Farid ASMA, "Identification de l`amortissement de matériaux

XIème Journées Maghrébines des Sciences des Matériaux
4 au 8 novembre 2008, Mahdia, Tunisie
IDENTIFICATION DE L’AMORTISSEMENT DE MATERIAUX COMPOSITES
Farid ASMA
Département de Génie Mécanique, Université Mouloud Mammeri BP 17 RP 15000, Tizi-Ouzou, Algérie
[email protected]
L’identification expérimentale ou analytique de l’amortissement des matériaux est un domaine très actif
dans la recherche en dynamique de structures. La réduction des vibrations ou bruits par dissipation d’énergie ou
amortissement est l’une des raisons majeures de l’étude des vibrations en génie civil, mécanique et en
aérospatial. La connaissance des paramètres et formes de l’amortissement est moins développée et plus
complexe comparée aux autres paramètres dynamiques. La nature anisotrope des matériaux composites rend le
processus d’identification encore plus complexe.
Une méthode d’identification de l’amortissement dans les structures a été proposée, celle-ci est basée
sur une modélisation par éléments finis exploitant des mesures de réponses fréquentielles. Des résultats d’essais
vibratoires sont considérés afin de valider la méthode proposée. Différentes géométries de renforts ont été
étudiées: composite verre époxy à fibres à orientation unidirectionnelle à 0° ou 90° et un composite SMC-R26
verre polyester. Une méthode analytique a été aussi exploitée pour confronter les résultats.
Mots clés : identification, amortissement, matériaux composites
1 Introduction
Une bonne connaissance de l’amortissement des structures mécaniques est essentielle dans la
conception des structures pour le contrôle du bruit et des vibrations. L’identification expérimentale et analytique
de l’amortissement n’est pas facile, même avec les matériaux structuraux conventionnels, et la nature anisotrope
des matériaux composites la rend bien plus difficile encore. Les approches expérimentales s’étendent des
méthodes de bancs d’essais de laboratoire aux techniques d’inspection sur le terrain, tandis que les techniques
analytiques changent des méthodes simples de mécanique des matériaux aux approches tridimensionnelles
sophistiquées des éléments finis.
L’amortissement dans les composites implique une variété de mécanismes de dissipation d’énergie qui
dépendent des paramètres vibratoires tels que la fréquence et l’amplitude, ainsi que la température et l’humidité.
Dans les polymères renforcés de fibres, les mécanismes d’amortissement les plus remarquables sont [1] :
1. Le comportement viscoélastique des matériaux à matrice et/ou à fibre,
2. L’amortissement thermoélastique dû à l’écoulement cyclique de la chaleur des régions d’efforts de
compression aux régions d’efforts de traction,
3. L’amortissement de dislocation,
4. Les frottements solides dus au glissement dans les régions non collées de l’interface fibre/matrice,
5. Une dissipation due aux fissures ou décollements.
Dans notre présente étude nous considérons l’amortissement viscoélastique, qui est le mécanisme
dominant dans les composites à matrice polymère non endommagée vibrant à de petites amplitudes.
L’amortissement thermoélastique est important dans les composites à matrice métallique, mais pas dans les
composites à matrice organique.
Le comportement viscoélastique des composites à matrice polymère provoque une dissipation d’énergie
et une dépendance fréquentielle de la rigidité et de l’amortissement. Le comportement viscoélastique est
considéré linéaire quand la rigidité et l’amortissement sont indépendants de l’amplitude des vibrations. Ceci est
le cas avec les composites polymères non endommagés vibrant à de petites amplitudes. Gibson recommande que
l’amplitude maximale des vibrations ne dépasse pas l’épaisseur de l’éprouvette afin que l’amortissement dû à
l’air ne vient pas bruiter l’amortissement réel du matériau [2, 3].
