Toulouse – Devoir Commun aux classes de 1S – 26 Mai 2016. 3 h
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Lycée Saint Sernin – Toulouse – Devoir Commun aux classes de 1S – 26 Mai 2016. 3 h Le barème proposé est provisoire ! Exercice 1 a- (4 points) (NB : les 5 exercices numérotés a, b, c, d, et e qui suivent sont indépendants et directement inspirés de « Savoir-faire » de votre livre) Résoudre dans l’inéquation : -5x² + 2x < 3. 2 3x² 5 1En utilisant l'inverse d'une fonction, donner le sens de variation de f sur son ensemble de définition. 2Calculer la dérivée de f en exprimant clairement la ou les formules que vous avez utilisées. Retrouver ensuite ses varaitions sur b- On considère la fonction f définie par f(x) = cOn donne un pointA du plan et un vecteur u . Déterminer une équation de la droite d passant par A(1; 3) et de vecteur directeur u (-2 ; 5) d- Soit h la fonction définie sur par h(x)=x3-3x+2. 1. Construire le tableau de variations de h sur et en déduire le signe de h sur [-1 ; +[ 2. Calculer h(-2) et en déduire le signe de h sur ]- ; -1]. 3. En déduire que, pour tout x de [-2; +[, x3 3x – 2 e- Résoudre dans ]-2π; π] l'équation cos x = Exercice 2 2 et représenter ses solutions sur le cercle trigonométrique. 2 (3 points) Soit A et B deux points tels que AB = 4 et K le milieu du segment [AB]. 1Démontrer que pour tout point M du plan, on a : MA² + MB² = 2 (KM² + 4) 2En déduire que l'ensemble des points M du plan tels que : MA² + MB² = 40 est un cercle C de centre K et dont vous préciserez le rayon. On se place désormais dans un repère orthonormé (O ; I ; J). On donne A (- 2 ; 2) et B (2 ; 2). 3Montrer que l’équation (4+x)(4-x) - (2-y)² = 0 est celle du cercle C (on cherchera le centre et le rayon.) 4Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d'intersection de C avec l'axe des abscisses. 5Déterminer une équation de la tangente au cercle C en D( 2 3 ;0) Exercice 3 (2 points) Exercice 4 (1,5 points) A, B, C et D sont 4 points distincts. Dans chaque cas, calculer AB. AC NB : 2/3 de la note est attribuée à l’argumentation de votre réponse numérique. 1) ABCD est un rectangle avec DC = 3. 2) A appartient au segment [BC] avec AB = 1 et AC = 4. vaut 60°, AB = 3 et AC = 2. 3) L'angle BAC 4) ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AC = 6 et AD = 3. 5) Dans un repère orthonormé, A(2 ; -3), B(4 ; 2) et C (-4 ; 1). ABCD est un carré de côté 1. On note E et F les points caractérisés par les égalités vctorielles : 3 1 AE AB et AF AB . 2 3 En utilisant un produit scalaire, montrer que les droites (FC) et (DE) sont orthogonales. (NB : vous expliciterez clairement la méthode utilisée.) Exercice5 (5 points) Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite u où un désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année (2010 + n). En 2010, la forêt possèdait 50 milliers d’arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres. 1Montrer que la situation peut être modélisée par : pour tout entier naturel n, un+1 = 0,95 un + 3 et u0 = 50. 2On considère la suite v définie pour tout entier naturel n par vn =60 - un. aMontrer que la suite v est une suite géométrique de raison 0,95. bCalculer v0. Déterminer l'expression de vn en fonction de n. Variables : A et U sont des réels. Démontrer que, pour tout entier naturel n, N est un entier naturel un = 60 -10 (0,95)n. Initialisation : 3Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On Affecter à U la valeur 50. donnera une valeur approchée arrondie à l'unité. Affecter à A la valeur U + 0,1 U 4aPour tout entier naturel n, factoriser Affecter à N la valeur 0 la différence un+1 - un. Traitement : bEn déduire les variations de la suite u. Tant Que U < A faire : 5Conjecturer la limite de la suite u. Donner une Affecter à N la valeur N+1 interprétation du résultat pour cette forêt ainsi gérée. Affecter à U la valeur U – 0,05U + 3 6L’algorithme ci-contre parle de notre forêt. Quelle Fin Tant Que. information sa “sortie” donne t-elle aux forestiers ? Sortie : Afficher N Exercice 6 (4,5 points) Un QCM (questionnaire à choix multiples) est composé de cinq questions numérotées de 1 à 5. Pour chacune d'elles, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Partie A Le candidat répond à ce QCM en cochant, au hasard et de façon indépendante à chacune des 5 questions. On décide de donner au candidat un point par réponse exacte. Soit X la variable aléatoire associant aux réponses du candidat la note ainsi obtenue sur 5. 1Justifier que X suit une loi binomiale et en préciser les paramètres. 2Quelle est la probabilité, qu'un candidat obtienne la note maximale ? 3On remplit un très grand nombre de QCM dans ces conditions. Chacun reçoit donc une note. De quelle valeur s’approchera la moyenne de toutes les notes ainsi obtenues ? 4Etablir la loi de probabilité de la variable aléatoire X, en complétant un tableau donnant pour chaque note possible sa probabilité. NB : On donnera les valeurs arrondies au millième des 6 probabilités demandées, puis la valeur exacte de P(X = 3) en détaillant les calculs, sans forcément aller jusqu’au bout. 5. Quelle est la probabilité, qu'un candidat obtienne au moins deux points ? Partie B Pour pénaliser les candidats qui ne comptent que sur le hasard, on décide de toujours accorder 1 point par réponse exacte, mais cette fois d'enlever 0,2 points par réponse inexacte. Soit Y la nouvelle variable aléatoire associant aux réponses du candidat, la note obtenue sur 5. 1. Donner les 6 valeurs que peut prendre la variable aléatoire Y 2. La variable aléatoire Y suit-elle une loi binomiale et pourquoi ? 3. Prouver qu'avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire Y s'exprime en fonction de l’ancienne X, par : Y = l,2X – l. 4. Quel calcul montre que l’objectif fixé est atteint?