1ère L OPTION PERSPECTIVE PARALLELE

1ère L OPTION
PERSPECTIVE PARALLELE : L’essentiel à savoir
Les propriétés que nous avons pu observer en analysant différentes ombres, obtenues au soleil, du squelette d’un cube sont des
propriétés géométriques d’une transformation de l’espace que l’on appelle perspective parallèle.
δ
-I- Définition : Soient un plan P et une droite δ non parallèle à P.
A tout point M de l’espace, on fait correspondre le point m,
intersection du plan P avec la parallèle à δ passant par M :
M
Cette « transformation » est appelée
perspective parallèle sur le plan P parallèlement à la droite δ .
Le plan P est le plan de projection de la perspective et la direction de δ est sa direction.
m
-II- Propriétés de la perspective parallèle :
1.
Dans une perspective parallèle, l’image d’un segment est un segment.
P
2. Tout objet situé dans un plan parallèle au plan P
de projection a une image « en vraie grandeur » dans P.
A
3. La perspective parallèle « conserve »
le milieu d’un segment, et, plus généralement
les rapports de longueurs sur une même droite :
I
I milieu de [AB] et i milieu de [ab] ;
AC ac
C
= .
AB ab
4. L’image d’un parallélogramme est un parallélogramme.
a
i
B
c
Démonstration : C’est une conséquence de la propriété 3.
En effet Soit ABCD un parallélogramme et abcd son image
b
dans une perspective parallèle sur un plan P, de direction δ .
ABCD étant un parallélogramme, le milieu I de la diagonale [AC] est aussi
le milieu de la diagonale [BD]. La conservation du milieu d’un segment permet
de déduire que le quadrilatère abcd a ses diagonales qui se coupent en leur milieu i, image de I par la perspective parallèle.
5.
La perspective parallèle conserve le parallélisme.
C’est une conséquence immédiate de la propriété 4.
Une conséquence de cette propriété est que la taille des objets
représentés dans le plan P reste la même, que ceux-ci soient situés
au premier plan ou en arrière plan.
a’
a
δ
Remarque : La perspective parallèle ne conserve pas l’orthogonalité.
6. Une droite parallèle au plan de projection a son image qui lui est parallèle .
A chaque direction correspond un rapport de réduction.
b
d’
d
( à démontrer : théorème du toit )
7.
b’
c’
c
P
Pour un segment [AA’] d’image [aa’] dans la perspective parallèle
aa '
= k , k est un réel positif.
de direction δ sur un plan P. On pose :
AA '
Soit un segment [BB’] parallèle à [AA’], comme le rapport des longueurs est conservé (propriété 3), on a
AA ' aa '
=
donc
BB' bb '
aa '
bb '
=
=k.
AA ' BB '
Autrement dit, le rapport de la longueur du segment image par la longueur du segment que l’on projette est le même pour tout
segment parallèle à (AA’). C’est le rapport de réduction selon la direction (AA’).
Remarque : Attention, le mot « réduction » est trompeur. Le réel k peut être supérieur à 1. Dans ce cas la longueur du segment image
est plus grande que celle du segment projeté. C’est par exemple le cas sur le dessin ci-dessus : [ac] est sur la face frontale, il est donc
dessiné en vraie grandeur. Or les diagonales des faces d’un cube sont d’égales longueur, pourtant ab’>ac sur le dessin. Le rapport de
réduction selon la direction (AB’) est plus grand que 1.
Insistons au passage : le rapport de réduction n’est pas le même pour des directions différentes : Sur le dessin ci-dessus, le rapport de
réduction selon la direction (AA’) est plus petit que 1.
8.
Une perspective parallèle est entièrement déterminée par la perspective d’un cube (on d’un coin de pavé droit).
Cette propriété est admise. Elle signifie que dès que l’image d’un cube (ou d’un pavé droit) est donnée, on n’a plus le choix pour
représenter n’importe quel objet de l’espace : l’image de cet objet devra être obtenu par des constructions géométriques.
Dernière remarque : La perspective cavalière est un cas particulier de perspective parallèle, dans laquelle une face du cube de
référence est frontale (c'est-à-dire parallèle au plan de projection).