison sphérique à doigt
Liaison rotule ou sphérique
Liaison appui plan
Liaison linéaire annulaire
Liaison linéaire rectiligne
Liaison ponctuelle
Le nombre de 1 dans le tableau donne donc le nombre de degrés de liberté de la liaison.
! La liaison hélicoïdale n'autorise qu'un seul degré de liberté bien que le tableau comporte
r
deux "1". En effet, la rotation autour de l'axe e x et la translation suivant cet axe sont
conjugués : si l'on note p le pas de la liaison, on a la relation suivante :
p
, avec R x en radian.
Tx = R x
2π
Catherine Potel
- 2.5 -
(2.3)
Figure 2.8
Catherine Potel
- 2.6 -
Chapitre 2
2.
DEUST VAS 2
DEUST VAS 2
Répartition des charges sur un roulement
Exemples de solutions technologiques
a)
Chapitre 2
Les roulements
Définition : Un roulement est un organe qui assure une liaison mobile entre deux
éléments d'un mécanisme roulant l'un sur l'autre. Il permet leur rotation relative, sous
charge, avec précision et un frottement minimal.
Eléments constructifs (figure 2.9)
1-
Bague extérieure solidaire du moyeu
2-
Bague intérieure solidaire de l'arbre
3-
Elément de roulement
4-
Cage
Eléments de roulement :
Billes
Rouleaux
Aiguilles
Un roulement est défini par deux caractéristiques
Figure 2.9
essentielles : le type et les dimensions.
Principaux types de roulements
On se reportera à la planche pour la modélisation de ces roulements sous forme de liaison.
Roulements à billes :
- 1 rangée de billes
- 2 rangées de billes
Roulements à rouleaux :
- cylindriques
- coniques
- sphériques
Figure 2.10
Roulements à aiguilles
Charge radiale : charge perpendiculaire à l'axe de l'arbre (la ligne de charge est radiale par
Butées :
rapport à l'axe).
- à billes
- à rouleaux
- à aiguilles
Catherine Potel
- 2.7 -
Catherine Potel
- 2.8 -
Chapitre 2
b)
DEUST VAS 2
Liaison encastrement
soudage
-
ajustement serré
-
goujonnage, etc...
a
Liaison glissière
Liaison ponctuelle
bille dans la souris associée à un ordinateur.
IV
MODELISATION DES EFFORTS MECANIQUES
1
Insuffsance des vecteurs libres en mécanique
Lorsque l'on exerce un effort sur un objet, on peut représenter géométriquement cet effort
guidage avec cages à aiguille
par une longueur, proportionnelle à l'intensité de l'effort et indiquer également, par une
clavetage
direction de droite orientée, la direction et le sens dans lesquels cet effort s'exerce. Ces
douilles à billes
a
butées à billes
a
a
Liaison pivot
guidage avec patins à aiguille
e)
Liaison appui plan
j)
roulement à deux rangées de billes
d)
DEUST VAS 2
butées à rouleaux
-
a
i)
Les solutions technologiques correspondant à un encastrement peuvent être :
c)
Chapitre 2
éléments définiraient un vecteur libre.
Liaison hélicoïdale
Cependant, ce vecteur libre est insuffisant pour représenter l'effort complètement. En effet, il
convient de préciser de plus l'endroit où s'exerce cet effort, c'est-à-dire son "point
vis à billes
f)
d'application". L'exemple du serrage d'un écrou (figure 2.11) montre bien que les efforts
→
→
représentés par les deux vecteurs équipollents AA' et A1A1' , représentants du même vecteur
Liaison pivot glissant
→
libre F , n'auront pas le même effet mécanique.
a
colonnes à billes
dispositif combiné
g)
A1
F
Liaison sphérique à un doigt
A
F
A'
A' 1
a
joint de cardan
B
accouplement à ergots
F
h)
a
Liaison rotule
B' Figure 2.11
On pourrait alors penser que le bon concept est celui de vecteur lié. Cependant, si au lieu
roulements à billes
→
d'appliquer l'effort F au point A on l'applique au point B, par exemple au moyen d'un câble
AB, l'effet de serrage sera le même que pour une application directe en A. Les deux vecteurs
→
→
→
liés AA' et BB' ont donc un effet mécanique équivalent, mais différent de celui de A1A1' .
rotule
rouleaux coniques
Catherine Potel
- 2.9 -
Catherine Potel
- 2.10 -
Chapitre 2
DEUST VAS 2
Ce qui vient d'être dit découle d'une observation de la vie courante, mais il repose en réalité
sur le principe même de la dynamique, que nous étudierons plus tard au chapitre 4.
