Optimisation combinatoire 5 - LAMSADE - Université Paris
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Optimisation combinatoire 5 - LAMSADE - Université Paris
Information – Commande – Communication Le traité Information, Commande, Communication répond au besoin de disposer d’un ensemble complet des connaissances et méthodes nécessaires à la maîtrise des systèmes technologiques. Vangelis Th. Paschos Traité IC2 IC2 I N F O R M AT I Q U E ET SYSTÈMES D ’ I N F O R M AT I O N Information – Commande – Communication Réseaux et télécoms Traitement du signal et de l’image Information et science du vivant Informatique et systèmes d’information Systèmes automatisés et productique Management et gestion des STICS Cognition et traitement de l’information. Chaque ouvrage présente aussi bien les aspects fondamentaux qu’expérimentaux. Une classification des différents articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index détaillé orientent le lecteur vers ses points d’intérêt immédiats : celui-ci dispose ainsi d’un guide pour ses réflexions ou pour ses choix. Les savoirs, théories et méthodes rassemblés dans chaque ouvrage ont été choisis pour leur pertinence dans l’avancée des connaissances ou pour la qualité des résultats obtenus dans le cas d’expérimentations réelles. Optimisation combinatoire 5 Conçu volontairement dans un esprit d’échange disciplinaire, le traité IC2 est l’état de l’art dans les domaines suivants retenus par le comité scientifique : Optimisation combinatoire 5 problèmes paradigmatiques et nouvelles problématiques sous la direction de Vangelis Th. Paschos 978-2-7462-1696-9 www.hermes-science.com 9:HSMHOG=WV[^[^: Optimisation combinatoire 5 © LAVOISIER, 2007 LAVOISIER 11, rue Lavoisier 75008 Paris www.hermes-science.com www.lavoisier.fr ISBN 978-2-7462-1696-9 Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle. Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs. Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, February 2007. Optimisation combinatoire 5 problèmes paradigmatiques et nouvelles problématiques sous la direction de Vangelis Th. Paschos Il a été tiré de cet ouvrage 40 exemplaires hors commerce réservés aux membres du comité scientifique, aux auteurs et à l’éditeur numérotés de 1 à 40 Optimisation combinatoire 5 sous la direction de Vangelis Th. Paschos fait partie de la série INFORMATIQUE ET SYSTÈMES D’INFORMATION dirigée par Jean-Charles Pomerol TRAITE IC2 INFORMATION – COMMANDE – COMMUNICATION sous la direction scientifique de Bernard Dubuisson Le traité Information, Commande, Communication répond au besoin de disposer d’un ensemble complet des connaissances et méthodes nécessaires à la maîtrise des systèmes technologiques. Conçu volontairement dans un esprit d’échange disciplinaire, le traité IC2 est l’état de l’art dans les domaines suivants retenus par le comité scientifique : Réseaux et télécoms Traitement du signal et de l’image Information et science du vivant Informatique et systèmes d’information Systèmes automatisés et productique Management et gestion des STICS Cognition et traitement de l’information Chaque ouvrage présente aussi bien les aspects fondamentaux qu’expérimentaux. Une classification des différents articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index détaillé orientent le lecteur vers ses points d’intérêt immédiats : celui-ci dispose ainsi d’un guide pour ses réflexions ou pour ses choix. Les savoirs, théories et méthodes rassemblés dans chaque ouvrage ont été choisis pour leur pertinence dans l’avancée des connaissances ou pour la qualité des résultats obtenus dans le cas d’expérimentations réelles. Liste des auteurs Eric ANGEL LAMI Université d’Evry Val d’Essonne Evripides BAMPIS LAMI Université d’Evry Val d’Essonne Cristina BAZGAN LAMSADE Université Paris-Dauphine Dominique DE WERRA IMA FSB EPFL Lausanne Suisse Virginie GABREL LAMSADE Université Paris-Dauphine Aristotelis GIANNAKOS LAMSADE Université Paris-Dauphine Laurent GOURVES LAMI Université d’Evry Val d’Essonne Hadrien HUGOT LAMSADE Université Paris-Dauphine Daniel KOBLER Tm Bioscience Toronto Canada Jérôme MONNOT LAMSADE Université Paris-Dauphine Cécile MURAT LAMSADE Université Paris-Dauphine Vangelis Th. PASCHOS LAMSADE Université Paris-Dauphine Sophie TOULOUSE LIPN Université Paris 13 Villetaneuse Gerhard J. WOEGINGER Eindhoven University of Technology Eindhoven Pays-Bas Table des matières Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vangelis Th. PASCHOS 15 PREMIÈRE PARTIE. PROBLÈMES PARADIGMATIQUES . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chapitre 1. Satisfaisabilité optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cristina BAZGAN 21 1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Problèmes de satisfaction de contraintes : versions décision et optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Types de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Complexité des problèmes de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Complexité et approximation des problèmes d’optimisation . . . . 