CORRECTION DU BREVET BLANC N° 1 Exercice 1 : ( 4 points ) a

CORRECTION DU BREVET BLANC N° 1
Exercice 1 : ( 4 points )
a) L'image de 2 par la fonction f est 0.
b) Les antécédents de 1 par la fonction f sont – 2 et 2,5.
c) f ( – 3 ) = 0
et
f ( 0 ) = – 1,5.
d) Déterminer les valeurs de x pour lesquelles f ( x ) = 0 revient à déterminer les antécédents de 0 par la
fonction f : ce sont les nombres – 3, – 1 et 2.
Exercice 2 : ( 4,5 points )
1) a) On choisit comme nombre de départ 3.
Le triple de 3 est 3 3 = 9
On ajoute 5 : 9 + 5 = 14
On prend le carré de cette somme : 142 = 196
b) On choisit comme nombre de départ – 7.
Le triple de – 7 est 3 (– 7) = – 21
On ajoute 5 : – 21 + 5 = – 16
On prend le carré de cette somme : (–16)2 = 256
c) La dernière étape de ce programme de calcul consiste à calculer le carré d'un nombre.
Or le carré d'un nombre relatif est toujours un nombre positif.
Donc on ne peut pas obtenir – 25, qui est un nombre négatif, comme résultat avec ce programme de calcul.
2) a) g : x  (3x 5)2
b) g (x) = (3x 5)2 = (3x)2 + 2 3x 5 + 52 = 9x² + 30x + 25
c) g (– 2) = (3 ( 2) 5)2 = ( 6 5)2 = ( 1)2 = 1
Donc – 2 est bien un antécédent de 1 par la fonction g.
Exercice 3 : ( 5 points )
1) a) 260 et 90 sont tous les deux divisibles par 2
Donc PGCD (260 ; 90) ≠ 1
Et donc 260 et 90 ne sont pas premiers entre eux.
b) Déterminons le PGCD de 260 et 90 en utilisant l’algorithme d’Euclide :
a
260
90
80
b
90
80
10
q
2
1
8
r
80
10
0
Le PGCD est le dernier reste non nul.
Donc PGCD (260 ; 90) = 10
2) a) Tina veut découper des carrés identiques sur une longueur de 260 cm en utilisant tout le tissu donc le coté
d’un carré doit être un diviseur de 260.
De même, elle veut découper des carrés identiques sur une largeur de 90 cm en utilisant tout le tissu donc
le coté d’un carré doit être un diviseur de 90.
Donc le coté d’un carré doit être un diviseur commun de 260 et 90.
De plus, les carrés doivent avoir le plus grand coté possible donc le coté d’un carré doit être le plus grand
diviseur commun de 260 et 90, c'est-à-dire le PGCD (260 ; 90).
Or d’après la question a) PGCD (260 ; 90) = 10.
Donc la longueur du coté de chaque carré doit mesurer 10 cm.
b) 260 = 26 : on peut découper 26 carrés sur la longueur du tissu
10
90 = 9 : on peut découper 9 carrés sur la largeur du tissu
10
26 9 = 234 : on peut donc découper au total 234 carrés sur tout le tissu
3) Pour obtenir le prix total des impressions des carrés, quelle que soit les quantités saisies, on doit saisir dans la
cellule D5 la formule = D2 + D3 ou la formule = SOMME(D2 : D3) ou encore la formule = B2*C2 + B3*C3
Exercice 4 : ( 3,5 points )
1) 2 + 6 +17 + 17 + 18 + 13 + 6 + 2 + 2 = 83
L’effectif total de cette série est de 83 salles.
2) 2 5,30 6 5,70 17 5,9 17 6,10 18 6,50 13 6,90 6 7,10 2 7,50 2 7,90 = 528,90
83
83
D'après cette enquête, le prix moyen d'un billet de cinéma « Etudiant » est d’environ 6,37 €.
6,37
3) Les données de la série ( les prix ) sont déjà rangées dans l’ordre croissant.
De plus l’effectif total, 83, est un nombre impair.
On peut donc constituer deux groupes de même effectif comprenant chacun 41 données : le 1er groupe allant
de la 1ère donnée jusqu’à la 41ème donnée incluse et le 2ème groupe allant de la 43ème donnée incluse jusqu’à
la 83ème donnée.
La médiane de cette série est donc la donnée centrale : ici c’est la 42ème donnée, c'est-à-dire 6,10 €.
Dire que la médiane de cette série est de 6,10 € signifie que la moitié des salles de cinéma propose un tarif
« Etudiant » inférieur ou égal à 6,10 € et que l’autre moitié des salles propose ce même tarif à un prix supérieur
ou égal à 6,10 €.
Exercice 5: ( 5,5 points )
1) Pour grillager le contour de son terrain, Pierre a besoin de connaître le périmètre du polygone ABCDJE.
(ABCDJE) = AB + BC + CD + DJ + JE + EA
Ici les longueurs manquantes pour calculer ce périmètre sont DJ et EJ.
Déterminons les longueurs DJ et EJ :
On sait que les droites (EC) et (BJ) sont sécantes en D
et que les droites (EJ) et (BC) sont parallèles.
