Lissage adaptatif de nuages de points - GIPSA-Lab

Lissage adaptatif de nuages de points
Contacts :
— Quentin Mérigot, Université Paris-Dauphine (http://quentin.mrgt.fr)
— Dominique Attali, équipe AGPIG, Gipsa-lab (http://www.gipsa-lab.grenoble-inp.fr/∼dominique.attali)
Description du sujet
Dans ce stage, nous nous intéressons au lissage d’un nuage de points, l’objectif étant de supprimer le bruit à une
certaine échelle tout en préservant les détails à une échelle plus petite. Un tel lissage peut être intéressant lorsque
les points ont été obtenus par numérisation d’un objet physique 3D (comme par exemple une sculpture) et que l’on
souhaite supprimer le bruit dans les mesures tout en préservant des détails (comme la signature de l’artiste gravée sur
l’objet). Nous proposons pour cela de nous inspirer de techniques [3] utilisées en traitement d’images qui permettent
de débruiter des photos tout en conservant des détails importants (comme par exemple les dermatoglyphes dans des
photos d’empreintes digitales).
Pour lisser un nuage de points P , l’idée consiste à le faire évoluer au cours du temps de façon à minimiser une
énergie E(P ) qui est égale au volume de la somme de Minkowski P + rK, où r ≥ 0 est un paramètre d’échelle et K
est un ensemble convexe. Lorsque P échantillonne une surface S, que K est la boule euclidienne et que le paramètre
1
E(P ) peut-être vue comme une approximation de l’aire A(S) de la surface S. L’évolution
r est très petit, l’énergie 2r
de S que l’on obtient en suivant le gradient de A est connu sous le nom de flot de courbure moyenne. Le flot de
courbure moyenne est connu pour ses propriétés régularisantes, et a par exemple été utilisé pour lisser une image en
faisant évoluer ses lignes de niveau [4]. Le flot que nous souhaitons construire numériquement peut être vu comme
une version discrète (car on l’applique à des nuages de points), anisotrope (si l’on prend pour K un convexe différent
de la boule unité) et non-locale (à cause du paramètre r) du flot de courbure moyenne.
D’un point de vue numérique, il faut donc être capable d’évaluer efficacement le volume de P + rK, son gradient,
voire sa hessienne. Lorsque K est la boule unité B centrée en l’origine, P +rB représente le r-offset de P , c’est-à-dire
l’union des boules de rayon r centrées en P . Dans ce cas particulier, il existe des formules analytiques permettant de
calculer de façon exacte le volume de l’offset [2], l’aire de son bord ainsi que la dérivée de l’aire [1]. Dans le stage,
nous nous proposons d’explorer le cas où K est un polyèdre convexe. Lorsque K approche B, ceci nous permettra
d’approcher le calcul de grandeurs géométriques associées à P + rB de façon peut-être plus rapide. On étudiera alors
l’impact que cette approximation a sur le lissage. Par ailleurs, l’utilisation d’un polyèdre convexe K nous permettra de
procéder à des lissages anisotropes et ouvre des perspectives pour la simulation de modèles de croissances de cristaux.
Références
[1] Robert Bryant, Herbert Edelsbrunner, Patrice Koehl, and Michael Levitt. The area derivative of a space-filling
diagram. Discrete & Computational Geometry, 32(3) :293–308, 2004. [download].
[2] Frederic Cazals, Harshad Kanhere, and Sébastien Loriot. Computing the volume of a union of balls : a certified
algorithm. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 38(1) :3, 2011. [download].
[3] Antonin Chambolle, Massimiliano Morini, and Marcello Ponsiglione. A non-local mean curvature flow and its
semi-implicit time-discrete approximation. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 44(6) :4048–4077, 2012.
[download].
[4] Adina Ciomaga, Pascal Monasse, and Jean-Michel Morel. Level lines shortening yields an image curvature microscope. In Image Processing (ICIP), 2010 17th IEEE International Conference on, pages 4129–4132. IEEE,
2010. [download].