Ainsi, un effort sera représenté géométriquement par une droite orientée (la ligne
d'action et le sens de l'action) et par une longueur proportionnelle à l'intensité de
l'effort.
d i
r
r
Mathématiquement, un effort F appliqué au point A sera représenté par le glisseur A , F .
Si B est un autre point de la ligne d'action, alors
dA , Fr i = dB, Fr i
Chapitre 2
Trois paramètres vont donc intervenir :
→
r
- l'intensité (module) de la force F appliquée : F .
→
→ →
- l'angle de la ligne d'action (support) de F avec l'axe de la clé : α = ( PA , F ) . L'efficacité est
π
maximale pour α = .
2
→
- la longueur de la clé : PA = PA .
Une mesure de l'efficacité du serrage pourra donc être donnée par le produit de ces
trois quantités :
→ →
→ →
PA F sin( PA , F ) .
Dimension physique d'un force :
→ →
On remarque que ce produit n'est autre que le module du produit vectoriel PA ∧ F . Ainsi, ce
Exemple de force : le poids P = mg
m en kg
g en m / s 2 .
produit vectoriel est appelé à jouer un rôle important dans l'appréciation de l'efficacité d'une
dimension symbolisée par M
dimension symbolisée par L T − 2
→
force F dont la ligne d'action passe par A.
→
F = mg = M L T − 2
donc
DEUST VAS 2
Définition : Etant donné un glisseur ( A , F ) et un point P de l'espace, on appelle
→
moment du glisseur ( A , F ) au point P le vecteur libre défini par le produit vectoriel :
→
→
→ →
(2.4)
M P ( A , F ) = PA ∧ F .
L'unité d'une force est le Newton, c'est-à-dire : 1 N = 1 kg. m. s − 2
2
Moment d'un glisseur en un point - notion de couple
Notion de couple :
Reprenons l'exemple du serrage d'un écrou (figure 2.12). On voit bien sur l'exemple de la
→
figure ci-dessous, que pour une même intensité de la force F , le serrage ne sera pas aussi
efficace selon que la ligne d'action de la force est perpendiculaire à ( PA ) ou pas.
P
Considérons l'action exercée sur un "tourne à gauche"
A
bUg
z
A
d
α
y
O
F
F
d
→
C
B
→
-F
F
F
par son utilisateur
(figure 2.13).
→
F
A1
bSg
x
Figure 2.13
Figure 2.12
Catherine Potel
- 2.11 -
Catherine Potel
- 2.12 -
Chapitre 2
DEUST VAS 2
r r r
L'ensemble des forces exercées sur le système est une force nulle : + F − F = 0.
→ r
→
⎯
⎯→ r
⎯
⎯→
r
r
MO F + M O − F = OA ∧ F + OB ∧ − F
di
d i
=
0 ∧
0
d
F+
0∧
0 +
lF → Sq = P RSTRbF → Sg,M bF → SgUVW .
(2.7)
Il est quelquefois commode d'expliciter les composantes de R bF → Sg et du moment
M bF → Sg sur la base B . Dans ce cas, on peut employer la notation suivante :
P
→
→
P
r
= −2 d F e z
0
r
r
R F →S X M P F →S L
Y et
M alors on peut aussi noter
Si
BZ
B N
X L
F →S =
Y M
.
P Z N B
b
B − d F B − d F B −2 d F
On appelle ce moment un couple.
g
b
g
R
q |S
|T
l
Dimensions physiques d'un moment :
M = F d = M L T −2 L
appelé parfois torseur cinématique, du repère R 2 dans son mouvement par rapport à R 1 à
b g d
→
d
i
ωy
Bωz
Application - notations
bg
r
Soient n forces F i appliquées aux points A i d'un solide S
A2
A1
Ai
(S)
(figure 2.14). L'ensemble de ces forces est noté F .
