Tours de Hanoï

Semaine des mathématiques :
« Mathématiques au carrefour des cultures »
« Un jour, un jeu »
Tours de Hanoï
HISTORIQUE
Ce casse tête qui n'a rien d'asiatique fut inventé par le mathématicien français Edouard Lucas. A
l'exposition universelle de 1889 il présenta ainsi son invention "La tour de Hanoï, véritable casse-tête
annamite rapporté du Tonkin par le professeur N. Claus de Siam (anagramme de Lucas d'Amiens),
mandarin du collège Li-Sou-Stan (anagramme de Saint Louis).
Bien que cette invention soit française et assez récente, des légendes s’y rapportant ont été inventées.
En voici 2 :
Un prêtre bouddhiste, voulant tester ses disciples, leur demanda s'ils étaient capables dans une journée
de déplacer une tour de 40 anneaux d'or empilés sur 3 pointes de diamant. Les plus orgueilleux dirent
"oui", les plus humbles "non". Un rapide calcul montre que le déplacement d'une tour de 25 étages
représente, sans erreur, 33 554 431 déplacements, soit en comptant un déplacement par seconde : 388
jours non stop!!!! une tour de 30 étages 34 ans et la tour de 40 étages, environ 200 siècles !!
Une autre légende dit qu'il y aurait, à Hanoï, dans un monastère, une énorme tour et que les moines
déplacent un élément de cette tour chaque jour. La fin du monde devrait arriver le jour où le dernier
élément sera déplacé
BUT DU JEU
Le jeu consiste à déplacer des disques de diamètres différents d'une tour de « départ » à une tour
d'« arrivée » en passant par une tour « intermédiaire », et ceci en un minimum de coups. tout en
respectant les règles suivantes :
•
•
on ne peut déplacer plus d'un disque à la fois,
on ne peut placer un disque que sur un autre disque plus grand que lui ou sur un emplacement
vide.
Au début du jeu, les disques sont empilés du plus grand au plus petit.
MATERIEL
Le jeu est constitué :
•
•
de disques de taille croissante
d'un plateau contenant 3 tiges permettant d'accueillir les disques
Les disques sont placés sur la tige de gauche ou de droite du plus grand en bas au plus petit en haut.
DEROULEMENT
Au début du jeu, les disques sont empilés du plus grand au plus petit.
Les disques sont déplacés en respectant les règles suivantes :
•
•
on ne peut déplacer plus d'un disque à la fois,
on ne peut placer un disque que sur un autre disque plus grand que lui ou sur un emplacement
vide.
Le jeu est terminé quand tous les disques sont empilés par ordre décroissant de l’autre côté du plateau.
Remarque : Ce problème a toujours une solution
Disques
Nombre de coups
1
1
2
3
3
7
4
15
5
31
...
...
18 446 744 073 709 551 615
64
VARIANTES
On peut modifier le nombre de disques : 3 disques au départ, puis essayer avec 4, 5,… disques.
CONSTRUCTION DU JEU
Le socle : en bois percé de trois trous – en pâte à modeler…
Les disques : en bois, découpés à la scie-cloche – en mousse (matériel pour travaux
manuels) – anneaux-gigognes pour jeux de bébés – remplacés par des carrés en bois ou
en carton –
Les tiges : tourillons en bois – crayons …
Le socle, les disques et les tiges peuvent être remplacés par une tour de cubes de taille
croissante, placée sur un carton où sont dessinés les trois emplacements :
Tour de
départ
Tour
intermédiaire
Tour
d’arrivée
Intérêts mathématiques :
Lors de la construction :
Combien peut-on fabriquer de disques, en donnant un espacement x entre les tiges, et
une diminution du diamètre de y pour les disques.
Lors du jeu :
Anticiper pour réussir en le moins de coups possible.
Remarquer les alternances lorsqu'on ajoute des tours.
Eventuellement, tirer la loi nombre de coups = 2n-1 (n étant le nombre de disques),
évidemment formulé autrement !