OSCILLATEUR MECANIQUE NON AMORTI RESSORTS

OSCILLATEUR MECANIQUE NON AMORTI
RESSORTS
A- But de la manipulation
Nous allons étudier un oscillateur mécanique non amorti. Lors de son évolution, les frottements sont
nuls ou négligeables de sorte qu’il ne peut s’effectuer de transfert énergétique vers l’extérieur : leur
énergie reste donc constante.
Etude théorique:
Un ressort, de raideur k et de masse négligeable, est initialement à vide (figure 1a). On lui suspend le
solide S de masse m, et il s’allonge de x0 (figure 1-b). Le solide S est alors immobile sous l’action de
deux forces :


b
La tension F du ressort et son poids P
a
On peut donc écrire



PF  0
PF




P  F
k x0  m g
0
k

(1)
x0
m
Figure 1 : Pendule élastique vertical.
On écarte le solide S d’une longueur a (position 1) vers le bas et on le lâche. Il effectue alors des
oscillations d’amplitude a autour de la position d’équilibre (position 2).
Si on note par x  x( t ) la position du solide S à l’instant t par rapport à la position d’équilibre, la
relation fondamentale de la dynamique donne en projetant sur la verticale :
m
d 2x
mgk X
dt 2
avec
X  x  x0
et
k x0  m g
Après simplification on arrive à l’équation du mouvement du solide S :
d 2x
k
d 2x
k

x

0
ou
bien
 2 x  0
(1)
avec
2 
2
2
dt
m
dt
m
x  a sin(  .t   ) où a désigne l’amplitude du
la solution de l’équation (1) est de la forme :
La période du mouvement est :
T
2

 2
m
k
Connaissant les valeurs de T et de la masse m du solide S, nous pouvons déterminer la raideur k du
ressort.
Remarque :
e de l’origine fixe O a
pour raideur :
k
0
e
Soit m’la masse correspondant à la portion de ressort de longueur (l0 – e) alors ; on écrit pour l’élément
e que la force est proportionnelle à l’allongement élémentaire
m' 
m0
0
 0
 e   m0 
m0 e
0
m0 e 

0
m g
 e    e   0 2
m0 
 gk
0 
e
k 0

 0
 e  e
:

0
0
e  

0
0
m0 g
 0  e e  m0 2g
2
k 0
k 0
 2  20 
m0 g
 0   
2
2k

Le ressort de masse m0 est équivalent à un ressort de masse négligeable auquel est accrochée la masse
m0
2
m0
m
2 due au ressort pesant, l’équation devient :
Donc à la masse du solide S on ajoute
m 

F    m  0  g   kx0
2 

De même, l’équation dynamique du mouvement est différente de l’équation 2 si la masse m0 du ressort
n’est pas négligeable devant m.
Déterminons l’équation du mouvement dans ce cas.
Ep
E
Pendant le mouvement du ressort, l’énergie totale E (énergie cinétique c + énergie potentielle
)
E
se conserve ( = constante).
On a : E = E (énergie cinétique de la masse m) + E r (énergie cinétique du ressort)
c
m
L’énergie cinétique de la masse m est :
Em
1
 dx 

m  
2
 dt 
2
Pour déterminer l’énergie cinétique du ressort, on décompose celui-ci en tranche d’épaisseur e.
2
1
 dx 
m0  
6
 dt 
Si la tranche e située à une distance e , en intégrant sur e de 0 à l on arrive à :
Er 
L’énergie potentielle Ep = Epe (énergie potentielle élastique) + Epp (énergie potentielle de pesanteur).
Le calcul de l’énergie potentielle de pesanteur se calcule à partir de la force F . On a
.

 E pp
 dE pp
m 

On a : F   grad E pp avec F   m  0  g 

2 
x
dx

m 

et
dE pp    m  0  g dx
d' où
2 

m0
g x  const .
2
L’énergie potentielle élastique (attraction du ressort) est exprimée par :
E pp   m g x 
1
1
k X2 
k x  x0 2
2
2
E Em  Er  E pe  E pp
L’énergie totale est
=
E pe 
2
E 
1 
m   dx 
m 
1