1.4.1. Problèmes de maximisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Problèmes de minimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Instances particulières de problèmes de satisfaction de contraintes 1.5.1. Instances planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Instances denses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Instances avec un nombre borné d’occurrences . . . . . . . . . 1.6. Problèmes de satisfaisabilité sous contraintes globales . . . . . . . . 1.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 23 . . . . . . . . . . . . . 24 27 29 32 32 38 39 39 41 43 44 46 46 . . . . . . . . . . . . . 10 Optimisation combinatoire Chapitre 2. Le voyageur de commerce et ses variations : un tour d’horizon de ses résolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jérôme MONNOT et Sophie TOULOUSE 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Propriétés élémentaires et différents sous-problèmes . . . 2.2.1. Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Différents sous-problèmes . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Algorithmes de résolution exacte . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Un algorithme de programmation dynamique . . . . 2.3.2. Un algorithme de séparation et évaluation . . . . . . 2.4. Algorithme approché pour max TSP . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Un algorithme basé sur le 2-couplage . . . . . . . . . 2.4.2. Algorithme mêlant 2-couplage et couplage . . . . . 2.5. Algorithme approché pour min TSP . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Algorithme basé sur l’arbre couvrant et le couplage 2.5.2. Algorithme de recherche locale . . . . . . . . . . . . 2.6. Algorithmes constructifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Algorithme du plus proche voisin . . . . . . . . . . . 2.6.1.1. Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1.2. Le cas métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Algorithme de la plus proche insertion . . . . . . . . 2.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 52 52 53 55 55 57 61 64 67 71 74 76 79 80 81 82 86 89 90 Chapitre 3. Problèmes de coloration dans les graphes . . . . . . . . . . . . . Dominique DE WERRA et Daniel KOBLER 95 3.1. Notions de base sur les colorations . . . . . . . 3.2. Complexité de la coloration . . . . . . . . . . . . 3.3. Méthodes séquentielles de coloration . . . . . . 3.4. Un algorithme exact de coloration . . . . . . . . 3.5. Méthode tabou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Graphes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Ordonnancement chromatique . . . . . . . . . . 3.8. Colorations par intervalles . . . . . . . . . . . . . 3.9. T-colorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Colorations restreintes . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Colorations avec contraintes de cardinalité . . 3.12. D’autres extensions . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13. Les colorations d’arêtes . . . . . . . . . . . . . 3.13.1. Les f-colorations d’arêtes . . . . . . . . . 3.13.2. Les [g, f ] -colorations d’arêtes . . . . . . 3.13.3. Un modèle de coloration d’hypergraphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 98 100 102 106 109 115 117 119 122 125 128 129 131 132 133 Table des matières 11 3.14. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 138 DEUXIÈME PARTIE. PROBLÉMATIQUES NOUVELLES . . . . . . . . . . . . . . . 143 Chapitre 4. Approximation polynomiale avec garantie de performance pour l’optimisation combinatoire multicritère . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eric ANGEL, Evripidis BAMPIS et Laurent GOURVÈS 145 4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Présentation des problèmes combinatoires multicritères . . . . . 4.2.1. Problèmes combinatoires multicritères . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.1. Optimalité hiérarchique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.2. Optimalité de type min max . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.3. Optimalité de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Complexité des problèmes combinatoires multicritères . . 4.2.3.1. NP-complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3.2. Indocilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Approximation polynomiale et garantie de performance . . . . . 4.3.1. Approche par pondération des critères . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Approche simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Approche budget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Approche courbe de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4.1. Le problème du voyageur de commerce bicritère . . 