→
Fi
q od
V =
P2
y
vy
z
vz
U|
V|
WB
(2.11)
d i
1
d i d i
n
⎯
⎯→
1
r
n ∧ Fn
- 2.13 -
n
appelé torseur transmissible, aura une forme particulière :
→
⎯
⎯→
1
Torseur transmissible
s
Selon la nature de la liaison entre deux solides S 1 et S 2 , le torseur S 1 → S 2 , parfois
(2.5)
(2.6)
qui sont les éléments de réduction du torseur au point P .
Catherine Potel
alors
vx
d i
c)
i d it
R| RbF → Sg = Fr +L + Fr
S|
r
TM bF → Sg = PA ∧ F +L + PA
P
vy
B vz
x
D'après ce que l'on a vu au § II, on comprend bien que le torseur distributeur des vitesses
est représentatif des degrés de libertés du solide S 2 par rapport au solide S 1 . La
bg
→
et
R|ω
S|ω
Tω
(2.10)
donc du tableau 2.8.
Figure 2.14
→
avec
i
i
forme particulière du torseur distributeur des vitesses, dans le cas de chaque liaison, se déduit
Le torseur des actions de F sur le solide S est :
r
r
F → S = A 1 , F1 , L , A n , F n
l
d
b g d
i
r
V P2 / R 1 v x
Ω B2 / B1 ω x
Si
→
F2
i
l'instant t a pour éléments de réduction en un point P 2 :
r
r
→
r
R V = Ω B2 / B1
, M P2 V = V P2 / R 1 .
Une action mécanique est modélisée par un torseur, défini par ses éléments de
réduction en un point.
→
F1
(2.9)
d
Représentation mathématique d'un action mécanique
a)
U|
V|
W
b)
Torseur distributeur des vitesses
On a vu au chapitre 1 que le torseur distributeur des vitesses V = V R 2 / R 1 , encore
L'unité d'un moment ou d'un couple est N.m
3
→
→
−F
0 =
DEUST VAS 2
faudra alors préciser le point en lequel on calcule son moment, et l'on pourra alors noter :
0
B 0 B0 B0 B 0
0
0
0
=
Notations : Dans le cas où l'on veut expliciter un torseur par sa résultante et son moment, il
d i
−d
Chapitre 2
d
i
R S 1 → S 2 X1/ 2
Si
Y1/ 2 et
B Z1/ 2
Catherine Potel
→
d
i
M P 2 S 1 → S 2 L1/ 2
M1/ 2 alors
B N 1/ 2
- 2.14 -
nS
s
1 →S2 =
P2
R| X
S| Y
TZ
1/ 2
L1/ 2
1/ 2
M 1/ 2
1/ 2
N 1/ 2
U|
V|
WB
Chapitre 2
V
DEUST VAS 2
Chapitre 2
DEUST VAS 2
CAS DES LIAISONS PARFAITES
Puissance des efforts appliqués à un solide rigide (A admettre, par anticipation
1.
sur le chapitre 5)
La puissance des actions de S1 sur S 2 , relativement au repère R 1 est définie par
(
) {
} (
)
→
⎯
⎯→
r
r
P (S 1 → S 2 / R 1 ) = R (S 1 → S 2 ) ⋅ V (P 2 / R 1 ) + M P (S 1 → S 2 ) ⋅ Ω(B 2 / B 1 )
P (S1 → S 2 / R 1 ) = Xv x + Yv y + Zv z + Lω x + Mω y + Nω z .
P S1 → S 2 / R 1 = S1 → S 2 ⋅ V R 2 / R 1 ,
soit
soit
2.
(2.12)
, (2.13)
(2.14)
Liaison parfaite (sans frottement)
(
)
Une liaison parfaite ne consommant pas d'énergie, P S 1 → S 2 / R1 = 0 . Cela se traduit par
l'équation :
{S1 → S 2 }⋅ V (R 2 / R 1 ) = 0
,
(2.15)
⎛ωx , ω y ,ωz ,⎞
⎟ .
= 0 ∀⎜
⎜vx,vy,vz ⎟
⎝
⎠
(2.16)
avec :
{S1 → S 2 }⋅ V (R2 / R1 ) =
X v x + Y v y + Zv z
+ Lω x + Mω y + Nω z
Cela revient à traduire la complémentarité entre la cinématique de la liaison (ddl) et l'action
mécanique qu'elle peut transmettre. Cette complémentarité se traduit par une certaine
correspondance entre les composantes nulles des deux torseurs. La liaison hélicoïdale
représente toutefois un cas particulier qui est détaillé ci-dessous.
