12.1 Équilibre statique - Cégep de Sainte-Foy

Chapitre 12
Équilibre statique et moment cinétique ( quantité de
mouvement angulaire)
12.0 Introduction
Dans le chapitre 12, nous traiterons que des sections suivantes:
-
12.1 L’équilibre statique
-
12.3 Le moment cinétique L ou la quantité de
mouvement angulaire L
-
12.6 La conservation de la quantité de mouvement
angulaire L dans un système en rotation
Hyperphysics :
Equilibrum ; conservation angular momentum
1
Chapitre 12
Équilibre statique et moment cinétique
12.1 L’ équilibre statique
Nous dirons qu’un objet ou un système est en équilibre statique
lorsque les deux conditions suivantes sont respectées

∑F = 0
Équilibre de translation

∑τ = 0
Équilibre de rotation
Nous cherchons à déterminer la grandeur des forces et des moments de
forces responsables de cet équilibre.
2
12.1 Équilibre statique Exemple

∑F = 0

∑τ = 0
Nous cherchons à déterminer la grandeur des forces et des moments de
forces responsables de cet équilibre.
Nous aborderons des situations
semblables aux suivantes
Hyper-physics
Equilibrum
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12.1 Équilibre statique
Exemple 1
On vous demande vérifier la solidité de la fixation
d’un câble à l’extrémité d’une poutre, située sur la
façade d’un condominium au Mont Sainte-Anne,
comme l’indique la figure ci-dessous.
37o
Pour vous y rendre, vous
devez monter dans une
échelle de 3 m inclinée à
70o . En hiver, le coefficient
de frottement entre le sol et
l’échelle est de 0,5
Allez-vous est capable d’atteindre la
poutre?
70o
4
12.1 Équilibre statique
Exemple 1
Pour vous y rendre, vous devez monter dans une
échelle de 3 m inclinée à 70o . En hiver, le coefficient
de frottement entre le sol et l’échelle est de 0,5
Allez-vous est capable d’atteindre la
poutre?
Problème :
Est-ce que l’échelle sera toujours
en équilibre?
Solution :
θ = 70o

F =0
∑

∑τ = 0
5
12.1 Équilibre statique
Exemple 1
Pour vous y rendre, vous devez monter dans une
échelle de 3 m inclinée à 70o . En hiver, le coefficient
de frottement entre le sol et l’échelle est de 0,5
∑
N2

F =0

∑τ = 0
Identifions les forces
N : normale
Fg : poids
fs ; frottement statique
Fg2
N1
∑ Fy = N1 − Fg1 − Fg 2 = 0
Fg1
fs
∑ Fx = N 2 − f s = 0
θ
6
Exemple 1
12.1 Équilibre statique
∑
o

F =0
∑ Fy = N1 − Fg1 − Fg 2 = 0
N2
Fg2
N1
+
Fg1
fs
θ
∑ Fx = N 2 − f s = 0
On suppose que le frottement est nul sur le
mur. On peut donc en pratique placer l’axe
de rotation à cet endroit

∑τ o = 0
On obtient, en supposant que
vous êtes à 3 L/4
X
∑τ o = N1 L cosθ + Fg1
L
1
cos θ − f s L sin θ + Fg 2 L cos θ = 0
2
4
7