4.3.4.2. Un problème d’ordonnancement avec coûts . . . . . 4.3.4.3. Résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Présentation des problèmes combinatoires multicritères . . 4.4.1.1. Optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1.2. Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Approximation polynomiale avec garantie de performance 4.4.2.1. Approche pondération des critères . . . . . . . . . . . 4.4.2.2. Approche simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2.3. Approche budget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2.4. Approche courbe de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 147 147 148 148 149 150 151 152 154 154 156 158 161 166 166 171 174 176 176 176 176 176 176 176 177 177 178 178 12 Optimisation combinatoire Chapitre 5. Plus courts chemins robustes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Virginie GABREL et Cécile MURAT 5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Prise en compte de l’aléatoire : les différents modèles . . . . . . . . . . 5.2.1. Le modèle par intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Le modèle par ensemble discret de scénarios . . . . . . . . . . . . 5.3. Les mesures de la robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Les critères classiques issus de la théorie de la décision . . . . . . 5.3.1.1. Critère du pire cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1.2. Critère du regret maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Méthodologie inspirée de la programmation mathématique . . . 5.3.3. La méthodologie inspirée de l’analyse multicritère . . . . . . . . . 5.3.3.1. Vecteur de performances associé à un chemin . . . . . . . . 5.3.3.2. Modèles d’agrégation pour la robustesse . . . . . . . . . . . 5.4. Complexité et résolution de problèmes de plus courts chemins robustes dans le modèle par intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Avec le critère du pire cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Avec le critère du regret maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.1. Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.2. Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Avec l’approche inspirée de la programmation mathématique . . 5.4.4. Avec l’approche inspirée de l’analyse multicritère . . . . . . . . . 5.5. Complexité et résolution de problèmes de plus courts chemins robustes dans le modèle par ensemble discret de scénarios . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Avec le critère du pire cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1.1. Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1.2. Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Avec le critère du regret maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3. Avec l’approche inspirée de l’analyse multicritère . . . . . . . . . 5.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 6. Quand l’optimisation fait du beau jeu : une vision algorithmique de la théorie des jeux. . . . . . . . . . . . . . . . . . Aristotelis GIANNAKOS et Vangelis Th. PASCHOS 6.1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Notions de base sur les jeux . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Les classes de complexité que l’on verra dans le chapitre 6.2. Les équilibres de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 181 182 183 184 185 185 185 186 188 189 189 190 192 192 192 193 195 197 199 201 201 201 202 203 203 204 204 207 208 208 211 213 Table des matières 6.3. Extension mixte d’un jeu et équilibres de Nash . . . . . . . . . . . . . 6.4. Problèmes algorithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Jeux à description succincte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Résultats sur la complexité du calcul d’un équilibre mixte . . . 6.4.3. Compter le nombre d’équilibres dans un jeu à stratégies mixtes 6.5. Jeux de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Jeux de congestion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Modèle de Rosenthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2. Complexité des jeux de congestion (modèle de Rosenthal) . . . 6.6.3. Autres modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Note finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . 216 217 217 218 223 224 224 225 228 228 232 233 237 237 Chapitre 7. Algorithmes exacts pour les problèmes NP-difficiles : un état de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gerhard J. WOEGINGER, traduit en français par Hadrien HUGOT 241 7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Organisation de l’état de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Notions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Comment mesurer la qualité d’un algorithme exact ? . . . . . . 