2
k  x  x0 
m  0     m  0  g x 
2 
3   dt 
2 
2

dE
 0 et après quelques étapes de calcul on arrive
dt
à l' équation du mouvement suivante :
Comme E  const . ,
m  d 2x

 k x  0
m  0 
3  dt 2

on
pose  2 
k
m
m  0
3
La période est :
T  2
m 
m0
3
k
On remarque que la période des oscillations contient un terme correctif qui fait intervenir la masse
du ressort.
En traçant la courbe m = f (T²) , on peut déterminer la masse m0 du ressort.
III- Couplage de deux pendules élastiques :
m0
III-1 Ressorts en série :
Les ressorts 1 et 2, de raideurs respectives k 1 et k 2 de masses négligeables, sont montés en série. On
suspend un solide S de masse m au ressort 2. Les deux ressorts s’allongent respectivement de x1 et x 2 .
Le système des deux ressorts est équivalent à un seul ressort de raideur k S auquel on a accroché la
même masse m et qui s’allonge d’une longueur x .
On a : x  x1  x2


on a

F1  F2
F1

F1   k1 x1
avec
 x1 
k1

F2

F2   k 2 x 2
 x1 
k2


FS
F
  kS x
x  x1  x 2 
or


 x



F1
F2
F

k1

F1  F2  F
et comme


on aura donc :
F
D' où
F
1
1


 
k
k
kS
2
 1
1
1
1


k1
k2
kS
Pour n ressorts en série :
n
1
1

kS
ki
i 1
III-2- Ressorts en parallèle :
kS
k2

kS
Les ressorts 1 et 2 sont maintenant en parallèle. On suspend une masse m à l’extrémité des ressorts. Ce
k
système se comporte comme un seul ressort de raideur équivalente p auquel on a accroché la même
masse m. On remarque que les deux ressorts ont le même allongement x .
On peut donc écrire :



F1  F 2  m g

k1 x  k 2 x  m g
D' autre part on a :


F mg

kP x  m g
Donc :
k P  k1  k 2
Pour n ressorts en parallèle :
n
Kp   ki
1
Manipulation
1- Précautions :
-
Ne pas dépasser la charge maximum admissible pour chaque ressort indiquée
sur la table.
Prendre soin des chronomètres.
Ne pas laisser les masses accrochées aux extrémités des ressorts après avoir fait
les mesures.
Provoquer des oscillations de faibles amplitudes.
-
2- Matériel:
-
Une potence
Deux ressorts (court et long), de raideurs k 1 et k 2 à spires non jointives
Une boîte de masses marquées à crochet
Une règle graduée en mm
Un chronomètre.
3- Manipulation :
3-1- Ressort court :
a) Procédé :
- Mesurer la longueur à vide  0 du ressort court
- Suspendre une masse m à l’extrémité inférieure du ressort. Attendre l’équilibre, mesurer la longueur 
correspondante. (On notera    0  x ).
Etirer le ressort en faisant descendre la masse verticalement, lire la valeur de l’allongement puis lâcher la
masse, sans vitesse initiale.
Déclencher le chronomètre lors du passage de la masse m par l’une des extrémités du mouvement.
Arrêter le chronomètre au bout de 10 oscillations.
-
Remplir le tableau suivant :
m ( kg )
x( m )
T (s)
T 2 (s2)
m1
b) Exploitation des résultats :
i)
Méthode statique :
m2
m3
m4
m5
1.
Tracer la courbe m  f ( x )
2.
A partir de la pente déduire la valeur de la constante de raideur k 1s .
On donne g  9.81 m / s 2
ii)
Méthode dynamique :
1.
Pourquoi mesure-t-on la durée de 10 oscillations plutôt que d’une seule ?
2
2. Tracer la courbe m  f ( T )
3. A partir de la pente déduire la valeur de la constante de raideur k1d .
4. Comparer k 1s et k1d . Laquelle des deux méthodes vous semble la plus précise ? Pourquoi ?
3-2- Ressort long :
En utilisant la méthode la plus précise, refaire le même travail pour le ressort long, c.à.d. dresser un
tableau, tracer la courbe correspondante et en déduire k 2 .
3-3-: Couplage de deux ressorts en série
-
En agissant comme précédemment, remplir le tableau suivant :
m ( kg )
m5
m2
m3
m4
m5
x ( m )
-
Tracer la courbe m  f ( x )
Déduire la valeur de la raideur équivalente k S
1 1
1
Comparer

et
k1 k2
kS
- Conclure.
4-: Couplage de deux ressorts en parallèle
-
En agissant comme précédemment, remplir le tableau suivant :
m ( kg )
m5
m2
x ( m )
-
Tracer la courbe m  f ( x )
Déduire la valeur de la raideur équivalente k p
-
Comparer k1  k2 et k p
-
Conclure.
m3
m4
m5