La relation contrainte – déformation la plus générale pour un matériau anisotrope viscoélastique
linéaire peut être représentée par la formulation de l’intégrale héréditaire du principe de superposition de
Boltzmann. En utilisant une notation indicée la formulation intégrale héréditaire se réduit à :
σ p (t ) = E *pq (ω ) ε q (t )
(1)
où p, q = 1, 2, … 6. σp(t) est le vecteur de contrainte εq(t) est le vecteur de déformation, ω la fréquence, t est la
variable temps et E *pq (ω ) est matrice d’élasticité traduisant les modules complexes.
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Un des résultats de ce développement est que le domaine des fréquences du module complexe est en
relation avec le domaine des temps du module de relaxation au moyen d’une transformation de Fourier. Le
module complexe peut alors être explicité comme suit
′ (ω ) = E ′pq (ω ) 1 + iη pq (ω )
E *pq (ω ) = E ′pq (ω ) + i E ′pq
(2)
[
]
′ (ω ) le module de perte, η pq (ω ) = tan δ pq (ω ) = E ′pq
′ (ω ) E ′pq (ω ) le facteur
où E ′pq (ω ) est module de stockage, E ′pq
de perte, et δ pq (ω ) = angle de déphasage entre σp(t) et εq(t)
Ici le facteur de perte est employé pour caractériser l’amortissement. Le module de stockage et le
facteur de perte sont mesurés expérimentalement pendant l’essai mécanique dynamique, tandis que le module de
perte est une propriété dérivée. Bien que la dépendance de fréquence du module complexe soit assurée par le
développement mathématique, les modules complexes des matériaux polymères sont également connus pour
dépendre des conditions environnementales telles que la température et l’humidité.
2- Méthode proposée
L’équation générale de la structure avec un amortissement viscoélastique en vibrations forcées s’écrit :
M&x&* + K * (ω ) x * = F (t )
(3)
où M est la matrice de masse, K * (ω ) = K ′(ω ) + iK ′′(ω ) est la matrice de raideur complexe. K ′(ω ) est obtenu en
utilisant le module de stockage E ′(ω ) , alors que K ′′(ω ) est obtenu en utilisant et le module de perte
E ′′(ω ) = η (ω ) E ′(ω ) , x* , &x&* sont les vecteurs complexes de déplacement et d’accélération, et en fin F ( t )
représente les forces d’excitation.
L’équation (3) devient alors
M&x&* + (K ′(ω ) + iK ′′(ω ) )x * = F (t )
avec
(4)
N
N
N
i =1
i =1
i =1
M = ∑ M i( e ) , K ′ = ∑ K i′( e ) et K ′′ = ∑ K i′′( e )
(5)
Ne connaissant pas la variation des éléments de E* en fonction du temps, la réponse du mouvement forcé de
l’équation précédente ne peut être déterminée dans le domaine temporaire. Pour cela, on choisit le domaine
fréquentiel.
Pour une excitation harmonique de fréquence ω, la solution particulière de l’équation (4) est
(− Mω
2
)
+ K ′ + iK ′′ x = f
(6)
à partir de laquelle nous pouvons déduire l’expression du vecteur déplacement
(
x(ω ) = − Mω 2 + iK ′′ + K ′
)
−1
f , avec ω∈{ω1 ω2 .., ωS }
(7)
En introduisant la paramétrisation de la structure, les matrices globales de raideur et d’amortissement (5)
peuvent être exprimées sous la forme [4]
N
N
i =1
i =1
K ′(s ) = ∑ ai K i′( e ) , et K ′′(s ) = ∑ bi K i′′( e )
(8)
K ′(e ) et K ′′(e ) étant les matrices élémentaires de raideur et d’amortissement, et ai et bi les paramètres de
recalage. Le cas où ai = bi = 1 implique que le ième élément est bien modélisé et ne comporte pas d’erreurs ou
de défauts. Le problème consiste alors à quantifier les paramètres ai et bi pour localiser et quantifier les écarts
entre le modèle analytique et le modèle expérimental de la structure. Pour ce faire on utilise un ensemble de
fonctions de réponse fréquentielles FRFs.
