Triangle de Pascal

Mathématiques appliquées à la construction - cours 4
Automne 2008
Marie-Josée Bolduc
Binôme de Newton et triangle de Pascal
Notre objectif est de trouver une manière rapide de développer des binômes de la forme,
où est un entier positif ou nul.
Exercice - Développer les expressions suivantes :
a) b) c) d) e) 1
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Marie-Josée Bolduc
Écriture des coefficients des termes de manière pyramidale :
n=0
a0 b0
n=1
a1 b0
a0 b1
n=2
a2 b0
a1 b1
a0 b2
n=3
a3 b0
a2 b1
a1 b2
a0 b3
n=4
a4 b0
a3 b1
a2 b2
a1 b3
a0 b4
n=5
a5 b0
a4 b1
a3 b2
a2 b3
a1 b4
a0 b5
…
Triangle de Pascal
Propriétés du triangle de Pascal
-
Symétrie des coefficients sur une même ligne
-
Pour une même ligne, la somme des exposants d’un terme vaut toujours n
-
Un terme vaut toujours la somme des deux termes au dessus de lui dans la pyramide
-
La somme des coefficients sur une même ligne vaut toujours 2n
2
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Exercice 1 : Utiliser le triangle de Pascal pour développer le binôme 3 2.
Exercice 2 : Utiliser le triangle de Pascal pour calculer le coefficient du terme en dans le
développement du binôme 4 .
3
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Exercice 3 : Application en dilatation thermique
Lorsqu’ils sont soumis à une différence de température, différents matériaux sont amenés à se
dilater. La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement,
généralement imperceptible mais qui peut générer des problèmes lorsqu’on n’en tient pas
compte.
Exemple : Sur un pont, la dilatation du solide utilisé est compensée par la présence de rainures.
Selon les différences d'expositions au soleil et l'échauffement de l'atmosphère, un solide de
plusieurs dizaines de mètres peut s'allonger de quelques centimètres, ce qui entraînerait une
déformation du pont en l’absence de rainures qui permettent d’absorber celles-ci.
On peut calculer pour tous les matériaux isotropes1 la variation de longueur en fonction de la
variation de température :
∆ ∆
∆ Variation de la longueur en mètre (m);
Coefficient de dilatation linéaire en kelvin puissance moins un (K-1);
Longueur initiale en mètre (m);
∆ Variation de température en kelvin (K) ou en degré Celsius (°C).
Remarque : Puisqu'on utilise une variation (une différence de température) la différence d'origine
entre kelvin et degré Celsius s'annule, la distinction n'est donc pas nécessaire.
substances
(1/K)
acier
12,0×10−6
fonte
−6
aluminium 23,8×10 invar (36 %Ni + 64 %Fe)
argent 19,7×10−6
laiton
−6
bismuth 13,5×10
maillechort
−6
bronze 17,5×10
molybdène
−6
cadmium 30,0×10
nickel
−6
constantan 15,2×10
nylon
−6
cuivre 16,5×10
or
−6
étain
23,0×10
platine
substances
substances
(1/K)
(1/K)
−6
10,5×10
plomb 29,0×10−6
1,5×10−6 porcelaine 4,0×10−6
18,5×10−6 quartz
0,5×10−6
18,0×10−6
rilsan
150×10−6
5,2×10−6 tungstène 4,5×10−6
13,0×10−6
verre
9×10−6
30×10−6
zinc
30,0×10−6
14,2×10−6
9,0×10−6
Les coefficients donnés sont valables pour des températures comprises entre 0°C et 100°C. En
réalité ces coefficients dépendent de la température, la loi d'allongement n'est donc pas linéaire
pour des différences de température.
1
Un matériau est dit isotrope si ses propriétés mécaniques sont identiques dans toutes les directions. On considère
généralement les métaux comme étant isotropes à l’échelle macroscopique. Cependant après certains procédé de
fabrication comme le laminage ou le forgeage, un acier devient anisotrope. Le bois est anisotrope : ses propriétés
mécaniques dépendent de la direction d’application des contraintes en raison de sa constitution fibreuse.
4
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1 dimension
1 0 ∆
0 0 ∆
0 1 ∆
Exemple : Une tige d’acier mesurant 2 m est chauffée de 20 à 65 degré Celsius. Quelle est la
longueur de la tige après s’être dilatée ?
0 ∆ 1 2 dimensions
dilatation
!" # $" ∆ ∆
∆ ∆
1 ∆
!" % $" 1 ∆
1 ∆ &1 ∆ '1
∆
&1 ∆
( 1 2 ∆
5
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Exemple : Une plaque de verre ayant une superficie de 50 cm2 est chauffée de 20 à 65 degré
Celsius.
a) Quelle superficie occupe la plaque après s’être dilatée ?
b) Sachant que la plaque était de dimension 5 cm par 10 cm au départ, quelles-sont ses
dimensions après la dilatation ?
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3 dimensions
dilatation
)*$+," # $ ∆- ∆-. ∆.
∆- - ∆. . ∆
- . 1 ∆
)*$+," % $ 1 ∆
Binôme de Newton :
1 ∆ &1 ∆ /1 ∆
/1
∆ &1 ∆
( 1 3 ∆
Exemple : Un lingot d’or géant oublié au milieu du désert est exposé à une température de 50
degré Celsius le jour et de 10 degré Celsius la nuit. Un chameau aperçoit le lingot; il est midi et
celui-ci mesure 10m x 12m x 7m. Incapable d’apporter le lingot avec lui, le chameau se promet
de revenir plus tard le montrer à sa tendre-moitié. Vers minuit, lors d’une balade romantique, il
l’amène voir le lingot. La dromadaire est très impressionnée par la découverte de son amoureux
et ne comprend pas son air déçu : « Il me semblait plus gros à la lumière jour… »
Un dromadaire peut-il avoir remarqué la différence de volume du lingot entre le jour et la nuit?
a) Calculer le volume du lingot la nuit.
b) Calculer les nouvelles dimensions du lingot la nuit. De quel ordre de grandeur est la
différence de dimension des côtés du lingot (m, dm, cm, mm, etc) ?
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Exercices
Question 1 : Développer les binômes suivants à l’aide du triangle de Pascal
a) 4 5
b) 2
c) 4 51
d) 2
Question 2 : Donner le coefficient du terme demandé dans le binôme énoncé
c) Terme en constant dans 4
a) Terme en dans 5 41
b) Terme en dans d) Terme en dans 2 3
Solutions
Question 1
a) 256 1280 2400 625 56
5 8 9
b) 7 6 8 c) 1024 1 6400 16000 20000 12500 3125 1
d) 2 7 21 1 35 35 21 1 7 2
Question 2
a)
b)
c)
d)
20000
1/256
256
4860
8