Donc d’après le théorème de Thalès on a : DE = DJ = EJ
DC
DB
BC
20 = DJ = EJ
30
40
50
Calcul de DJ :
on sait que 20 = DJ
donc DJ = 20 40 80
26,7 m
30
40
30
3
Calcul de EJ :
on sait que 20 = EJ
donc EJ = 20 50 100
33,3 m
30
50
30
3
Conclusion :
(ABCDJE) = AB + BC + CD + DJ + JE + EA
20 + 50 + 30 + 26,7 + 33,3 + 40 200 m
Or Pierre dispose de 210 m de grillage, donc ses achats seront suffisants pour grillager le
contour de son terrain.
2) Calculons l’aire
rectangle BCD :
du terrain hachuré ABCDE qui est constitué du rectangle ABDE et du triangle
(ABDE) = AB AE = 20 40 = 800 m²
Donc
(BCD) = DB DC = 40 30 = 600 m²
2
2
et
= (ABDE) + (BCD) = 800 + 600 = 1 400 m²
De plus, 1 kg de gazon peut recouvrir 35 m² de terrain donc un sac de 15 kg de gazon peut recouvrir
au total 15 35 = 525 m² de terrain.
Or, il y a 1 400 m² de terrain à recouvrir au total donc 1 400 525
2,7 arrondi au dixième près
Conclusion : Pierre devra donc acheter 3 sacs de gazon pour recouvrir de gazon tout le terrain hachuré.
Exercice 6: ( 4,5 points )
Figure 1 : En utilisant la propriété : « Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une
est perpendiculaire à l’autre »,
on justifie que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Et donc le triangle ABC est rectangle en A.
Figure 2 : DEBC est un losange.
Or « Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires ».
Donc les diagonales [EC] et [BD] sont perpendiculaires.
Et donc le triangle ABC est rectangle en A.
Figure 3 : [BC] est le côté le plus long du triangle ABC.
Calculons d’une part BC² = 7,52 = 56,25
Calculons d’autre part AB² + AC² = 4,52 + 5,52 = 20,25 + 30,25 = 50,5
On constate que BC² ≠ AB² + AC²
Donc l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, et donc le triangle ABC n’est pas rectangle.
Exercice 7 : ( 3,5 points )
1) Calcul du volume 1 du cône de diamètre 7,5 cm, et donc de rayon 7,5 2 = 3,75 cm, et de hauteur 12 cm :
1
1
2
2
176,715 cm 3
1=
3  r h = 3  3,75 12
Calcul du volume 2 du cône de diamètre 5 cm, et donc de rayon 5 2 = 2,5 cm, et de hauteur 12 – 4 = 8 cm :
1
1
3
2
2
2=
3  r h = 3  2,5 8 52,36 cm
Calcul du volume
d’une cavité :
=
1
–
2
176,715 – 52,36
Le volume d’une cavité est donc bien environ égal à 125 cm 3 .
124,355 cm 3
2) Léa veut remplir chaque cavité du moule aux 3 , donc la pâte va occuper 3 125 = 93,75 cm 3 du volume de
4
4
chaque cavité.
Or il y a au total 9 cavités dans le moule, donc le volume total nécessaire occupé par la pâte va être égal à :
9 93,75 = 843,75 cm3.
Léa disposant au total de 1 L = 1 dm3 = 1 000 cm3 de pâte elle aura donc suffisamment de quantité pour remplir
les 9 cavités du moule aux 3 .
4
Exercice 8 : ( 5,5 points )
Calcul de la longueur AE : AE = AB – EB = 288 – 48 = 240 m
Calcul de la longueur EF :
On sait que dans le triangle ABC, E appartient à [AB], F appartient à [BC] et les droites (EF) et (AC)
sont parallèles.
BE
BF
EF
Donc d’après le théorème de Thalès on a :
=
=
BA
BC
AC
48 = BF = EF
288
BC
312
On sait que 48 = EF
donc EF = 48 312 = 52 m
288
312
288

Calcul de la longueur GH : GH est un quart de cercle du cercle de rayon 48 m, sa longueur est donc égale à :
GH = 1 2  r = 1 2  48 75,4 m
4
4
Calcul de la longueur IH : IH = DC – HC – DI = 288 – 48 – 29 = 211 m
Calcul de la longueur IJ :
On sait que le triangle IDJ est rectangle en D, son hypoténuse est [IJ].
Donc d’après le théorème de Pythagore on a :
IJ² = ID² + DJ²
IJ² = 29² + 72²
IJ² = 841 + 5 184
IJ² = 6 025
Donc
IJ = 6025 77,6 m
Calcul de la longueur AD :
On sait que le triangle ADC est rectangle en D, son hypoténuse est [AC].
Donc d’après le théorème de Pythagore on a :
AC² = DC² + AD²
312² = 288² + AD²
97 344 = 82 944 + AD²
Donc
AD² = 97 344 – 82 944
AD² = 14 400
Et donc AD = 14400 = 120 m
Calcul de la longueur AJ : AJ = AD – JD = 120 – 72 = 48 m
Calcul de la longueur totale de la piste :
AE + EF + FG + GH + HI + IJ + JA
240 + 52 + 52 + 75,4 + 211 + 77,6 + 48
La piste cyclable a donc une longueur totale environ égale à 756 m.
756