Fiche TD 1 - L1 Économie-Gestion

INSTITUT SUPÉRIEUR D’ ÉCONOMIE ET DE MANAGEMENT
Université de Nice-Sophia Antipolis
ANNÉE UNIVERSITAIRE : 2013-2014
REF.
ANNÉE D’ÉTUDE : L1
MATIÈRE : STATISTIQUES ET OBSERVATIONS ECONOMIQUES II
PROFESSEUR : Julien BARRÉ
THÈME DE LA SÉANCE : Rappels sur les probabilités
Fiche TD 1 - L1 Économie-Gestion - Corrigé
Exercice 1 :
1. On doit choisir 2 représentants dans une classe de 40 élèves. Quel est le nombre de choix possibles ?
2 = 40 × 39/2
C40
2. On doit choisir un président et un vice-président dans un groupe de 40 personnes. Quel est le nombre
de choix possibles ?
40 × 39 (cette fois, l’ordre est important)
Exercice 2 :
Un chef d’entreprise doit choisir 4 employés (les 4 postes sont similaires) parmi 16 candidats (9 femmes
et 7 hommes).
1. Quel est le nombre de choix possibles ?
4
C16
2. Quel est le nombre de choix possibles si le chef d’entreprise veut : a) deux hommes et deux femmes ;
C92 × C72 (choix des 2H puis choix des 2F)
b) au moins un homme et au moins une femme.
C93 × C71 + C92 × C72 + C91 × C73 (on a 3H1F ou 2H2F ou 1H3F)
Exercice 3 :
1. Lors d’une conférence de l’ONU, des auditeurs de même nationalité s’assoient les uns à côté des
autres ; de combien de façon 3 français, 2 italiens, 6 américains et 2 chinois peuvent-ils prendre place
sur une rangée de sièges ?
24 = le nombre de permutations sur les nationalites.
2. Un acheteur doit faire immatriculer sa voiture. Les plaques d’immatriculation contiennent deux
lettres distinctes suivies de trois chiffres et de deux lettres distinctes. Combien de plaques différentes
peut-on avoir ?
26 × 25 × 1000 × 26 × 25
Exercice 4
Combien existe-t-il de mains différentes au poker (donne de 5 cartes parmi 32) comportant :
1. Un brelan d’As (3 As).
4 × 28 × 27/2 (choix de 3 as parmi 4, puis choix des 2 autres cartes ; ici, on a un brelan mais pas un
carré)
2. Un carré d’As (4 As).
28
3. Une paire d’As et une paire de rois.
6 × 6 × 24 (choix des 2 asparmi 4, des 2 rois, et de la dernière carte)
4. Une suite A, R, D, V, 10 quelles que soient les couleurs.
1
45
5. Un carré.
8 × 28
6. Au moins deux As.
3
6 × C30
Exercice 5 :
Dans une course il y a 12 chevaux au départ. Sans jouer, j’estime que chacun d’eux a la même chance
de gagner.
1. Calculer le nombre N de tiercés possibles, c’est-à-dire le nombre d’arrivées possibles des 12 chevaux
aux première, deuxième et troisième places (dans l’ordre).
N = 12 × 11 × 10
2. Calculer la probabilité de gagner le tiercé à l’aide d’un seul ticket : a) dans l’ordre ; 1/N
b) dans l’ordre ou dans le désordre : 6/N
Exercice 6 :
Une compagnie d’assurance fait remplir un formulaire à ses clients. La compagnie estime que 20% des
fumeurs vont mentir à la question : « Êtes-vous fumeur ? » Les non-fumeurs eux répondent toujours
la vérité à cette question. En supposant que 30% de la population fume, trouver la probabilité qu’un
client soit réellement non-fumeur lorsqu’il répond « Non ».
Formule de Bayes. . .
P(non) = 0.76
0.7
P(nonfumeur|non) = P(non|nonfumeur)P(nonfumeur)
= 0.76
P(non)
Exercice 7 :
Trois machines A, B, C produisent respectivement 60%, 30% et 10% de la production de pièces d’une
entreprise. La machine A produit 2%, B produit 3% et C produit 4% d’objets défectueux.
1. On choisit une pièce au hasard à la sortie de l’usine. Calculer la probabilité de l’événement : «la
pièce est défectueuse».
0.6 × 0.02 + 0.3 × 0.03 + 0.1 × 0.04 = 0.025
2. On choisit une pièce à la sortie de l’usine, on voit qu’elle est défectueuse. Calculer la probabilité de
l’événement : «cette pièce a été fabriquée par la machine B».
Formule de Bayes
0.3
P(B|defectueuse) = 0.03 0.025
Exercice 8 :
Les cartes Visa ont étudié la fréquence d’utilisation des cartes bancaires (de débit et de crédit) par les
jeunes consommateurs âgés de 18 à 24 ans pour régler leurs achats. Les résultats de cette étude ont
fourni les probabilités suivantes :
La probabilité qu’un consommateur utilise une carte bancaire lorsqu’il fait un achat est égale à 0,37
Sachant que le consommateur utilise une carte bancaire, il y a une probabilité égale à 0,19 que le
consommateur soit âgé de 18 à 24 ans. Sachant que le consommateur utilise une carte bancaire, il a
une probabilité égale à 0,81 que le consommateur ait plus de 24 ans. D’après le bureau américain du
recensement, 14% de la population des consommateurs est âgée de 18 à 24 ans.
1. Sachant que le consommateur a entre 18 et 24 ans, quelle est la probabilité qu’il utilise une carte
bancaire ?
Formule de Bayes
0.37
P(CB|18 − 24 ans) = 0.19 0.14
' 0.502
2. Sachant que le consommateur a plus de 24 ans, quelle est la probabilité qu’il utilise une carte
bancaire ?
0.37
' 0.348
P(CB|> 24 ans) = 0.81 0.86
3. Comment interpréter les probabilités trouvées aux questions 1) et 2) ?
2
Les jeunes ont plus tendance à utiliser une carte bancaire.
Exercice 9
Une boîte contient 3 pièces de monnaie : une des pièces est bien équilibrée, une autre est marquée avec
deux faces et la troisième est truquée pour que la probabilité de donner face soit égale à 1/3.
On choisit une des pièces au hasard et on la lance. Calculer la probabilité p pour que l’on obtienne
pile.
P(pile) = 31 12 + 13 12 + 13 23 = 59
Exercice 10
Une banque révise sa politique de carte de crédit avec un rappel d’une partie de celles-ci. Par le passé,
environ 5% des détenteurs d’une carte de crédit ont été insolvables et la banque a été incapable de
recouvrer les soldes impayés. Par conséquent, la direction a estimé égale à 0,05 la probabilité qu’un
détenteur de carte de crédit soit insolvable. La banque a également découvert que la probabilité de ne
pas honorer un paiement mensuel est de 0,2 pour les clients solvables. Bien entendu, la probabilité de
ne pas honorer un paiement mensuel pour les clients insolvables est de 1.
1. Sachant qu’un client n’a pas honoré un paiement mensuel, calculer la probabilité a posteriori que le
client soit insolvable.
Formule de Bayes
P(insolvable|non paiement) = 1 × 0.05/(0.05 + 0.2 × 0.95) ' 0.208
2. La banque voudrait reprendre sa carte de crédit si la probabilité qu’un client soit insolvable est
supérieure à 0,20. La banque devrait-elle reprendre sa carte de crédit si le client n’honore pas un
paiement mensuel ? Pourquoi ?
D’après la question précédente, la proba que le client soit insolvable si il n’a pas honoré un paiement
est supérieure à 0.2 ; la banque devrait donc lui retirer sa carte.
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