Exemple 1
12.1 Équilibre statique
∑τ
o
= N1 L cos θ + Fg1
L
1
cos θ − f s L sin θ + Fg 2 L cos θ = 0
2
4
En arrangeant les termes, on obtient
o
N
( N1 L + Fg1
2
Fg
N
2
+
∑τ o = 0
1
Fg
1
fs
1
L
+ Fg 2 L) cos θ = µ s ( Fg1 + Fg 2 ) L sin θ
2
4
N1 = Fg1 + Fg 2
θ
( Fg1
3L
5
+ Fg 2 L) cos θ = µ s ( Fg1 + Fg 2 ) L sin θ
2
4
On suppose que Fg1 = 100 N
et Fg2 = 800 N
8
12.1 Équilibre statique
On obtient
o
Exemple 1
N1 = Fg1 + Fg 2
3L
5
+ Fg 2 L) cos θ = µ s ( Fg1 + Fg 2 ) L sin θ
( Fg1
2
4
N
2
Avec Fg1 100 N
Fg
N
2
+
et Fg2 = 800 N
1
Fg
1
fs
θ
(150 + 1000) cos θ = µ s (900) sin θ
2,55 = tan θ
θ = 68,6 o
Résultat: Comme θ = 70o , vous pouvez atteindre la poutre
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12.1 Équilibre statique
Exemple 1
On vous demande vérifier la solidité de la fixation
d’un câble à l’extrémité d’une poutre, située sur la
façade d’un condominium au Mont Sainte-Anne,
comme l’indique la figure ci-dessous.
Pouvez-vous vous rendre à
l’extrémité si la fixation ne peut
résister à une force plus grande
que 1000 N?
37o
La longueur de la poutre est de 8,0 m et
son poids de 200 N . Celle-ci est accrochée
au mur par une charnière à une extrémité
et l’autre extrémité est retenue par un câble
qui forme un angle de 37o
10
12.1 Équilibre statique
Exemple 1
Pouvez-vous vous rendre à l’extrémité si la fixation ne peut
résister à une force plus grande que 1000 N?
La longueur de la poutre est de 8,0 m et
son poids de 200 N . Celle-ci est accrochée
au mur par une charnière à une extrémité
et l’autre extrémité est retenue par un câble
qui forme un angle de 37o
T
37o
Solution possible:

∑F = 0
Problème: On cherche la
valeur de T
On applique les équations
de l’équilibre sur la poutre

∑τ = 0
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12.1 Équilibre statique
Problème: On cherche la
valeur de T
Solution possible:
T
NV
37o
On applique les équations
de l’équilibre sur la poutre
NH
FgP
FgO

∑F = 0

∑τ = 0
Identifions les forces
T : tension
N : normale
Fg : poids
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12.1 Équilibre statique
Solution possible:
On applique les équations
de l’équilibre sur la poutre
T
NV

∑F = 0
37o
NH
FgP
FgO

∑τ = 0
Sur la poutre
0
∑ Fx = N H − T cos 37 = 0
0
F
N
T
=
+
sin
37
− FgP − FgO = 0
∑ y
V
13
12.1 Équilibre statique
Solution possible:
On applique les équations
de l’équilibre sur la poutre
T
axe
NV
37o
+
NH
FgP
x
Sur la poutre
∑ τ axe
x FgO


∑F = 0
∑τ = 0
L
= FgP + LFgO − LT sin 37 0 = 0
2
L
FgP + LFgO = LT sin 37 0
2
14
12.1 Équilibre statique
Solution possible:
On applique les équations
de l’équilibre sur la poutre
T
axe
NV
37o
+
NH
x
FgP
x
FgO


∑F = 0
∑τ = 0
Sur la poutre
L
FgP + LFgO = LT sin 37 0
2
0,5 FgP + FgO
sin 37 0
=T
0,5 × 200 + 800
=T
0,6
T = 1500 N
15
12.1 Équilibre statique
Solution possible:
On applique les équations
de l’équilibre sur la poutre
T
axe
NV
37o
+
NH
FgP
N’o


∑F = 0
∑τ = 0
Résultat probable : La force subie par la fixation
sera de 1500 N
Petite erreur
Sur vous
Sur la poutre
Selon la troisième loi
∑F = N
o
− Fgo = 0
,
F
=
N
−
F
−
N
∑
0 =0
v
gp
N o = − N 0,
N ' o = Fgo
16
12.1 Équilibre statique
Solution possible:
On applique les équations
de l’équilibre sur la poutre
T
axe
NV
37o
+
NH
FgP
N’o


∑F = 0
∑τ = 0
Résultat probable : La force subie par la fixation
sera de 1500 N
Malheureusement la fixation va se briser puisque la
tension maximale n’était que de 1000 N
Que va-t-il arriver ?
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12.1 Équilibre statique
axe
NV
axe
NV
pendule
V ??
Que va-t-il arriver ?
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12.1 Équilibre statique
axe
NV
V ??
h
∆ x =??? et v = ???
19
12.1 Équilibre statique
FIN
20
Chapitre 12 Équilibre statique et moment cinétique
Faites un résumé
Bonne chance pour
l’examen final
Encore un petit effort
avant
21