7.2.2. Temps d’exécution et classes de complexité . . . . . . . . . . . . 7.2.3. Quelques classes de problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . 7.2.4. Remarques techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Technique : programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Le problème du voyageur de commerce (TSP) . . . . . . . . . . 7.3.2. Temps total d’exécution sur une machine avec des contraintes d’antériorité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3. Coloration de graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Technique : élagage de l’arbre de recherche . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Le problème de satisfaisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Le problème du stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. Le problème de longueur de bande, bandwidth problem . . . . 7.5. Technique : prétraitement des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Le problème de somme de sous-ensembles . . . . . . . . . . . . 7.5.2. Le problème du sac à dos binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Technique : recherche locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Recherche locale pour le problème de 3-satisfaisabilité . . . . . . . . . . . . . . 241 242 243 243 244 244 245 245 246 . . . . . . . . . . . 247 248 250 250 252 254 256 257 258 258 259 14 Optimisation combinatoire 7.6.1.1. Première approche par recherche locale . . . . . . 7.6.1.2. Deuxième approche par recherche locale . . . . . 7.6.1.3. Troisième approche par recherche locale . . . . . 7.7. Existence d’algorithmes exacts de temps sous-exponentiel ? 7.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 259 260 261 265 265 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Avant-propos Une belle aventure, qui a commencé il y a maintenant quatre ans en novembre 2002, arrive à sa fin. Ce livre Optimisation combinatoire : problèmes paradigmatiques et problématiques nouvelles est le cinquième volume de l’ouvrage Optimisation combinatoire. Il est, comme son nom l’indique, dédié à la fois à quelques problèmes dont l’étude a marqué l’évolution et la légitimation de cette discipline, mais aussi à de nouvelles problématiques qui voient le jour en optimisation combinatoire, et qui élargissent son assise scientifique et sa notoriété. Les chapitres de ce volume sont divisés en deux parties : 1) problèmes paradigmatiques, 2) problématiques nouvelles. Dans la première partie, « Problèmes paradigmatiques », le lecteur trouvera des études et des tours d’horizon consacrés à des problèmes comme : – la satisfaisabilité optimale (chapitre 1), – le voyageur de commerce (chapitre 2), – la coloration d’un graphe (chapitre 3). Cette partie est la suite du quatrième volume Optimisation combinatoire : problèmes paradigmatiques. Ces chapitres ne traitent pas seulement les problèmes dont il est question, mais mettent aussi en exergue divers outils et méthodes de l’optimisation combinatoire et de la recherche opérationnelle. Bien évidemment, cette liste reste limitée et ne prétend toujours pas couvrir tous les problèmes phares de l’optimisation combinatoire. Elle constitue un échantillon supplémentaire qui confirme la richesse des thématiques et Cet avant-propos a été rédigé par Vangelis Th. PASCHOS. 16 Optimisation combinatoire des problèmes qui peuvent être abordés par l’optimisation combinatoire et des outils développés par cette discipline. Dans la seconde partie, « Problématiques nouvelles », de nouvelles thématiques sont présentées. Elles se développent, du moins en partie, au sein de l’optimisation combinatoire, la fertilisent, élargissent sa notoriété, la rapprochent encore davantage de l’informatique théorique et des mathématiques appliquées, et enrichissent ses modèles. Ces nouvelles problématiques dont il est question dans cet ouvrage sont : – la résolution efficiente de problèmes d’optimisation combinatoire multicritère (chapitre 4), – la robustesse (chapitre 5), – la théorie des jeux algorithmiques (chapitre 6), – la résolution optimale des problèmes NP-difficiles par des algorithmes exacts à complexité au pire des cas non triviale (chapitre 7). Toutes ces thématiques ne sont bien évidemment pas les seules nouvelles directions en optimisation combinatoire. Pour les traiter toutes, il nous aurait fallu plusieurs volumes encore. Si j’ai choisi ces problématiques particulières, c’est parce qu’elles sont à l’interface de l’optimisation combinatoire avec plusieurs autres disciplines plus ou moins proches de celle-ci : – la théorie de la décision et de l’aide à la décision (pour l’optimisation combinatoire multicritère et la robustesse), – la théorie classique des jeux et les mathématiques appliquées (pour la théorie des jeux algorithmiques), – l’informatique