Exercices autocorrectifs

Exercices autocorrectifs
✒ Applications
Propositions – Connecteurs
Exercice 1
Est-ce que les énoncés, ci-dessous, sont des propositions ?
P : « Monsieur Martin est né le 1er janvier »
Q : « Monsieur Martin est grand »
R : « Pour x réel, 3x + 4 = 0 »
S : « Pour x réel, 3x2 + 4 = 0 »
Exercice 2
On considère les propositions vraies P : « Monsieur Martin est né le 1er janvier » et
Q : « Monsieur Martin est français ».
Séquence 1
Exprimer à l’aide d’une phrase en français les propositions :
¬ P, P  Q, P Ž Q, P  (¬ Q).
Calcul
des propositions
et des prédicats
Exercice 3
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On considère les propositions P : « Monsieur Martin est né le 1er janvier » et Q :
« Monsieur Martin est français ».
Exprimer à l’aide d’une phrase en français les propositions P ‰ Q, P ‹ Q.
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Usage de tables de vérité
Exercice 4
Soient P, Q et R trois propositions.
1. Complétez la table de vérité ci-dessous :
P
V
V
V
V
F
F
F
F
Q
V
V
F
F
V
V
F
F
R
V
F
V
F
V
F
V
F
PQ
(P  Q)  R
QR
P  (Q  R)
Que concluez-vous, en observant les 5e et 7e colonnes ?
2. Montrer de la même façon que (P Ž Q) Ž R = P Ž (Q Ž R).
Séquence 1
Calcul
des propositions
et des prédicats
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Exercice 5
Complétez la table de vérité ci-dessous :
P
V
V
V
V
F
F
F
F
Q
V
V
F
F
V
V
F
F
R
V
F
V
F
V
F
V
F
QŽR
P  (Q Ž R)
PQ
Que concluez-vous, , en observant les 5e et 8e colonnes ?
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PR
(P  Q) Ž (P  R)
Exercice 6 : Lois de De Morgan
1. Complétez la table de vérité ci-dessous :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
¬P
¬Q
PQ
¬ (P  Q)
(¬ P) Ž (¬ Q)
Que concluez-vous, en observant les 5e et 6e colonnes ?
2. Montrer de la même façon que ¬ (P Ž Q) = (¬ P)  (¬ Q).
Exercice 7
1. Complétez la table de vérité ci-dessous :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P‰Q
¬P
(¬ P)  Q
Séquence 1
Que concluez-vous , en observant les 3e et 5e colonnes ?
2. Déterminer la proposition contraire de la proposition P ‰ Q.
Usage des quantificateurs
Calcul
des propositions
et des prédicats
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Exercice 8
Soit P la proposition « tous les hommes sont mortels ».
1. Écrire P à l’aide du quantificateur universel.
2. Écrire ¬ P à l’aide du quantificateur existentiel.
Exercice 9
Soient x et y des variables réelles
1. Est-ce que la proposition Q : « šy, ™x, y = 2x » est vraie ?
2. Est-ce que la proposition R : « šy, šx, y = 2x » est vraie ?
3. Est-ce que la proposition S : « ™y, ™x, y = 2x » est vraie ?
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✒✒ Approfondissements
Exercice 10
Soient P et Q deux propositions logiques. La proposition ¬ Q ‰ ¬ P est appelée la
proposition contra posée de (P ‰ Q).
1. À l’aide d’une table de vérité montrer que (P ‰ Q) = (¬ Q ‰ ¬P).
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P‰Q
¬P
¬Q
(¬ Q) ‰ (¬ P)
2. Exprimer à l’aide d’une phrase en français la proposition contra posée des propositions « s’il pleut alors le sol est mouillé », « si le soleil ne brille pas je reste à la maison ».
3. Exprimer à l’aide d’une phrase en français la proposition contraire des propositions précédentes.
Séquence 1
Calcul
des propositions
et des prédicats
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Exercice 11
Soient P et Q deux propositions logiques. La proposition Q ‰ P est appelée proposition réciproque de (P ‰ Q).
1. Donner la proposition réciproque des propositions vraies :
« a = 3 ‰ a2 = 9 », « a = 3 ‰ a3 = 27 ».
2. Est-ce que les propositions réciproques sont vraies ?
Exercice 12 : Le connecteur « Nand »
Soient P et Q deux propositions logiques. On appelle connecteur Nand le connecteur logique qui à P et Q associe la proposition notée Nand (P, Q) ou P|Q définie
par P|Q = ¬ (P Ž Q).
1. Déterminer la proposition P|P.
2. Écrire à l’aide du seul connecteur « Nand » les propositions :
¬ P, P  Q, P Ž Q et P ‰ Q.
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Exercice 13
1. Soient x et y des variables réelles et P la proposition :
1
« ™x, šy, y = x ».
2
a) Est-que P est une proposition vraie ?
b) Énoncer ¬ P.
2. Soient x et y des variables entières et P la proposition :
1
« ™x, šy, y = x ».
2
a) Donner un exemple montrant que ¬ P est vraie.
b) En déduire la valeur de vérité de la proposition P.
Exercice 14
Soient x et y des variables réelles. On considère les prédicats :
P (x) : « x2 + 4 > 0 », Q (x) : « x + 4 = 0 », R (x, y) : « x2 + y2 > 0 ».
1. À l’aide du quantificateur universel transformer P (x) en proposition vraie ; à l’aide du quantificateur existentiel transformer Q (x) en proposition vraie ; et à l’aide
de deux quantificateurs universels transformer R (x, y) en proposition fausse.
2. Donner alors la négation de ces propositions.
Séquence 1
Calcul
des propositions
et des prédicats
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