Le tenseur d`inertie - Olivier Castéra
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Le tenseur d`inertie - Olivier Castéra
TENSEUR D’INERTIE OLIVIER CASTÉRA Résumé. Le tenseur d’inertie calculé dans le repère principal d’inertie ayant pour centre le centre d’inertie d’un solide est une caractéristique intrinsèque de ce solide. Il apparait naturellement lorsque l’on calcule le moment cinétique d’un solide par rapport à son centre d’inertie, ou son énergie cinétique de rotation. Table des matières 1. Moment d’inertie 2. Tenseur d’inertie 3. Repère principal d’inertie 3.1. Moments principaux d’inertie 3.2. Axes principaux d’inertie 3.3. Ellipsoı̈de d’inertie 3.4. Théorème de Huygens 4. Moment cinétique 4.1. Moment cinétique par rapport à un point 4.2. Projection du moment cinétique sur l’axe de rotation 4.3. Lien entre tenseur d’inertie et moment d’inertie 5. Energie cinétique d’un solide 6. Annexe 1 2 5 5 6 6 7 8 8 10 11 11 12 1. Moment d’inertie Soit un solide S et soit ∆ un axe quelconque ne passant pas nécessairement par S, de direction fixe dans le repère (R). Date: 22 novembre 2015. 1 2 OLIVIER CASTÉRA ∆ + r (S) + Le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ∆ est un scalaire qui caractérise l’inertie en rotation du solide S autour de l’axe ∆. Définition 1.1. Moment d’inertie Le moment d’inertie d’un système par rapport à un axe ∆, est la somme des masses mi de ce système, pondérées par leurs distances ri à l’axe au carré : X ∆ I∆ = mi ri2 i Dans le cas d’un système continu : Définition 1.2. Moment d’inertie Le moment d’inertie par rapport à un axe ∆, d’un solide S de volume V et de masse volumique ρ(x, y, z), a pour expression : ZZZ ∆ I∆ = ρ r 2 d3 V V Le moment d’inertie dépend du choix de l’axe ∆ mais pas du choix du repère (R), car seule la distance à l’axe intervient. Remarque. Lorsque le solide est homogène, sa densité est constante dans l’espace et l’on peut sortir ρ de l’intégrale de volume. 2. Tenseur d’inertie Cherchons l’expression du moment d’inertie par rapport à un axe quelconque ∆, en fonction du tenseur d’inertie. Soit (R) un repère orthonormé dont le centre O est sur l’axe ∆. Soit un élément de volume du solide S, de masse dm, situé au point M tel que OM (x, y, z). Soit u(α, β, γ) un vecteur unitaire de l’axe ∆, et soit H la projection orthogonale de M sur l’axe ∆, tel que r = MH. TENSEUR D’INERTIE 3 ∆ u (S) H+ r z (R) O + M y x En appliquant le théorème de pythagore dans le triangle OMH rectangle en H : MH 2 = OM 2 − OH 2 = OM 2 − (OM · u)2 = x2 + y 2 + z 2 − (αx + βy + γz)2 Le vecteur u étant unitaire : u · u = α2 + β 2 + γ 2 =1 si bien que : MH 2 = (α2 + β 2 + γ 2 )(x2 + y 2 + z 2 ) − (αx + βy + γz)2 = (x2 + y 2 + z 2 )α2 + (x2 + y 2 + z 2 )β 2 + (x2 + y 2 + z 2 )γ 2 − α2 x2 + β 2 y 2 + γ 2 z 2 + 2xyαβ + 2yzβγ + 2xzαγ = (y 2 + z 2 )α2 + (x2 + z 2 )β 2 + (x2 + y 2 )γ 2 − 2xyαβ − 2yzβγ − 2xzαγ Ecrivons l’expression du moment d’inertie par rapport à l’axe ∆ : ZZZ I∆ = ρ MH 2 dV V Z Z Z 2 2 3 2 2 2 3 2 2 ρ(x2 + y 2 )d3 V ρ(x + z )d V + γ ρ(y + z )d V + β =α V V Z Z Z V − αβ ρ 2xy d3 V − βγ ρ 2yz d3 V − αγ ρ 2xz d3 V (1) V V V 4 OLIVIER CASTÉRA Nous pouvons écrire cette expression sous la forme de deux produits : R R R 2 2 3 α ρ(y V R−β ρ xyd3V −γ R ρ xzd3 V α R + z )d 3 2 2 3 3 β −α R ρ xyd V β ρ(x I∆ = R + z 3)d V R−γ 2ρ yzd2 V3 3 −α ρ xzd V −β ρ yzd V γ ρ(x + y )d V γ R R R ρ(yR2 + z 2 )d3 V R − ρ xyd3 V − R ρ xzd3 V α α ρ(xR2 + z 2 )d3 V R − ρ yzd3 V β β = − R ρ xyd3V − ρ xzd3 V − ρ yzd3 V ρ(x2 + y 2 )d3 V γ γ = [I]O u · u (2) = u · [I]O u où [I]O est le tenseur d’inertie du solide S calculé au centre O du repère (R). La première opération effectuée, [I]O u, est la multiplication d’une matrice par un vecteur colonne, elle redonne un vecteur colonne. La seconde opération est alors le produit scalaire de deux vecteurs. Le tenseur d’inertie dépend du choix du centre O et de l’orientation des axes du repère (R), comme on peut le constater dans l’expression de ses éléments. Par contre, il ne dépend pas du choix de l’axe ∆. Dans l’expression du premier terme diagonal, y 2+z 2 est la distance au carré à l’axe x. Les termes diagonaux sont par conséquent les moments d’inertie par rapport aux axes x, y, z du repère (R). Les opposés des termes non diagonaux sont appelés produits d’inertie. Exemple. Supposons que l’axe ∆ soit confondu avec l’axe des z : Iz = [I]O k · k R 2 R (y R+ z 2 )d3 V R − xyd3V (x2R+ z 2 )d3 V = ρ − R xyd3V 3 − xzd V − yzd3 V RRR − RRR xzd3 V 0 3 − yzd V 0 = ρ RRR 2 2 3 (x + y )d V 1 ZZZ =ρ (x2 + y 2)d3 V R 0 0 − R xzd3 V 3 00 − yzd V R 2 (x + y 2)d3 V 1 1 qui est le moment d’inertie par rapport à l’axe z. Définition 2.1. Tenseur d’inertie Le tenseur d’inertie calculé au centre O d’un repère (R), d’un solide de volume V et de masse volumique ρ, s’écrit : RRR RRR RRR ρ(y 2 + z 2 )d3 V RRR − ρ xyd3V − RRR ρ xzd3 V RRR ∆ ρ(x2 + z 2 )d3 V RRR − ρ yzd3 V [I]O = − RRR ρ xyd3 V RRR − ρ xzd3 V − ρ yzd3 V ρ(x2 + y 2 )d3 V TENSEUR D’INERTIE ⇒ 5 ↔ ˆ I , I . Cependant, Notation. Le tenseur [I] est aussi noté I, I , I , I, = ≈ c’est la notation indicielle de ses éléments Iij qui s’est imposée pour des raisons pratiques lors de la résolution d’équations : Ixx −Ixy −Ixz [I]O = −Iyx Iyy −Iyz −Izx −Izy Izz Il faut deux indices pour repérer ses éléments, c’est donc un tenseur d’ordre deux. Il est symétrique : Iij = Iji Chaque indice pouvant prendre trois valeurs, x, y ou z, il appartient à un espace vectoriel de dimension 3. Les signes négatifs sont conventionnels. La dimension de l’espace puissance l’ordre du tenseur donne le nombre de composantes du tenseur, soit 32 = 9 composantes. 3. Repère principal d’inertie Comme tout tenseur symétrique d’ordre deux, le tenseur d’inertie en tout point O peut être diagonalisé 1. 