et l’algorithmique (pour la résolution optimale des problèmes NP-difficiles). Ces cinq volumes de l’Optimisation combinatoire sont voulus comme une sorte de French-language handbook of combinatorial optimization. Ils montrent, à mon avis, l’extraordinaire richesse de cette discipline mais aussi la formidable vitalité et le dynamisme de la communauté scientifique française d’optimisation combinatoire et de la recherche opérationnelle. Je remercie du fond du cœur tous les collègues et amis qui y ont participé comme auteurs de chapitres, en m’accompagnant dans cette formidable aventure qu’était la direction de ce livre. Federico Della Croce et Jérôme Monnot ont lu avec moi de nombreux chapitres de ces cinq volumes. Leurs remarques et suggestions, toujours pertinentes, ont beaucoup contribué à l’amélioration du contenu et de la lisibilité de plusieurs chapitres et à une homogénéisation certaine de l’ouvrage. Merci Chico et Jérôme ! Avant-propos 17 Stratos, mon TEXpert de frère, me fut d’une aide très précieuse en intervenant efficacement sur les quelques difficultés de la classe hermes.cls. Sans lui, ce livre n’aurait pas eu sa forme actuelle. Aussi, ses conseils et ses fichiers .sty dépassent toujours et de loin mes exigences de présentation et de mise en page même les plus extravagantes. Merci Stratos ! Bruno Escoffier m’a aussi beaucoup aidé à la résolution de quelques problèmes de LATEX, irrésolubles à distance par Stratos, avec beaucoup de disponibilité d’efficacité et surtout de bonne humeur. Merci Bruno ! Aussi, Olivier Pottié m’a aidé à la résolution de divers problèmes d’intégration de figures aux bons endroits dans divers chapitres. Merci Olivier ! Bruno Escoffier, Hadrien Hugo et Dominique Quadri ont traduit avec beaucoup de brio et d’efficacité quelques chapitres d’auteurs étrangers. Merci beaucoup les enfants ! Une grande partie du troisième volume et les deux derniers volumes de l’ouvrage Optimisation combinatoire furent finalisés et accomplis pendant ma période sabbatique au département d’informatique de l’Université d’Athènes et au département d’informatique de l’Université d’Economie et de Management d’Athènes. Elias Koutsoupias et Vassilis Zissimopoulos, d’une part, et Giannis Milis, d’autre part, m’ont invité et accueilli et ont mis à ma disposition tous les moyens qui leur étaient disponibles pour que je puisse travailler efficacement. Qu’ils trouvent ici mes remerciements les plus chaleureux et les marques de ma reconnaissance et de mon amitié. Les cinq volumes de l’ouvrage Optimisation combinatoire n’auraient pas été réalisés sans la proposition de Jean-Charles Pomerol et du directeur des éditions Hermès Sami Ménascé. Je les remercie très chaleureusement de leur insistance et de leurs encouragements. Je remercie aussi Chantal Ménascé des éditions Hermès pour sa gentillesse, sa disponibilité, sa patience et son ingéniosité pour trouver des solutions à tout problème éditorial. Si avec Jean-Charles nous étions déjà amis, la direction de cet ouvrage m’en a fait gagner deux autres : Chantal et Sami. J’espère que notre collaboration continuera. C’est un plaisir pour moi de travailler avec eux. Enfin, ce serait une omission impardonnable de ne pas remercier très chaleureusement Maggy Trognon, ma relectrice préférée. Un grand merci à elle pour les corrections qu’elle a apportées à cet ouvrage, son attention, sa méticulosité, sa disponibilité, sa gentillesse, son aide avec Word, les tables des matières et index, et surtout son très grand professionnalisme. Maggy, j’espère que l’on aura l’occasion de travailler de nouveau ensemble. Je terminerai ce dernier avant-propos avec une note personnelle sur deux disparitions qui touchent toute notre communauté. Entre avril 2002, quand l’écriture de cette série a commencé, et janvier 2007, que le dernier tome de cette série est achevé, la 18 Optimisation combinatoire communauté internationale de la recherche opérationnelle et de l’optimisation combinatoire a perdu deux de ses plus grands pères spirituels : Claude Berge et Peter Hammer. Ils ont été tous les deux des grands scientifiques des mathématiques discrètes et de l’optimisation combinatoire. Claude Berge fut le président du jury de mon habilitation à diriger des recherches. Je me rappellerai toujours de nos discussions, dans son bureau à l’EHESS, sur les mathématiques, la littérature policière américaine de la première moitié du XXe siècle et l’OULIPO, dont j’avais appris l’histoire par le magazine littéraire grec Λǫ́ξη quand j’étais encore élève à l’Ecole Polytechnique d’Athènes. Peter Hammer devrait être un des auteurs de ce tome dans sa partie problèmes paradigmatiques. Il n’a pas eu le temps de m’envoyer son chapitre. Nous perdons avec eux deux grandes figures de notre discipline. Nous nous souviendrons toujours d’eux. Vangelis Th. PASCHOS