Le tableau 2.15 donne les formes particulières de ces deux torseurs pour les liaisons parfaites
usuelles déjà étudiées.
Explicitons S 1 → S 2 dans le cas d'une liaison hélicoïdale :
n
s
Rω
nS → S s ⋅V dR / R i = |S 0
A |T 0
x
1
2
n
donc S 1 → S 2
2
1
U| R|X
0 V ⋅ SY
0 |WB A |T Z
vx
L 1/ 2
1/ 2
M 1/ 2
N 1/ 2
1/ 2
1/ 2
U|
V|
WB
= ω x L 1/ 2 + v x X 1/ 2
ω x ,ω y ,ω z ,
⋅ V R2 / R 1 = 0 ∀
⇔ ω x L 1/ 2 + v x X 1/ 2 = 0
v x ,v y ,v z
s d
i
F
GH
I
JK
avec Y1/ 2 , Z 1/ 2 , M 1/ 2 , N 1/ 2 quelconques
ωx
On a donc une relation entre L 1/ 2 et X 1/ 2 : X 1/ 2 = −
L 1/ 2
vx
2π
p
, p étant le pas de la liaison.
Or v x =
ω x , d'où X 1/ 2 = k L 1/ 2 avec k = −
2π
p
Catherine Potel
- 2.15 -
Figure 2.15
Catherine Potel
- 2.16 -
Chapitre 2
DEUST VAS 2
VI
ACTION MECANIQUE TRANSMISE PAR UN CONTACT PONCTUEL
1.
Analyse géométrique et cinématique
Chapitre 2
2.
Lois du contact ponctuel
b g b g
Le contact ponctuel entre S1 et S2 provoque des actions de chacun des solides sur l'autre.
Les lois du contact s'expriment de la manière suivante :
b g b g
Deux solides rigides S1 et S2 en contact l'un avec l'autre au cours du temps, auront en
général à chaque instant t un point commun I , et, en ce point, un plan tangent commun et
par suite une normale commune.En ce lieu de contact, trois points sont confondus à cet
instant, mais sont séparés aux instants voisins t + dt . Il s'agit :
- du point géométrique où a lieu le contact, point que
nous venons de noter I.
I2
b g
- l'action du solide S1
R0
d i
(S 2 )
- du point I 1 du solide S 1 qui se trouve en ce lieu
b g
sur le solide S2 , due au contact ponctuel au point I , est
→
b
g
représentable par une force F S1 → S2 dont la ligne d'action passe par le point de contact I.
- le contact ne pouvant être maintenu qui si chacun des solides "pousse" sur l'autre, cette force
r
doit être dirigée de S 1 vers S 2 . Si l'on introduit le vecteur unitaire normal n12 dirigé de
d i
d i
bS g vers bS g , cette condition se traduit par l'inégalité :
r
F bS → S g. n > 0
1
I
DEUST VAS 2
2
→
1
2
(2.17)
12
de contact I à l'instant t.
I1
d i
(S )
- du point I 2 du solide S 2 qui se trouve en ce lieu
1
de contact I à l'instant t.
Figure 2.16
Cette condition précise donc le signe, sur la normale orientée selon l'axe Iz12 , de la
composante normale de la force. Si l'on décompose cette force sur la direction normale et sur
le plan tangent :
→
d i
d
i
d i
F(S1
d i
S2 )
N(S1
S2 )
commun.
(S2 )
φ
z12
N(S1
T(S1
S2 )
S2 )
n12
g b
g b
(2.18)
g
composante normale
b
g
T S1 → S2 :composante tangentielle
encore appelée force de frottement.
(S1 )
Figure 2.18
(S2 )
→
N S1 → S2
d
roulement
→
d
V I 2 /R 1
i
Exemple :
→
F S1 → S2
d
i
I
(S1 )
b
→
I
pivotement
plan tangent
commun
g
→
mouvement de rotation autour d'un axe passant par I et contenu dans le plan tangent
S2 )
g b
→
→
→
r
N S1 → S2 : N S1 → S2 = N S1 → S2 . n12 > 0
Mouvement de roulement de S 2 par rapport à S 1 :
F(S1
g b
z12
ils coïncident.
