Conduction thermique dans une boule avec source radioactive

Chapitre 11– Exercice 5
Conduction thermique dans une boule avec source radioactive
1. Compte tenu de la symétrie sphérique, effectuons, en régime stationnaire, le bilan généralisé d’énergie
interne, dans l’espace compris entre deux sphères infiniment voisines, de rayons r et r + d r . Il vient :
0 = 4pr2 Ju (r) − 4p(r + d r)2 Ju (r + d r) + su 4pr2 d r
Ju = Ju er étant le courant d’énergie interne. Explicitons, en rappelant la loi de Fourier Ju = −ld T/ d r er :
dT
dT
0 = l4pr2 Ju (r)
− l4p(r + d r)2
+ su 4pr2 d r
dr r
d r r+d r
soit, en simplifiant :
d
dr
su
2dT
r
= − r2
dr
l
On obtient, en intégrant :
dT
su
r2
= − r3 + A
dr
3l
soit
dT
su
A
=− r+ 2
dr
3l
r
A étant une constante. Comme le gradient de température a une valeur finie au centre de la boule ( r = 0 ), la
constante A doit être nulle. Si l’on intègre une seconde fois, on obtient l’expression générale de la température en
un point de l’intérieur de la boule :
su
T(r) = − r2 + B
6l
B étant une autre constante d’intégration que l’on détermine à l’aide de la température en surface :
T0 = T(R) = −
su 2
R + B d’où
6l
T(r) = −
su 2
(r − R2 ) + T0
6l
2. Au centre, T(0) = T0 + DT avec DT = 150 K . Par conséquent :
T(0) = T0 + DT =
su 2
R + T0
6l
d’où su =
6lDT
= 5, 4 MW · m−3
R2