b g b g.

HACHEUR 32
On considère un hacheur à stockage inductif dont le schéma est le suivant :
De t = 0 à t = αT, l’interrupteur commandé est fermé et la diode bloquée. De t = αT à t = T,
l’interrupteur commandé est ouvert et la diode passante.
On suppose que l’intensité dans la bobine ne s’annule jamais et l’on néglige les ondulations
de la tension vS devant sa valeur moyenne que l’on notera VS.
iD
iE
iL
E
1) En étudiant la valeur moyenne de la tension vL, établir la relation entre VS et E. Conclure.
vL L
2) Exprimer l’ondulation du courant dans la bobine en fonction de α, L, E et la fréquence
de hachage f.
C
iC
R
vS
iS
3) Tracer les chronogrammes des fonctions iE(t), iL(t) et iD(t). Quelle est la relation entre les valeurs moyennes sur une période des
intensités iL(t) et iD(t) ? En déduire l’expression de IL en fonction de α, VS et R.
4) On prend maintenant en compte la résistance de la bobine en la modélisant par l’association série d’une bobine parfaite d’inductance
propre L et d’un résistor de résistance r.
a) Montrer que, compte tenu de l’ordre de grandeur prévisible de r, les chronogrammes tracés à la question 3 ne sont pas
modifiés. En déduire la relation entre les valeurs moyennes sur une période des intensités iL(t) et iE(t) ainsi qu’entre les valeurs moyennes sur une
période des intensités iL(t) et iD(t) .
b) Exprimer rIL en fonction de α, E et VS et en déduire l’expression de VS en fonction de R, r, α et E. Conclure.
c) Exprimer le rendement η de la conversion.
Corrigé
1) La tension aux bornes de la bobine est vL = E pendant la première phase puis vL = –VS
1
pendant la deuxième. Sa valeur moyenne est donc VL =
EαT + ( −VS )(T − αT ) = Eα - VS(1 - α).
T
di (t )
di (t )
Mais, en valeurs instantanées, vL (t ) = L L
donc VL = L < L > . Comme iL(t) est
dt
dt
α
diL (t )
E.
périodique, <
>= 0. On en déduit la relation VS =
1− α
dt
α
varie de 0 à l’infini pour α ∈ [0, 1[ donc, suivant les valeurs de α,
La fonction f (α) =
1− α
on aura VS < E ou VS > E. Ce type hacheur est parfois appelé survolteur-dévolteur.
iE T
2) 0 < t < αT : Le circuit se redessine suivant le schéma :
iL
diL (t )
E
On a E = L
. E est positif, donc iL(t) est croissant à partir de la valeur
L
dt
E
nécessairement minimale IMIN et l’on peut écrire : iL (t ) = t + I MIN .
L
E
À t = αT-, on a donc : iL (αT − ) = αT + I MIN
L
D
αT < t < T : Le circuit se redessine ainsi :
iL
di (t )
−V
L
VS
On a −VS = L L
qui s’intègre en iL (t ) = S t − αT + I MAX
dt
L
car iL est nécessairement décroissante donc on peut noter IMAX = iL(t = αT+).
La fonction iL(t) représente l’intensité du courant dans une branche contenant une bobine
donc c’est une fonction continue quel que soit t. On peut écrire iL(αT+) = iL(αT–) soit
αE
E
E
I MAX = αT + I MIN . On en déduit l’ondulation du courant ∆I = I MAX − I MIN = αT soit ∆I =
.
Lf
L
L
3) Les chronogrammes des courants sont les suivants :
iE(t)
La valeur moyenne sur une période de iL(t) est
IM
T
1 T
<iL >=
iL (t )dt . Or , A = iL (t )dt est l’aire sous la courbe
Im
0
T 0
t
1
1
αT
T
i
(t)
L
iL(t), on trouve donc: < iL >=
I MIN T + I MAX − I MIN T
IM
T
2
1
Im
< iL >= I MAX + I MIN .
t
2
αT
T
i (t)
b
z
z
b
LM
N
g
g OPQ
b
g
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D
IM
Im
t
αT
De
=
même,
b
on
obtient
< iD >=
LM
N
b
1
1
I MIN (T − αT ) + I MAX − I MIN (T − αT )
2
T
g
g
1
I MAX + I MIN (1 − α ) . On peut donc écrire ID = (1 – α)IL.
