But: Chercher un équivalent de (2n

Ã
2n
U N ÉQUIVALENT EN +∞ DE
n
!
Ã
*
0.4
0.5
!
2n
But: Chercher un équivalent de
pour n → +∞
n
Pour n ∈ N∗ , notons X n la variable aléatoire suibvant la loi binomiale
de paramètre
B(2n, n).
¡
¢
A l’aide d’un logiciel, traçons dans un repère, le nuage de points n, p(X n = n) pour 1 ≤ n ≤ 5000.
On obtient :
p(Xn=n)
0.3
*
*
0.0
0.1
0.2
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*
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**
**
**
***
**
**
**
***
***
***
***
***
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0
1000
2000
3000
4000
5000
n
60
0
20
40
1/p(Xn=n)
80
100
120
1
En observant la forme du nuage, il semble opportun d’utiliser le changement de variable u = .
y
µ
¶
1
Représentons donc le nuage de points n,
pour 1 ≤ n ≤ 5000. On obtient :
p(X n = n)
***
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*****
*
***
***
**
0
1000
2000
3000
4000
5000
n
En observant de nouveau la forme du nuage, il semble évident de tester le changement de variable v = u 2 .
©IREM Février 2011
1/2
Ã
2n
U N ÉQUIVALENT EN +∞ DE
n
0
5000
1/p(Xn=n)²
10000
15000
µ
Représentons donc le nuage de points n,
1
p 2 (X n = n)
¶
!
pour 1 ≤ n ≤ 5000. On obtient :
*****
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0
1000
2000
3000
4000
5000
n
0
5000
1/p(Xn=n)²
10000
15000
Cherchons alors l’équation d’une droite de régression, on trouve :
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***
y= 3.1416 x+ 0.786
******
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******
0
1000
2000
3000
4000
5000
n
On trouve y = 3, 1416x + 0, 786. D’où
1
p 2 (X
n
= n)
≈ 3, 1416n + 0, 786, ce qui permet d’obtenir
à !
2n
22n
On reconnaît dans la formule le nombre π.
≈p
n
3, 1416n + 0, 786
En utilisant la formule de Stirling n! =
On a π ≈ 3, 1416 et
©IREM Février 2011
π
≈ 0, 7854
4
p
à !
µ ¶¶
³ n ´n µ
1
2n
1
22n
1+
+o
, on arrive à
=q
2πn
¡ ¢.
e
12n
n
n
πn + π4 + o n1
2/2