Soit x (s) (ωt) un ensemble de s mesures incomplètes de fonctions de réponse fréquentielle. En pratique, les
FRFs ne sont pas complètement mesurées. Ce problème de données incomplètes peut être résolu par l’extension
des données expérimentales ou la réduction du modèle analytique. Dans la méthode ici présentée, les degrés de
liberté non mesurés sont approximés par leurs équivalents analytiques.
2.1. Fonction coût et problème de minimisation
L’objectif des méthodes à fonction coût est de faire une corrélation entre les données mesurées et celles du
modèle analytique. L’utilisation des fonctions de réponse fréquentielle FRF au lieu des modes propres est plus
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efficace puisque les FRF expérimentales sont directement obtenues expérimentalement alors que les modes
nécessitent des calculs se basant sur ces mesures. Ce passage des FRF aux modes fait intervenir donc des erreurs
de calcul supplémentaires.
Pour le choix de la fonction coût considérons les différentes fonctions de corrélation utilisées dans le
domaine fréquentiel. Elles se résument par ce qui suit :
Le critère d’assurance du domaine fréquentiel (Frequency Domain Assurance Criterion FDAC) est donné par
[5]
2
FDAC (ω A , ω X )k
⎛ N
⎞
⎜ ∑ H Ajk (ω A )H *Xjk (ω X )⎟
⎜ j =1
⎟
⎝
⎠
=
N
⎛ N
⎞
⎛
⎞
⎜ ∑ H Ajk (ω A )H *Ajk (ω A )⎟⎜ ∑ H Xjk (ω X )H *Xjk (ω X )⎟
⎜ j =1
⎟⎜ j =1
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
(9)
où HA(ωA) est la FRF analytique à la fréquence analytique ωA, et HX(ωX) est la FRF mesurée à la fréquence
expérimentale ωX. k est le ddl d’excitation.
Le facteur d’échelle des réponses fréquentielles (Frequency Response Scale Factor FRSF) est donné par [6]
FRSF (ω A , ω X ) =
H AT (ω A )[S ]H X (ω X )
H AT (ω A )[S ]H A (ω A )
(10)
où [S] est une matrice de pondération.
Le FRSF donne des valeurs entre -1 et 1. Le FDAC donne une comparaison quantitative des FRFs, par contre
le FRSF donne une comparaison qualitative. Par conséquent le FRSF n’est pas suffisant pour évaluer le degré de
corrélation.
Le critère d’assurance des réponses fréquentielles (Frequency Response Assurance Criterion FRAC) est
donné par [7]
2
FRAC ( j )k
⎛ m
⎞
⎜⎜ ∑ H Ajk (ωi )H *Xjk (ωi )⎟⎟
⎝ i =1
⎠
= m
m
⎞
⎛
⎞
⎛
⎜⎜ ∑ H Ajk (ωi )H *Ajk (ωi )⎟⎟⎜⎜ ∑ H Xjk (ωi )H *Xjk (ωi )⎟⎟
⎠
⎠⎝ i =1
⎝ i =1
(11)
j étant le ddl de mesure et k le ddl d’excitation.
En se basant sur le FRAC, Fotsch et Ewins ont proposé le critère d’assurance modal et fréquentiel (Modal
FRF Assurance Criterion MFAC) défini par [8]
2
MFAC (ω A , ω X )k
⎛ N
⎞
⎜ ∑φ Ajk (ω A )H *Xjk (ω X )⎟
⎜ j =1
⎟
⎝
⎠
=
⎛ N
⎞⎛ N
⎞
⎜ ∑φ Ajk (ω A )φ Ajk (ω A )⎟⎜ ∑ H Xjk (ω X )H *Xjk (ω X )⎟
⎜ j =1
⎟⎜ j =1
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
(12)
où φ A (ω A ) est le mode propre analytique pour une fréquence analytique ωA.
Mis à part le FRSF, toutes les fonctions de corrélation varient entre 0 et 1, La valeur 1 indique une parfaite
corrélation et 0 indique l’absence de corrélation.
