RADAR V(p) Cm(p) I(p) Ω(p) Moteur Parabole Ampl V Vc θ m θ s

RADAR
Le suivi des avions au voisinage des aéroports impose une grande précision dans le positionnement angulaire des antennes de
radar. On souhaite donc asservir angulairement la tourelle d’un radar. Les conditions initiales sont supposée toutes nulles
Le système est composé de la mise en cascade des
élément suivants :
- un système de gain ka constant, comportant
un amplificateur, permettant de transférer la
consigne angulaire au moteur en
transformant cette consigne en une tension
de commande (ka est en V/rad).
- Un moteur à courant continu dont les
équations de fonctionnement et les
constantes associées sont données cidessous :
- Un réducteur de vitesse permettant de
multiplier le couple Cs = λCm avec λ = 200.
- Une charge Σ représentant le système radar
composé de la tourelle de suivi et de
l’antenne.
Parabole
θs
Réducteur de vitesse
θc
θm
Ampl
Moteur
V
Vc
Figure 1
Equations de fonctionnement du moteur :
di
v( t ) = e( t ) + Ri ( t ) + L
avec L = 200mH et R = 2,2 Ω
dt
e( t ) = k1ωm ( t )
avec k1 = 0,225V/rd.s-1
C m ( t ) = k 2i( t )
avec k2 = 4/90Nm.A-1
On obtient donc le schéma bloc suivant :
Ampli+..
Moteur
Réducteur
ka
Hm(p)
λ
θc
θs
Charge
Figure 2
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’ensemble en mouvement donne l’équation :
dω ( t )
J
f
C m ( t ) = J m + fωm ( t ) avec J = J m + c2 et f = f m + c2 où :
dt
λ
λ
Jm et Jc sont les moments d’inertie du moteur et de la charge , J = 5.10-4 kg.m2 .
fm et fc sont les coefficients de frottement visqueux du moteur et de la charge , f = 1,5.10-3 Nm/rd.s-1
Question 1 :
Compléter le schéma bloc relatif au moteur avec comme entrée V(p) et comme sortie Cm
V(p)
I(p)
+_
C m (p)
Ω(p)
Question 2 :
Donner la fonction de transfert du moteur H m (p) =
C m ( p)
( la sortie considérée est bien Cm(p) et non Ω(p) comme
V ( p)
habituellement) , en fonction de k1 , k2 , R , L , J, f.
Radar
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RADAR
Question 3 :
Mettre le numérateur et le dénominateur de cette fonction sous la 1ère forme canonique (attention le numérateur n’est
pas une constante ) donner les expression littérales des grandeurs canoniques de ce système :
- numérateur de la forme K(1+Tp) : gain K , constante de temps T (1er ordre)
- dénominateur : pulsation propre non amortie ω0 et facteur d’amortissement z (2ème ordre),
La fonction de transfert de la charge étant inconnue , on détermine la par identification :
Charge
on applique en entrée de cette charge S un échelon de couple
Couple
:
C
(p)
Rotation radar : Θ(p)
C0(t) = 20.u(t) ( C0 est en Nm ) . La position q(t) du radar obtenue
HΣ(p)
par mesure est tracée ci-après :
Figure 3
s
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
TEMPS
Figure 4
Question 4 :
Kh
.
p(1 + Th p)
Donner l’équation de la réponse temporelle a un échelon de 20Nm obtenue par l’utilisation de ce modèle.
L’allure de la réponse laisse penser que la fonction de transfert de la charge est du type H Σ (p) =
Question 5 :
Tracer la courbe de la réponse temporelle , à un échelon C0 = 20 Nm , correspondant au modèle de la question
précédente.
Question 6 :
Grâce à la courbe réelle donnée par la figure 4 précédente : déterminer les valeurs de Kh et de Th permettant d’utiliser
au mieux ce modèle pour la courbe obtenue question 5.
En utilisant cette dernière modélisation, on obtient la fonction de transfert globale du système :
Θ(p)
20k a (p + 3)
H ( p) =
=
Θ c (p) 9p(1 + 3p)(p 2 + 14p + 133)
Question 7 :
En utilisant le théorème approprié donner la valeur finale de θ(t) pour un échelon unitaire de l’angle de consigne.
Le système est-il stable ?
La plupart des questions de ce sujet sont indépendantes
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