3.1. Moments principaux d’inertie. Cherchons les vecteur propres non nuls P (x, y, z) liés au point O tels que l’on ait l’équation aux valeurs propres suivante : [I]O P = IP où I est un scalaire. Soit donc à résoudre le système d’équations linéaires homogènes : (Ixx − I)x + Ixy y + Ixz z = 0 Iyx x + (Iyy − I)y + Iyz z = 0 I x + I y + (I − I)z = 0 zx zy zz Ce système admet des solutions non triviales si le déterminant des coefficients s’annule, Ixx − I I I xy xz Iyx Iyy − I Iyz = 0 Izx Izy Izz − I ce qui donne l’équation caractéristique d’ordre trois en I : (Ixx − I)[(Iyy − I)(Izz − I) − Izy Iyz ] − Iyx [Ixy (Izz − I) − Izy Ixz ] + Izx [Ixy Iyz − (Iyy − I)Ixz ] = 0 1. Voir Algebre lineaire.pdf 6 OLIVIER CASTÉRA Les trois racines Ix , Iy , Iz de ce polynôme sont les valeurs propres du tenseur d’inertie, et sont les moments principaux d’inertie au point O. Nous obtenons alors le tenseur principal d’inertie au point O : Ix 0 0 0 Iy 0 0 0 Iz 3.2. Axes principaux d’inertie. Cherchons les directions des trois vecteurs propres qui forment le référentiel d’inertie de centre O. Commençons par le vecteur propre associé à la valeur propre Ix : Ixx − Ix Ixy Ixz Iyx Iyy − Ix Iyz Izx Izy Izz − Ix où les vecteurs colonne sont linéairement dépendants. En utilisant par exemple la première ligne, on choisit les valeurs des coordonnées du premier vecteur propre P 1 (x1 , y1 , z1 ), telles que l’on ait : (Ixx − Ix ) x1 + Ixy y1 + Ixz z1 = 0 Ainsi P 1 est défini à un facteur multiplicatif près, et nous avons donc sa direction. Nous procédons de même pour les deux autres vecteurs propres. Les vecteurs propres sont les axes principaux d’inertie qui forment le repère principal d’inertie (O, P 1 , P 2 , P 3 ) dans lequel le tenseur d’inertie est diagonal. Ainsi, il existe un repère principal d’inertie en tout point O. En particulier, le tenseur d’inertie calculé dans le repère principal d’inertie ayant pour centre le centre d’inertie G du système, est une caractéristique intrinsèque de ce système (elle ne dépend que du système), comme le sont sa masse, son volume ou sa charge électrique. C’est la répartition des masses du solide S, pondérée par la distance au centre d’inertie au carré. 3.3. Ellipsoı̈de d’inertie. Soit un solide S, et soit un repère (R) de centre O. Le tenseur d’inertie [I]O est donc fixé. Soit ∆ un axe de rotation quelconque, de vecteur TENSEUR D’INERTIE 7 unitaire u(α, β, γ) : I∆ = [I]O u · u Ixx −Ixy −Ixz α α −I I −I β β = xy yy yz −Ixz −Iyz Izz γ γ Ixx α − Ixy β − Ixz γ α = −Ixy α + Iyy β − Iyz γ β −Ixz α − Iyz β + Izz γ γ = Ixx α2 + Iyy β 2 + Izz γ 2 − 2Ixy βα − 2Ixz γα − 2Iyz βγ on retrouve l’équation (1). C’est l’équation d’un ellipsoı̈de, appelé ellipsoı̈de d’inertie, dans laquelle les composantes du tenseur d’inertie sont des paramètres. Pour chaque axe ∆ défini par une direction u, autrement dit pour chaque