La fonction FRSF ne donne pas une bonne corrélation quantitative et ne peut donc par quantifier
objectivement les corrections. Les fonctions FDAC et FRAC sont très similaires et se limitent à l’utilisation de la
réponse fréquentielle seule, de plus, la fonction FRAC a été utilisée dans une méthode de détection de défauts
précédemment développée [9]. Dans ce présent travail, notre choix s’est porté sur la fonction MFAC (12) qui
utilise les modes analytiques en plus des FRF. La fonction coût qui en résulte est donc
s
J = ∑ (1 − MFAC (ω A , ω X )k )
2
(13)
k =1
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La minimisation de cette fonction coût revient à minimiser le carré du résidu
⎛ N
⎞⎛ N
⎞ ⎛ N
⎞
*
*
(ω X )⎟⎟ − ⎜⎜ ∑φ Ajk (ω A )H Xjk
(ω X )⎟⎟
Rk = ⎜⎜ ∑ φ Ajk (ω A )φ Ajk (ω A )⎟⎟⎜⎜ ∑ H Xjk (ω X )H Xjk
⎝ j =1
⎠⎝ j =1
⎠ ⎝ j =1
⎠
2
(14)
ce qui est équivalent à
(
)(
) (
)
T
Rk = φ Ak
(ω A )φ Ak (ω A ) H TX (ω X )H *X (ω X ) − φ Ak (ω A )H *Xk (ω X )
2
(15)
Le problème de minimisation s’écrit alors
s
⎛
⎞
min⎜⎜ δ = ∑ Rk2 ⎟⎟
m ,k
k =1
⎝
⎠
i
(16)
i
2.2. Gradient de la fonction coût
Le calcul du gradient de la fonction coût pose un problème de dérivation des vecteurs propres analytiques par
rapport aux paramètres de recalage ai et bi. Ce type de calcul est développé dans [10] sous la forme suivante :
∂φ Ak
= ∑ β kqφq , avec β kq
∂ai
q =1
⎧ T ⎡⎛ ∂ ( K ′ + iK ′′)
∂M ⎞
⎟ λk − λq
− λk
⎪φ Aq ⎢⎜⎜
⎪ ⎣⎢⎝
∂ai
∂ai ⎟⎠
=⎨
⎪ − 1 φ T ∂M φ ,
Ak
Ak
⎪⎩
∂ai
2
)⎥,
∂φ Ak
= ∑ β kqφq , avec β kq
∂bi
q =1
⎧ T ⎡⎛ ∂ ( K ′ + iK ′′)
∂M
− λk
⎪φ Aq ⎢⎜⎜
⎪
∂bi
∂bi
= ⎨ ⎢⎣⎝
∂
1
M
⎪ − φT
φ Ak ,
Ak
⎪⎩
∂bi
2
)⎥,
N
et
N
(
⎞
⎟⎟ λk − λq
⎠
(
⎤
⎦⎥
q≠k
(17)
q=k
⎤
⎥⎦
q≠k
(18)
q=k
Par contre pour le calcul des dérivées des matrices de masse et de raideur nous utilisons les formules de
calcul explicitées dans [4]
∂M ∂M
∂K ′
∂K ′
∂K ′′
∂K ′′
=
=0,
= K i′( e ) ,
= 0,
= 0 et
= K i′′( e )
∂ai
∂bi
∂ai
∂bi
∂ai
∂bi
(19)
2.3. Algorithme d’optimisation
L’algorithme d’optimisation utilisé pour la minimisation de la fonction coût δ est l’algorithme de Gauss –
Newton, qui est un algorithme itératif à matrice Jacobiènne. Le système d’équations non linéaires de N équations
à N inconnues est obtenu par
∂δ
∂δ
= 0 , et
=0
∂ai
∂bi
(20)
La résolution par la méthode de Gauss – Newton conduit à un système itératif de la forme
⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ... ⎟
⎜a ⎟
⎜ N⎟
⎜ b1 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ... ⎟
⎜b ⎟
⎝ N⎠
( v +1)
⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ... ⎟
⎜a ⎟
=⎜ N⎟
⎜ b1 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ... ⎟
⎜b ⎟
⎝ N⎠
(v)
⎛ ∂δ
⎜
⎜ ∂a1
⎜ ...
