I) Instabilité : II) Décroissance radioactive :

I) Instabilité :
Un noyau est un assemblage de Z protons (charges +e) et de N neutrons (neutres) soit A=Z+N
nucléons, qui résulte de l’équilibre entre deux interactions antagonistes :
- interaction coulombienne entre les protons chargés positivement (répulsion
coulombienne proportionnelle à Z)
- interaction nucléaire forte entre les nucléons (cohésion proportionnelle à A).
Deux cas sont alors possibles :
1) Soit l’équilibre entre les deux interactions est parfaite, et alors on dit que le noyau est
stable (il demeure dans son état initial de structure d’énergie).
2) Soit l’équilibre n’est pas parfait et alors le noyau est dit instable ou radioactif (il va
subir des transformations spontanées modifiant sa structure interne pour gagner en
stabilité).
II) Décroissance radioactive :
1) Constante radioactive λ d’un nucléide :
La constante radioactive λ (ou constante de désintégration) est la probabilité de
désintégration par unité de temps (seconde) d’un noyau.
[λ] = T-1
La constante radioactive λ est la même pour tous les noyaux d’une même espèce, soit pour un
nucléide particulier.
λ est indépendante de l’âge du noyau et des conditions physiques et chimiques dans lesquelles
se trouvent le noyau.
2) Activité d’un échantillon :
a) L’activité d’un échantillon :
L’activité A d’un échantillon de matière radioactive est le nombre de désintégrations
subies par cet échantillon par unité de temps à l’instant t.
Soit pour un échantillon contenant N noyaux instables :
A= −
dN
= λ .N
dt
b) Calcul de l’activité A d’un échantillon de m grammes de matière
radioactive :
On a A = λ.N
et
N=
m
NA
M
On obtient donc :
A=
m
λ .N A
M
m : masse de l’échantillon en gramme
M : masse molaire de l’échantillon (en g.mol-1)
λ : constante radioactive (en s-1)
NA : nombre d’Avogadro (NA = 6,022 1023 atomes/mol)
c) Loi de décroissance radioactive :
On sait que −
dN
= λ .N
dt
dN
= −λ .dt
N
On intègre cette équation :
on a donc
dN = -λ.N.dt
Soit
lnN = -λt + C
(ou C est une constante)
On suppose que N(t0) = N0
Donc on a :
lnN(t0) = -λt0 + C = lnN0
D’où :
C = lnN0 + λt0
Et donc
lnN = -λt +lnN0 + λt0
lnN = λ(t0-t) + lnN0
N
ln
= λ (t 0 − t )
N0
N
= exp[λ (t 0 − t )]
N0
N(t) = N0 exp[λ(t0-t)]
Si on suppose que t0 = 0 alors on a N(t) = N0 exp(-λt)
d) Variation d’un échantillon de matière radioactive :
On sait que
A(t) = λ.N(t) = λ.N0 exp[λ(t0-t)]
On pose : A(t0) = λ N0 = A0
Et on obtient :
A(t) = A0 exp[λ(t0-t)]
Conclusion : A(t) diminue de manière exponentielle dans le temps.
e) Définition de la période ou demi-vie :
La période ou demi-vie (notée τ1/2) d’un échantillon radioactif est le temps au bout duquel
nombre N de noyaux instables (ou l’activité A de l’échantillon) est divisé par deux.
Lien entre τ1/2 et λ :
τ1/2 est tel que :
N(t0+ τ1/2) = N0 exp(-λ τ1/2) =
Donc on a :
exp(-λ τ1/2) = ½
Soit :
τ1/2 =
ln 2
λ
=
N0
2
0,693
λ
Représentation graphique de A(t) ou N(t) (équivalents):
La loi traduisant l’évolution au cours du temps du nombres de noyaux instables restant
(donc traduisant l’activité de l’échantillon) est une loi de type exponentielle. Il faut donc
absolument bannir tout raisonnement de proportionnalité en physique nucléaire, deux demivies ne font pas une vie ! A l’issue de deux demi-vies tous les noyaux n’ont pas disparu mais
seulement les trois quarts. On considère généralement qu’un radionucléide a totalement
disparu au bout d’une dizaine de demi-vies, c'est-à-dire lorsque son activité a été divisée par
1000. (voir page suivante)
Applications de la formule précédente :
● calcul du nombre d’atomes d’une source :
ln 2
A = λ.N =
N
τ 1/ 2
Soit
N=
τ 1/ 2
A
ln 2
● calcul de la masse d’une source :
m
N=
NA
M
Soit
M .N
m=
NA
Avec :
M : masse molaire de l’échantillon (g.mol)
N : nombre de noyaux instables (voir formule précédente)
NA : nombre d’Avogadro
Temps au bout duquel l’activité d’une source sera divisée par 1000 :
On peut démontrer que :
1
A(t) = A(t0) n
si
t-t0 = n τ1/2
2
Démonstration :
ln 2
ln 2
λ=
A(t) = A0exp[-λ(t-t0)] et
τ1/2 =
soit
λ
En posant
 ln 2

A(t) = A0 exp−
(t − t 0 )
 τ 1/ 2

t-t0 = n τ1/2
On obtient
A(t) = A(t0)exp(-n ln2)
Soit
A(t) = A(t0)
Donc
On veut A(t) = A0
Donc n # 10
Soit
τ 1/ 2
1
2n
1
1
=A0
n
1000
2
(car 210 = 1024 # 1000)
t-t0 = 10 τ1/2
Conclusion : l’activité d’une source est divisée par 1000 au bout de 10 période ou demi-vie.