ensemble de valeurs (α, β, γ), l’équation donne une valeur pour le moment d’inertie I∆ du solide S. De même qu’un vecteur peut être représenté par une flèche, un tenseur symétrique d’ordre deux peut être représenté par un ellipsoı̈de. 3.4. Théorème de Huygens. Théorème 3.1. Soit ∆G un axe parallèle à l’axe ∆ et passant par le centre d’inertie G d’un solide S de masse m. Soit a = KH la distance entre ces deux axes, où K ∈ ∆G et H ∈ ∆, alors : I∆ = I∆G + a2 m Démonstration. ZZZ I∆ = ρ (MH)2 d3 V ZZZ = ρ (MK + KH) · (MK + KH) d3 V ZZZ ZZ Z ZZZ 2 3 2 3 = ρ (MK) d V + ρ (KH) d V + 2 ρ MK · KH d3 V ZZZ 2 = I∆ G + a m + 2 ρ (MG + GK) · KH d3 V Le vecteur KH étant constant : ZZZ ZZZ 2 3 I∆ = I∆G + a m + 2KH · ρ MG d V + 2 ρ GK · KH d3 V RRR Par définition du centre d’inertie, ρ MG d3 V = 0. De plus, GK ⊥ KH, d’où : I∆ = I∆G + a2 m 8 OLIVIER CASTÉRA 4. Moment cinétique Définition 4.1. Moment cinétique Le moment cinétique 2 par rapport à un point quelconque O, d’un corps situé en M, est le produit vectoriel du rayon vecteur OM par la quantité de mouvement p de ce corps. ∆ σ /O = OM × p 4.1. Moment cinétique par rapport à un point. Le moment cinétique d’un solide ou d’un système dépend du point par rapport auquel il est calculé. En effet, soient O et O ′ deux points distincts d’un repère R, le moment cinétique par rapport au point O ′ d’un point massique M de quantité de mouvement p s’écrit : σ O′ (M) = O’M × p = (O’O + OM) × p = O’O × p + OM × p = O’O × p + σ O (M) σ O′ σO P + M O ⊙ ⊙ O′ Le terme O’O × p permet de passer du moment cinétique au point O, à celui au point O ′. Soit un solide S de masse volumique ρ, tournant avec la vitesse angulaire ω autour d’un axe ∆ de direction fixe dans (R). Si le solide S est libre alors l’axe de rotation passe obligatoirement par son centre d’inertie G, mais l’on envisage ici le cas plus général de la rotation d’un solide autour d’un axe quelconque, le solide S étant relié à l’axe de rotation. Calculons le moment cinétique par rapport au centre du référentiel O situé sur l’axe ∆. 2. Voir Mecanique classique.pdf TENSEUR D’INERTIE 9 ∆ z (S) ω (R) v ⊗M O x y Considérons un élément de volume du solide S, de masse dm, de volume d3 V , de vitesse v, situé au point M. Son moment cinétique dans (R) par rapport au point O s’écrit : dσ R O (M) = OM × v dm L’axe de rotation ∆ passant par le point O, la vitesse du point M s’écrit v = ω × OM dσ R O (M) = OM × (ω × OM) dm = ρ OM × (ω × OM) d3 V Le moment cinétique total du solide S s’obtient par intégration sur son volume total : ZZZ R σ O (S) = ρ OM × (ω × OM) d3V Développons le double produit vectoriel : x ωx x ωy × y OM × (ω × OM) = y × z ωz z x ωy z − ωz y = y × ωz x − ωx z z ωx y − ωy x ωx y 2 − ωy xy − ωz xz + ωx z 2 = ωy z 2 − ωz yz − ωx yx + ωy x2 ωz x2 − ωx zx − ωy zy + ωz y 2 ωx (y 2 + z 2 ) − ωy xy − ωz xz = −ωx yx + ωy (x2 + z 2 ) − ωz yz −ωx zx − ωy