⎜ ∂δ
⎜
(v ) −1 ⎜ ∂a N
− J
⎜ ∂δ
⎜ ∂b1
⎜ ...
⎜ ∂δ
⎜⎜
⎝ ∂bN
( )
(v)
⎛ ∂ 2δ
⎞
⎜
⎟
2
⎜ ∂a1
⎟
⎜
...
⎟
⎜ ∂ 2δ
⎟
⎜
⎟
∂a ∂a
⎟ , avec J = ⎜ 12 N
⎜ ∂ δ
⎟
⎜
⎟
⎜ ∂a1∂b1
⎟
⎜ ...
⎟
⎜ ∂ 2δ
⎟⎟
⎜
⎠
⎝ ∂a1∂bN
...
...
...
...
...
...
∂ 2δ
∂a N ∂a1
...
∂ 2δ
∂a N2
∂ 2δ
∂a N ∂b1
...
∂ 2δ
∂a N ∂b N
∂ 2δ
∂b1∂a1
...
∂ 2δ
∂b1∂b N
∂ 2δ
∂b12
...
∂ 2δ
∂b1∂b N
...
...
...
...
...
...
∂ 2δ
∂bN ∂a1
...
∂ 2δ
∂bN ∂a N
∂ 2δ
∂b N ∂b1
...
∂ 2δ
∂bN2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(21)
En exploitant des mesures fréquentielles, la structure est discrétisée en un ensemble d’éléments finis. La
méthode consiste alors à minimiser le résidu entre les mesures fréquentielles et les valeurs analytiques
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préalablement déterminées. En fin le taux d’amortissement pour chaque élément est déterminé par la correction
suivante du taux d’amortissement analytique
b E ′′
ηi = i
ai E ′
Si la structure ne présente pas de défauts (fissures, dislocation, décollement, …etc.) alors le taux
d’amortissement de la structure est calculé par la moyenne arithmétiques des taux d’amortissement élémentaires.
Sinon, nous pouvons envisager de détecter ces défauts.
Le problème consiste alors à choisir l’élément volumique représentatif de la structure ou bien la cellule
de base : c’est la plus petite région dans une structure périodique.
Les fibres renforçant un composite unidirectionnel sont disposées en arrangement périodique. Un milieu
périodique est défini par une cellule de base qui est déplacée par translation le long de trois vecteurs. La cellule
de base n’est pas définie d’une manière unique. Quelque soit le choix de la cellule de base le résultat final est
unique puisqu’il représente les caractéristiques physiques du matériau. Ce choix exploite souvent les symétries
géométriques qui simplifient significativement l’explicitation des conditions aux limites de périodicité [11, 12].
Pour le présent travail, trois types de Volume Elémentaire Représentatif (VER) peuvent être choisis pour
déterminer le comportement dissipatif du composite renforcé par des fibres unidirectionnelles. Le choix s’est
porté sur le carré à bords pour sa simplicité (Fig. 3).
Fig. 1 : Hexagonale
Fig. 2 : Carré diagonal
Fig. 3 : Carré à bords
Le volume élémentaire représentatif (VER) doit respecter les mêmes modules d’élasticité et le taux volumique
de fibres que le volume global du composite.
3 Etude comparative
Le premier matériau étudié est le verre – époxy M10. Il s’agit d’un composite à fibres de verre et
matrice époxy M10. Le renfort est orienté dans une seule direction, une fois à 0° et une autre fois à 90°.
Les principales caractéristiques utilisées pour décrire ce matériau sont
Le taux volumique de fibres est de 51,85%.
Tableau 1 : Caractéristiques mécanique des matériaux de verre – époxy M10
Matériaux
E (en GPa)
ν
η
Fibre de verre
72.40
0.20
0.0018
Matrice époxy
2.76
0.35
0.0150
Le deuxième matériau sur lequel a porté l’étude est un composite à fibres de verre et matrice polyester
noté : SMC-R26 (Sheet Molding Compound, à taux massique de fibres de verre de 26%, soit environ 14.5% en
volume de fibres).
