TD2

TD 2 Écrouissage cinématique non linéaire
M. François, Master 2 de Mécanique Numérique. Université de Nantes.
25 septembre 2012
1 Rochet
Soumise à un chargement alterné en contrainte (σA , σB , σA , σB , · · ·) induisant de la plasticité à
chaque cycle, un métal peut présenter trois types de comportements (Fig. 1). Le phénomène d’adaptation est dû à un écrouissage cinématique et alors la pièce travaille en élasticité et ne risque plus de
se casser. Au contraire les deux autres comportements continuent d’induire de la plasticité, fatiguent
la pièce et peuvent mener à rupture. Enfin le comportement de rochet est particulièrement crucial
car il conduit à un allongement de la pièce à chaque cycle !
Nous allons étudier la réponse du modèle ECNL à de tels cycles. Les constantes du modèle sont
classiquement γ et C.
F IGURE 1 – Essai à cycle en contraintes imposées : (a) rochet, (b) accommodation et (c) adaptation
On suppose donc des cycles tels que la plasticité se produise à chaque cycle : σ y < −σB < σA < C/γ.
– Sans calculs, représenter le cycle avec l’évolution de X en indiquant où l’on mesure σ y .
– Préciser X A et X B en fonction de σA et σB .
– Pour la décharge AB et puis pour la charge BA’ calculer les variations de déformation plastique
p
p
p
p
εB − εA et εA0 − εB correspondantes.
p
p
– En déduire l’incrément de déformation plastique ∆εp = εA0 − εA à chaque cycle. Qu’en concluet-on pour un cycle symétrique en contraintes σA + σB = 0 ? Et quel type de comportement est
obtenu pour un cycle non symétrique ?
1
– Quel modèle de comportement permettrait de représenter le rochet suivi d’une adaptation ?
2 Stabilisation des cycles en déformation
La figure suivante représente la réponse du modèle ECNL à une traction préalable, suivie de cycles
en déformation. On observe que le niveau de contraintes, tout d’abord très décentrées vers la traction,
se stabilise progressivement vers un niveau de moyenne nulle. Ce phénomène de stabilisation des
cycles est très important pour la mise en forme des pièces et leur durée de vie ; il est bien décrit par le
modèle ECNL.
F IGURE 2 – Réponse du modèle ECNL à une traction suivie de cycles en déformation
On suppose dès a présent que l’on se trouve (asymptotiquement) au cycle équilibré, c’est à dire
que σB + σA = 0. On cherche le demi-incrément de déformation plastique ∆εp au cycle équilibré en
fonction de σA et σB .
p
p
– représenter ∆p = εB − εA et ∆X = X B − X A sur la figure.
– Calculer X B en fonction X A et ∆p.
– Préciser la valeur de X A + X B lors du cycle stabilisé et en déduire ∆X en fonction de ∆p.
– Vérifier cette relation en cherchant la valeur de ∆X pour un ECNL saturé, c’est à dire quand
|X| → C/γ
– En déduire ∆p en fonction de ∆σ = σB − σA et des constantes matériau. Expliquer l’intérêt pratique de la relation, pour un métal dont le dommage croit en fonction de p.
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