zy + ωz (x2 + y 2 ) 10 OLIVIER CASTÉRA D’où l’expression du moment cinétique : RRR ρ [ωx (y 2 + z 2 ) − ωy xy − ωz xz] d3 V RRR 2 2 ωz yz] d3 V σR O (S) = RRR ρ [−ωx yx + ωy (x + z ) − 2 ρ [−ωx zx − ωy zy + ωz (x + y 2 )] d3 V RRR RRR RRR ωx RRRρ (y 2 + z 2 )d3 V RRR − ωy ρ xyd3V − ωz RRRρ xzd3 V − ωz ρ yzd3 V = −ωx RRR ρ xyd3V + ωy RRR ρ (x2 + z 2 )d3 VRRR −ωx ρ xzd3 V − ωy ρ yzd3 V + ωz ρ (x2 + y 2)d3 V RRR RRR RRR 2 2 3 3 3 ωx ρ (y + z )d V − ρ xyd V − ρ xzd V RRR RRR RRR ωy ρRRR (x2 + z 2 )d3 V RRR − ρ yzd3 V = − RRR ρ xyd3V − ρ xzd3 V − ρ yzd3 V ρ (x2 + y 2)d3 V ωz Cette expression est de la forme : σR O (S) = [I]O ω où [I]O est le tenseur d’inertie du solide S, au point O dans le repère (R). 4.2. Projection du moment cinétique sur l’axe de rotation. Soit u le vecteur unitaire porté par l’axe de rotation ∆ : ω = ωu R et soit σ∆ (S) la projection du moment cinétique sur l’axe de rotation ∆. Soit MH la distance du point M à l’axe de rotation. En utilisant le théorème 6.2 de l’analyse vectorielle donné en annexe, on a : R σ∆ (S) = σ R O (S) · u ZZZ = ρ OM × (ω × OM) d3 V · u ZZZ = ρ [ω(OM · OM) − OM(OM · ω)] d3 V · u ZZZ =ω ρ u · u (OM)2 − (OM · u)(OM · u) d3 V ZZZ =ω ρ (OM)2 − (OH)2 d3 V ZZZ =ω ρ (MH)2 d3 V Cette expression est de la forme : R σ∆ (S) = I∆ ω (3) où le scalaire I∆ est le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ∆. TENSEUR D’INERTIE 11 ∆ σ∆ O× σO (S) ω H v ⊗M 4.3. Lien entre tenseur d’inertie et moment d’inertie. Soit u le vecteur unitaire porté par l’axe de rotation ∆. Alors : R σ∆ (S) = σ R O (S) · u = [I]O ω · u = [I]O u · u ω Par conséquent, avec l’équation (3) : I∆ = [I]O u · u Nous retrouvons l’équation (2). 5. Energie cinétique d’un solide Soit O un point quelconque d’un référentiel inertiel (R). Soit S un solide de masse m, de volume V et de masse volumique ρ. On considère un élément du solide S, de masse dm, de volume d3 V situé au point M. Soient v sa vitesse en translation dans (R), et ω sa vitesse de rotation. Son énergie cinétique dT s’écrit : dT = = = = 1 2 ρ 2 ρ 2 ρ 2 v 2 dm v 2 d3 V (v + ω × OM)2 d3 V 2 v + 2v(ω × OM) + (ω × OM)2 d3 V 12 OLIVIER CASTÉRA L’énergie cinétique totale T s’obtient par intégration sur le volume total du solide S : ZZZ ZZ Z ZZZ ρ 2 3 ρ 3 T = v d V+ ρ v(ω × OM) d V + (ω × OM)2 d3 V 2 2 ZZZ ZZ Z ZZZ ρ 3 ρ 2 3 =v dV + ρ OM(v × ω) d V + (ω × OM)2 d3 V 2 2 ZZZ ZZZ 3 1 mv2 ρ OM d V + 2 ρ (ω × OM)2 d3 V = 2 + (v × ω) Le premier terme est l’énergie cinétique de translation du solide S. En choisissant l’origine du système de coordonnées d’inertie G du RRR au centre solide S, le deuxième terme s’annule car ρ GM d3 V = 0. Calculons le dernier terme grâce au théorème 6.4 de l’analyse vectorielle donné en annexe : (ω × GM)2 = ω 2(GM)2 − (ω · GM)2 = (ωx2 + ωy2 + ωz2 )(x2 + y 2 + z 2 ) − (ωx x + ωy y + ωz z)2 = (ωx2 + ωy2 + ωz2 )(x2 + y 2 + z 2 ) − ωx2 x2 + ωy2y 2 + ωz2 z 2 + 2 (ωx xωy y + ωx xωz z + ωy yωz z)] = ωx2 (y 2 + z 2 ) + ωy2 (x2 + z 2 ) + ωz2 (x2 + y 2) − 2(ωx xωy y + ωx xωz z + ωy yωz z) Ce scalaire peut s’écrire sous la forme suivante : ωx (y 2 + z 2 ) − ωy xy − ωz xz ωx 2 2 2 ωy (ω × GM) = −ωx yx + ωy (x + z ) − ωz yz 2 2 −ωx zx − ωy zy + ωz (x + y ) ωz 2 ωx ωx y + z 2 −xy −xz 2 2 ω ωy −xy x + z −yz = y 2 2 ωz ωz −xz −yz x +y D’où l’expression du dernier terme : R R R 2 2 3 3 3 ρ (y + z )d V − ρ xyd V − ρ xzd V ωx ωx R R R 1 2 2 3 3 ωy ωy − R ρ xyd3V ρ (x + z )d V − ρ yzd V R R 2 − ρ xzd3 V − ρ yzd3 V ρ (x2 + y 2)d3 V ωz ωz L’énergie cinétique T s’écrit sous la forme : T = 21 mv2 + 21 [I]G ω · ω où [I]G est le tenseur d’inertie du solide S, au centre d’inertie G. 6. Annexe Théorème 6.1. Permutation circulaire A · (B × C) = (A × B) · C TENSEUR D’INERTIE 13 Démonstration. Ax By Cz − Bz Cy A · (B × C) = Ay . Bz Cx − Bx Cz Az Bx Cy − By Cx = Ax (By Cz − Bz Cy ) + Ay (Bz Cx − Bx Cz ) + Az (Bx Cy − By Cx ) = Ax By Cz − Ax Bz Cy + Ay Bz Cx − Ay Bx Cz + Az Bx Cy − Az By Cx et, Ay Bz − Az By Cx (A × B) · C = Az Bx − Ax Bz . Cy Ax By − Ay Bx Cz = (Ay Bz − Az By )Cx + (Az Bx − Ax Bz )Cy + (Ax By − Ay Bx )Cz = Ay Bz Cx − Az By Cx + Az Bx Cy − Ax Bz Cy + Ax By Cz − Ay Bx Cz Théorème 6.2. A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B) Démonstration. et, Ax By Cz − Bz Cy A × (B × C) = Ay × Bz Cx − Bx Cz Az Bx Cy − By Cx Ay (Bx Cy − By Cx ) − Az (Bz Cx − Bx Cz ) = Az (By Cz − Bz Cy ) − Ax (Bx Cy − By Cx ) Ax (Bz Cx − Bx Cz ) − Ay (By Cz − Bz Cy ) Ay Bx Cy − Ay By Cx − Az Bz Cx + Az Bx Cz = Az By Cz − Az Bz Cy − Ax (Bx Cy + Ax By Cx ) Ax Bz Cx − Ax Bx Cz − Ay (By Cz + Ay Bz Cy ) B(A · C) − C(A · B) = B(Ax Cx + Ay Cy + Az Cz ) − C(Ax Bx + Ay By + Az Bz ) Bx (Ax Cx + Ay Cy + Az Cz ) − Cx (Ax Bx + Ay By + Az Bz ) = By (Ax Cx + Ay Cy + Az Cz ) − Cy (Ax Bx + Ay By + Az Bz ) Bz (Ax Cx + Ay Cy + Az Cz ) − Cz (Ax Bx + Ay By + Az Bz ) Bx Ay Cy + Bx Az Cz − Cx Ay By − Cx Az Bz ) = By Ax Cx + By Az Cz − Cy Ax Bx − Cy Az Bz Bz Ax Cx + Bz Ay Cy − Cz Ax Bx − Cz Ay By Application. Pour A = C = oM et B = ω, on a : oM × (ω × oM) = ω(oM · oM) − oM(oM · ω) 14 OLIVIER CASTÉRA Théorème 6.3. (A × B) × C = B(A · C) − A(B · C) Démonstration. (A × B) × C = −C × (A × B) et avec le théorème 6.2, en remplaçant A par C, B par A, et C par B, (A × B) × C = −[A(C · B) − B(C · A)] = B(A · C) − A(B · C) Théorème 6.4. (A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C) Démonstration. D’après le théorème 6.1 : X · (C × D) = (X × C) · D On pose X = A × B, alors (A × B) · (C × D) = [(A × B) × C] · D et avec le théorème 6.3 : (A × B) · (C × D) = [B(A · C)] − A(B · C)] · D = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C) Application. Pour A = C = ω et B = D = GM, on a : (ω × GM)2 = (ω · ω)(GM · GM) − (ω · GM)(GM · ω) = ω 2(GM)2 − (ω · GM)2 E-mail address: [email protected] URL: http://o.castera.free.fr/