INTERETS COMPOSES COURS

INTERETS COMPOSES
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I.
SITUATION :
Mme Thomas place un capital de 5 000 € à la banque au taux annuel de 4 %.
A la fin de la première année, l’intérêt est de I
5000
La valeur acquise C1 à la fin de la première année est C
200 €
5000 200
Le coefficient multiplicateur qui permet de passer de C à C1 est 1,04.
5200 €
La deuxième année de placement, les intérêts produits sont calculés sur le capital C1.
A la fin de la deuxième année, l’intérêt est de I
5200
208 €
5200 208 5408 €
La valeur acquise C2 à la fin de la deuxième année est C
Le coefficient multiplicateur qui permet de passer de C1 à C2 est 1,04.
On observe que la suite C, C1, C2 est une suite géométrique géométrique de raison 1,04.
La valeur acquise à la fin de la troisième année sera donc C
1,04 C
5624,32 €
II.
INTERETS COMPOSES ET VALEUR ACQUISE :
a)
Définition :
Un capital est placé à intérêts composés lorsque le montant des intérêts produits à la fin de chaque période de placement s’ajoute
au capital placé pour devenir productif d’intérêts la période suivante.
La valeur acquise A par le capital C au bout de n périodes de placement est égal à :
A
C. 1
t
avec
t ! taux d% intérêt sur une période
C ! capital initial placé
2
A ! valeur acqusise
n ! nombre de périodes
Le montant des intérêts est la différence entre la valeur acquise et le capital placé.
III.
EXEMPLES DE CALCULS :
a)
Calculer la valeur acquise :
Un capital de 5 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 % pendant 5 ans.
ème
La valeur acquise au terme de la 5 année est donnée par :
A 5 000 €
A C. 1 t avec 3 n 5 ans 2 ; soit A 5000
1 0,04 6 6 083,26 €
% an
t 4% l
Le montant des intérêts est : I = 6 083,26 – 5 000 = 1 083,26 €.
b)
Calculer le montant d’un capital placé :
Un capital est placé pendant 4 ans au taux annuel de 6 %. La valeur acquise est de 40 000 €.
On cherche la valeur du capital placé :
A 40 000 €
A C. 1 t avec 3 n 4 ans 2
t 6% l% an
Donc C A. 1 t 8
40 000. 1 0,06 8
31 683,75 €
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c)
Calculer un taux de placement :
Un capital de 20 000 € placé en capitalisation trimestrielle pendant 5 trimestres a une valeur acquise de 21 465,68 € au terme du
placement.
On cherche le taux trimestriel de placement :
A 21 465,68 €
A C. 1 t avec 3 C 20 000 € 2
n 5 trimestres
A
A /
A /
21465,68 /6
soit 1 t : ;
; donc t : ; = 1 :
; = 1 > 0,06
Donc 1 t
C
C
C
20000
Soit un taux trimestriel de 6 %
d)
Calculer une durée de placement :
Un capital de 15 000 €, placé au taux annuel de 5 %, a une valeur acquise de 17 364,37 € au terme du placement.
On cherche la durée de placement :
A C. 1 t
15 000
1 0,05
17 363,37 €
17 363,37
ln
17 363,37
17 363,37
15 000
1,05
⇔ n ln1,05 ln
⇔n
3 ans
15 000
15 000
ln1,05
IV.
TAUX EQUIVALENT :
On considère deux banques A et B qui offrent pour un placement deux taux différents : une banque A vous offre un taux annuel
de 6 % ; une banque B vous offre un taux périodique de 1,5 % par trimestre. Comment faire pour déterminer quelle banque offre
le meilleur rendement?
Pour comparer deux taux d'intérêt, il faut pouvoir les évaluer sur une même période.
Par exemple, nous pouvons trouver le taux annuel qui est équivalent à un taux trimestriel de 1,5 % et
Vérifier s’il est plus élevé que 6 %.
Deux taux sont dits équivalents si, pour un placement initial identique sur un même intervalle de temps (une année complète,
par exemple), les valeurs acquises par le placement initial calculées aux deux taux sont égales.
a)
Calculer un taux annuel équivalent à un taux mensuel donné :
Cherchons le taux annuel équivalent tannuel à un taux mensuel de tmensuel = 0,6 %. Dans ce cas, la valeur acquise par un capital
pendant une période de n = 1 an au taux tannuel doit être la même que la valeur acquise par ce capital pendant une période m =
12 mois au taux mensuel tmensuel = 0,6 %.
A C. 1 t ? @AB
C. 1 t CA D@AB
1 0.006
1 t ? @AB
t ? @AB 1,006 = 1 1,0744
Le taux annuel équivalent est donc de 7,44 %.
b)
Calculer un taux mensuel équivalent à un taux annuel donné :
Cherchons le taux mensuel de tmensuel équivalent à un taux annuel tannuel = 1,4 %. Dans ce cas, la valeur acquise par un capital
pendant une période de m = 12 mois au taux mensuel tmensuel doit être la même que la valeur acquise par ce capital pendant une
période n = 1 an au taux tannuel= 1,4 %.
A
1
1
1
t CA
C. 1 t ? @AB
C. 1 t CA D@AB
0,014
1 t CA D@AB
t CA D@AB
1,014
t CA D@AB 1,014 /
1,014 / = 1 0,0012
D@AB
Le taux mensuel équivalent est donc de 0,12 %.
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c)
Calculer un taux trimestriel équivalent à un taux annuel donné :
Cherchons le taux trimestriel de ttrim équivalent à un taux annuel tannuel = 6 %. Dans ce cas, la valeur acquise par un capital
pendant une période de 4 trimestres au taux trimestriel ttrim doit être la même que la valeur acquise par ce capital pendant une
période n = 1 an au taux tannuel= 6 %.
A C. 1 t ? @AB
C. 1 t EFGC
1 0,06
1 t EFGC
1 t EFGC
1,06
1 t EFGC 1,06 /
t EFGC 1,06 / = 1 0,0147
Le taux trimestriel équivalent est donc de 1,47 %.
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