Le renfort est orienté aléatoirement dans le plan (x, y), il est composé de fibres de verre discontinues
(longueur 25mm), de charges sphériques de verre et de particule de craie. Ces fibres sont également assemblées
en mèche d’environ 200 fibres de diamètre 15 micromètres.
Tableau 2 : Caractéristiques mécanique des matériaux de verre – polyester SMC-R26
Matériaux
E (en GPa)
ν
η
ρ (en g/cm3)
Fibre de verre
72.0
0.280
0.0018
2.54
Matrice polyester
6.5
0.311
0.0100
1.30
Modèles analytiques
Saravanos et Chamis [13, 14] proposent une homogénéisation micromécanique basée sur la méthode
énergétique appliquée à un VER à fibre unique et à section carrée. Considérant la contrainte/déformation
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uniforme partout dans le composite, la loi des mélanges pour le module longitudinal fournit ainsi le facteur de
perte pour des fibres orientées à 0°
E
E
η11 = η f 11V f f 11 + η mVm m
(22)
E11
E11
Pour les fibres orientées à 90°, le facteur de perte dans la direction transversale est
E
E
η 22 = η f 22 V f 22 + η m 1 − V f 22
(23)
E f 22
Em
(
(
)
où : E22 = 1 − V f Em +
)
V f Em
⎛
E ⎞
1 − Vm ⎜1 − m ⎟
⎜ E f 22 ⎟
⎝
⎠
Dans le cas verre – époxy
E f 11 = E f 22
et
(24)
η f 11 = η f 22
Procédure expérimentale
Les résultats de la partie expérimentale découlent de deux montages l’un de type encastré – libre et
l’autre de type libre – libre.
a) Le montage encastré – libre :
Fig. 4 : Schéma du montage encastré – libre
Une extrémité de l’éprouvette est serrée par une vis entre deux mors qui jouent le rôle d’encastrement,
sur l’autre extrémité on place l’accéléromètre et on pend une masse par un fil, afin de réaliser un essai vibratoire
par lâcher (Fig. 4). Pour avoir une uniformité des mesures et éviter le maximum d’erreurs le fil est brûlé.
b) Le montage libre – libre :
Fig. 5 : Schéma du montage libre – libre
Pour la détermination de l’amortissement, seul le premier mode vibratoire est nécessaire, aussi il est
important de positionner les couteaux aux bons endroits, c’est-à-dire là où il n’y a pas de déplacement de
l’éprouvette. Ces emplacements se situent à 22% et à 78% de la longueur de l’éprouvette.
On place au centre de l’éprouvette un accéléromètre et on tend un fin fil métallique entre l’éprouvette et
le support, afin d’imposer à l’éprouvette une certaine flèche, permettant ainsi d’effectuer un essai vibratoire par
lâcher; pour rompre le fil métallique on fait parcourir dans celui-ci un important courant électrique, qui le fait
instantanément brûler.
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Ensuite, il faut traiter le signal enregistré afin d’extraire la fréquence de résonance ω1 du premier mode
ainsi que le taux d’amortissement visqueux ξ du système, où ξ est défini par
b
ξ=
(25)
2 km
ce qui nous permettra d’obtenir la valeur du taux d’amortissement du matériau en appliquant la relation suivante
η = 2ξ
(26)
Pour extraire cette fréquence ω1 et ce taux ξ, on utilise la décrémentation logarithmique. Pour avoir le
taux d’amortissement visqueux moyen de chaque essai, il suffit de faire la moyenne entre ξsup et ξinf .