Mouvement de pivotement de S 2 par rapport à S 1 :
r
mouvement de rotation autour de l'axe I , n 12 .
d i
b
F S1 → S2 = N S1 → S2 + T S1 → S2
Au cours d'un mouvement, ces trois points ont en général des vitesses différentes par rapport
à un repère d'observation R 0 quelconque. La figure 2.16 montre ces trois points à l'instant où
i
→
T S1 → S2
(S 2 )
I
d
(S 1 )
i
Figure 2.19
Figure 2.17
Catherine Potel
- 2.17 -
Catherine Potel
- 2.18 -
Chapitre 2
3.
DEUST VAS 2
→
→
b
g
→
b
g
- Première loi de Coulomb : la projection tangentielle T S1 → S2 de l'action F S1 → S2
représente la résistance qu'oppose S1 au mouvement de glissement de S2 par rapport à
S1 . On l'appelle parfois "force de frottement".
b g
b
→
→
g d
T bS → S g . V d I
→
→
b g
→
d
b
DEUST VAS 2
g
i
/R i < 0
2
de frottement.
Détermination expérimentale (figure 2.21)
f
→
T S1 → S2 ∧ V I 2 / R 1 = 0
1
Dans le cas d'un contact sans glissement, le vecteur F S1 → S2 est situé à l'intérieur du cône
Lois de frottement (lois de Coulomb)
b g
Chapitre 2
2
(2.19)
fs
1
(2.20)
d i
i
fd
d i
où V I 2 / R 1 représente la vitesse de glissement de S 2 par rapport à S 1 .
→
V(I 2 /R )
1
- Deuxième loi de Coulomb :
b
g b
g
T bS → S g ≤ f N bS → S g
Figure 2.21
fs
→
T S1 → S2 = f d N S1 → S2
si glissement
(2.21)
→
si pas de glissement
1
2
s
1
(2.22)
2
f d : coefficient de frottement dynamique
f s : coefficient de frottement statique
avec
Nature des matériaux
en contact
à sec
lubrifié
Acier sur acier
0.18
0.12
0.1
0.09
Acier sur fonte
0.19
0.1
0.16
0.04 à 0.08
Acier sur bronze
0.11
0.1
0.1
0.09
Téflon sur acier
0.04
Cône de frottement.
Métaux sur bois
0.2
0.35
0.12
0.65
0.2
0.2 à 0.4
0.04 à 0.16
0.5 à 0.6
0.1
0.2 à 0.5
0.02 à 0.08
Métal sur glace
z 12
Lorsque le coefficient de frottement f n'est pas nul, la
→
N(S1
S2)
Pneu voiture sur route
0.8
0.6
(S 2 )
φ
g
sur le cône de révolution dont le sommet est le point de
b)
contact I (figure 2.20), dont l'axe est la normale en I au
z 12
plan tangent commun aux deux surfaces et dont le
demi-angle au sommet φ est lié au coefficient f par :
I
(S 1 )
tg φ = f .
Contact sans frottement.
Si les surfaces en contact sont parfaitement polies, le coefficient peut
→
b
g
être considéré comme nul. La projection tangentielle T S1 → S2 de
F(1 2)
→
b
g
la force de contact F S1 → S2 est donc nulle : l'action de contact
(S 2 )
(2.23)
I
Figure 2.20
0.1 sur sol
mouillé à 0.3
glissement exprime que le vecteur F S1 → S2 est situé
S2)
n 12
b
0.04 à 0.08
0.02
deuxième loi de Coulomb pour le contact avec
F(S 1
lubrifié
0.1
Nylon sur acier
Bois sur bois
a)
à sec
0.04
Fonte sur bronze
Ces grandeurs sont sans dimension et leur valeur est représentée par un nombre sans unité.
fd
(S 1 )
Ce cône est appelé cône de frottement au point de
contact I .
s'exerçant au point I est alors normale au plan tangent commun en
I . C'est une situation idéalisée que nous rencontrerons souvent
notamment pour des liaisons de nature géométrique plus complexe.
Figure 2.22
Catherine Potel
- 2.19 -
Catherine Potel
- 2.20 -

COURS DE MECANIQUE 2ème année

Transcription

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