2
Par ailleurs, la loi des nœuds permet d’écrire iD = iS + iC avec iS (t ) =
vS (t )
R
OP
Q
et
dvS (t )
dv (t )
donc, en valeurs moyenne <ID> = <IS> car < S >= 0 puisque vS(t) est
dt
dt
VS
< vS (t ) > VS
VS
périodique. Comme on a I S =
= , il reste I D =
d’où , si α ≠ 1, I L =
.
(1 − α ) R
R
R
R
4-a) Le schéma du circuit est maintenant :
di (t )
iD
La loi des mailles s’écrit E = L L + riL (t ) pendant la première
i
L
iE
dt
t
v
L
L
−
L
E
phase. La solution est iL (t ) = + ae τ avec τ = . Comme la résistance r est E
r
r
r
t
très faible, on peut supposer τ >> T donc << 1 quel que soit t et l’on peut
τ
E
t
faire le développement limité iL (t ) = + a 1 − . Comme on note iL(0+) = IMIN puisque l’on est
r
τ
dans une phase de croissance de iL(t) [la présence de r ne change rien à l’analyse de la question 2],
E
E
E
E
t
t
E
il vient I MIN = + a soit iL (t ) = + I MIN −
1−
= I MIN − I MIN −
. Comme I MIN <<
τ
τ
r
r
r
r
r
t E
E
puisque r est petit, on a pratiquement iL (t ) = I MIN +
soit iL (t ) = t + I MIN . On peut conclure
τ r
L
que la présence de la résistance r ne change pas l’allure des fonctions iL(t), iE(t) et iD(t). En utilisant
les
chronogrammes
tracés
à
la
question
3,
on
obtient
1
1
1
< iE >=
I MIN αT + I MAX − I MIN αT = I MAX + I MIN α d’où IE = αIL .
T
2
2
VS
Le même calcul qu’en 3 conduit à I L =
.
(1 − α ) R
di (t )
b) La loi des mailles pendant la première phase E = L L + riL (t ) permet d’écrire
dt
αT
αT
αT
diL (t )
Edt =
L
dt + riL (t )dt .
0
0
0
dt
di (t )
−VS = L L + riL (t )
donc
Pendant
la
deuxième
phase,
on
a
dt
T
T
T
di (t )
( −VS )dt =
L L dt + riL (t )dt .
αT
αT
αT
dt
αT
T
T
T
di (t )
La somme des deux équations conduit à Edt + ( −VS )dt = L L dt + riL (t )dt soit
0
αT
0
0
dt
diL (t )
EαT – VS(T – αT) = LT <
> + rT<iL>. Comme iL(t) est une
dt
VS
diL (t )
E
fonction périodique, <
>= 0 et il reste Eα – VS(1 –
dt
α) = rIL. Avec l’expression de IL obtenue à la question
iC (t ) = C
FG
H
LM
N
z
g OPQ b
b
z z
FG IJ
H K
IJ FG IJ
KH K
FG
H
vS
IJ
K
g
z
z
z
z z
z
z
ρ=∞
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ρ=1
ρ = 10
ρ = 100
α
précédente,
on
obtient
rVS
= Eα − VS (1 − α )
(1 − α ) R
d’où
FG r + (1 − α)IJV
H (1 − α) R
K
S
= Eα
soit
R
r
VS =
E.
2 R
1 + (1 − α)
r
(1 − α )α
FG
H
IJ
K
VS
R
= f (α) pour différentes valeurs du paramètres ρ = . Le cas
E
r
idéal étudié à la question 1 correspond à ρ = ∞.
On constate pour ρ ≠ ∞ un comportement très différent du cas idéal. Quand α tend vers 1, la
tension VS tend vers 0 au lieu de tendre vers l’infini et le hacheur n’est jamais survolteur.
c) La puissance instantanée fournie par la source est PE(t) = E.iE(t) soit en valeur
moyenne PE = E.IE. La puissance instantanée reçue par la charge est P’(t) = VS.iD(t) soit en valeur
moyenne
P’ = VS.ID.
Le
rendement
est
donc
(1 − α)α
1− α
P ' VS I D
=
d’après les expressions
η=
=
η
PE EI E
α
2 R
1 + (1 − α)
r
(1 − α ) 2
précédentes soit η =
.
2 R
1 + (1 − α)
r
On peut tracer la courbe
FG
H
IJ
K
FG
H
IJ
K
On trouve un rendement . inférieur à 1 pour α = 0 et tendant
vers 0 quand α tend vers 1. Le convertisseur est loin d’être parfait.
La courbe correspondant à ρ = 1 est tracée ci-contre.
T
page 3/3
α