Composite Verre – Epoxy
Nous disposons des résultats expérimentaux pour les éprouvettes suivantes
Dimensions
en mm
Longueur totale
Longueur hors mors
Largeur
Epaisseur
Tableau 3 : Dimension des éprouvettes verre – époxy
Eprouvette 1
Eprouvette 2
Eprouvette 3
Eprouvette 4
Orientation des fibres à 0°
Orientation des fibres à 90°
225,5
191,5
23,3
2,2
Pour chacune de ces éprouvettes, on relève la fréquence de résonance du premier mode vibratoire, et le
taux d’amortissement visqueux ξ, on obtient les valeurs du taux d’amortissement du matériau pour chaque
éprouvette : η = 2ξ
Les résultats obtenus pour les trois méthodes sont
Orientation
0°
90°
Tableau 4 : Récapitulatif des résultats obtenus pour le verre – époxy
Méthode Proposée
Méthode expérimentale
Méthode
Eprouvette 1
Eprouvette 2
Eprouvette 1
Eprouvette 2
analytique
Eprouvette 3
Eprouvette 4
Eprouvette 3
Eprouvette 4
0,00225
0,00260
0,00286
0,00290
0,00322
0,01077
0,01127
0,01082
0,01202
0,01074
Composite Verre – Polyester SMC-R26
Le modèle par éléments finis n’est pas utilisable avec le SMC, ou tout autre composite à fibres
aléatoirement orientées, puisqu’on ne peut modéliser que des composites à fibres uniaxiales à 0° ou à 90°
uniquement.
Pour le composite verre – polyester SMC-R26, nous disposons des résultats expérimentaux par
décrémentation logarithmique pour les éprouvettes suivantes
Dimensions
en mm
Longueur totale
Longueur hors mors
Largeur
Epaisseur
Tableau 5 : Dimension des éprouvettes verre – époxy
Montage encastré – libre
Montage libre – libre
Eprouvette 1 Eprouvette 2 Eprouvette 3
Eprouvette 4
188,5
247,5
310
403
154,5
213,5
276
25
25
25
25
2,5
2,5
2,5
2,5
Pour chacune de ces éprouvettes, obtient les valeurs suivantes du taux d’amortissement du matériau
Tableau 6 : Récapitulatif des résultats obtenus pour le verre – polyester SMC-R26
η
Eprouvettes
Montage
Eprouvette 1
encastré – libre
0,01838
Eprouvette 2
encastré – libre
0,01874
Eprouvette 3
encastré – libre
0,02388
Eprouvette 4
libre – libre
0,02467
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Grâce au montage encastré – libre, on remarque que le taux d’amortissement du matériau augmente avec la
longueur de l’éprouvette, ceci est très certainement dû à l’amortissement de l’air, car, en effet, plus l’éprouvette
est longue et plus l’amplitude du mouvement à l’extrémité libre de l’éprouvette est importante, celle-ci dépasse
de loin l’épaisseur de l’éprouvette, ce qui est contraire à ce que recommande Gibson [2, 3, 15]. Pour les
éprouvettes de grande longueur, les essais sous vide partiel sont plus adéquats.
4. Conclusion
Une méthode d’identification de l’amortissement de matériaux composite est proposée. Celle-ci est
basée sur la technique de recalage de modèle éléments finis exploitant des mesures fréquentielles. La fonction
coût utilisée est basée sur le critère d’assurance modal et fréquentiel. Des mesures expérimentales ont été
exploitées. La méthode proposée et la méthode par décrément logarithmique donnent des résultats sensiblement
proches par contre un écart non négligeable existe entre ceux-ci et les résultats analytiques. Ceci est d’une part
dû au fait que l’amortissement mesuré expérimentalement est l’amortissement du système, qui comprend
l’éprouvette plus l’accéléromètre et son système de fixation. D’autre part, l’amortissement du à l’air est un
élément gênant non négligeable qui vient bruiter l’amortissement du système. Le modèle éléments finis utilisé ne
pouvant d’écrire d’autres orientations de fibres que 0° et 90°, la méthode n’est donc pas utilisable pour le
composite verre – polyester SMC-R26. La méthode doit être validée avec un nombre de mesures plus important
et des essais expérimentaux sur des structures plus complexes.
Les résultats obtenus jusque là montrent une efficacité de la méthode à identifier avec une bonne
précision l’amortissement des structures composites.
5. Bibliographie
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